63静电场环路定理电势

E2
q1
4 0 r 2
R1 r R2
E3
q1 +q2
40r 2
r R2
q1 II
I R1
R2 •
III
rE
P•
III区：U3
E dl
P
q2 q1 II III
E3 dr E3dr
r
r
I R1
R2 •
r
q1 q2
4 0 r 2
dr
q1 q2
40r
rr
P• P•
R2
II区： U3
R r
Q
4 0 R3
rdr
Q
R 4 0r 2 dr
Q
8 0 R
Qr 2
8 0 R3
Q
4 0 R
Q (3R 2 r 2 )
8 0 R3
o rp R
rp
路径的线积分为零（电场强度的环流为
零）
3. 电势能 比 重力做功 保守力 重力势能
较 静电场力做功 保守力 电势能
静电场力对电荷所做功等于电荷电势能 增量的负值
B
WAB A q0E • dl EpB EpA
令 B点为电势能零点，则可得任一点 A
的电势能
0
E p A
q0
E • dl
E dl
P
E dr
E2dr
E3dr
r
r
R2
R2 r
q1
4 0 r 2
dr
R2
q1 q2
4 0 r 2
dr
1
4 0
( q1 r
q2 R2
)
I区：
U3
E dl
P
E dr
q2 q1 II III
I R1
R2 •Pr•
R1r
R2
E1dr E2dr E3dr
r
R1
R2
的电势
VP
E dx
x
q
x
qx
40 (x2
R
2
)
3 2
dx
1
40 (x2 R2 )2
圆环中心点的电势、电场强度？
例题2 . 半径为 R，均匀带 电q（电荷面密度 Rq）2 的圆盘轴线上任一点 p的
电势
y
解：均匀带电圆盘可视为
由许多半径不等的均匀带
电细园环组成
o
任一细圆环，半
径为 r，宽为 dr，其带 电量
40 rA rB q
B
rB r
dr
dl
E
er r
rA
A
点电荷的电场力对 q做0 功与路径无关， 且与 q0移动的始末位置有关（保守力）
（2）根据电场叠加原理，推
广到点电荷系 (q1, q2, q3,)
电场力做功
W q0E • dl
l
q0E1 • dl q0E2 • dl
l
l
0
R2 R1
q1
4 0 r 2
dr
R2
q1 q2
4 0 r 2
dr
1
4 0
( q1 R1
q2 R2
)
(2) 叠加法
由均匀带电球壳的电势分布:
q
U
40R
q
q2
rR rR
q1 II
I R1
R2 •
III
40r
U1 U2
q1 + q2
4q10
R1 +
4
q2
0
R2
40r 40R2
U3
q1
4 0 r
6. 电势的计算
零
（1）定义式 VA A E • dl
（2）点电荷 q
q
V r
点电荷系
E • dl
r
40r 2 dr 40r
VP E dl Ei dl
P
Pi
E1 dl E2 dl ... U1 U2 ...
P n
V
qPi q1 q2
i1 40ri 40r1 40r2
A
即 试验电荷 q0在电场中某点的电势能，
在数值上等于把它从该点移动到零电势
能参考点处电场力所做的功
可见电势能也是个相对量
4.电势是描写静电场性质的另一个物理
量
VA
EpA q0
零
E • dl
A
电场中某一点的电势，在数值上等 于把单位正电荷从该点移到势能零点处 电场力所作的功
任意两点的电势差
B
VAB VA VB
同样得到如下结论：
静电场对试验电荷所做的功与路径
无关，与试验电荷 q0和路径的始末位置
有关。
2. 静电场的环路定理—反映静电场性质
的另一基本定理
若 q0沿闭合路径移动一
周，电场力做功
W q0E • dl q0 E • dl 0
l
则 E • dl 0
环路定理
静电场中，电场强度 E沿任意闭合
若r R,则V
Q
4
0
r
E • dl
R E • dl
r
r
E • dl
R
Q
R 40r 2
dr
Q
4 0 R
重要结论：均匀带电球壳内外电势
V Q (r R)，V Q (r R)
4 0 r
4 0 R
例4 求同心均匀带电球面电场中的电势分布.
解: (1)定义法
q2
E1 0
R1 r
z
r
dr
dq • 2r • dr
px x
其在轴线上 p点的电势为
dV
dq
40 (r 2
x
2
)
1 2
整个圆盘在 p点的电势为
V
dV
R • 2r • dr
0
4 0
(r
2
x2
1
)2
2 0
R rdr
0
(r
2
x2
)
1 2
2 0
(
R2 r2 x)
同样也可以用电势定义
式计算 （ 选择积分路径！）
与环心相距x 处p点的电势 y
解：取oxyz 坐标系，圆环 dq 位于 yz平面，环心与原点o o
重合，在圆环上取一电荷 R
r x
px
元 dq则有
Up
q
dq
4
q
0
r
1
4 0 r
1
z
dq
q
40 (x2 R2 )2Βιβλιοθήκη 另外，可以用Vx
E
• dl
求得结果
设从 p 点（ x 处）沿轴线将单位正
电荷移到无限远处为积分路径,则 p 点
电势叠加原理
（3）带电体
V dV
dq
Q 40r
dq r p
Q
求电势 的方法
➢ 利用
VP
dq
4 π0r
（前提条件为有限大带电体,选无限远处为
电势零点.）
E ➢ 若已知在积分路径上 的函数表达式，
则
V 0点
VP E dl
P
例题1 . 均匀带电的细圆环，半径
为 R，带电为 q，计算在圆环轴线上
V x E • dl
x
2 0
[1
(x2
x R2
1
)2
]dx
2 0
(
R2x2 x)
例题3 . 带电为 Q，半径为 R的均匀带电
球壳内外一点的电势
解：带电球壳内外的电场分布
E
1
4 0
Q r2
er (r
R)，E
0(r
R)
用电势定义式计算
若r R，则V r
E
•
dl
Q
r 40r 2 dr
E • dl
A
将电荷 q0从 A点B 移 到 B点电场力做功为
WAB
q0
E • dl
A
q0 (VA VB )
5. 关于电势的几点说明
（1）电势是标量，有正有负，单位：伏特(V)
（2）电势零点：有限带电体以无穷远为电势零点， 实际问题中常选择地球电势为零.
（3）电势差是绝对的，与电势零点的选择无关； 电势大小是相对的，与电势零点的选择有关.
§6.3 电势
1. 静电场力做功
（1）点电荷 q 的电场力对 q0
做功
dW F • dl q0E • dl
qq0
40r 2
er
• dl
dr er dl
q
dW
qq0
4 0 r 2
dr
B
rB r
dr
dl
E
er r
rA
A
W rB qq0 dr
rA 4 0 r 2
qq0 ( 1 1 )
q2
4 0 r
例题5 . 半径为 R，均匀带电
的球Q 体内外电势
解：球内外的电场强度为
E E
Qr
40 R3
er
(r
R)
Q
40r 2
er
(r
R)
若r R，则
o rp R
r
p
Q
Q
V r E • dl r 40r 2 dr 40r
若r R，V
E • dl
R
r
r E • dl R E • dl