初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)

经典练习题类似三角形之相礼和热创作
一．解答题（共30小题）
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延伸线交于点G．
（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．
3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．
求证：△ABC∽△FDE．
4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试阐明：△ABF∽△EAD．
5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N 分别为BE，CD的中点．
（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；
（2）在图①的根底上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论能否依然成立；
（3）在（2）的条件下，请你在图②中延伸ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．
6．如图，E是▱ABCD的边BA延伸线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的状况下，请你写出图中全部的类似三角形，并任选一对类似三角形给予证明．
7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC=_________°，BC=_________；
（2）判别△ABC与△DEC能否类似，并证明你的结论．
8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时分，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速率向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速率向A点匀速运动，问：（1）经过多少工夫，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）能否存在时分t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD类似？若存在，求t的值；若不存在，请阐明理由．
9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC 把梯形分成了四个小三角形．
（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的全部可能状况，并求出选取到的两个三角形是类似三角形的概率是多少；（留意：全等看成类似的特例）
（2）请你任选一组类似三角形，并给出证明．
10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．
（1）写出图中全部相称的线段，并加以证明；
（2）图中有无类似三角形？若有，请写出一对；若没有，请阐明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．
11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的恣意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．
（1）求四边形AQMP的周长；
（2）写出图中的两对类似三角形（不需证明）；
（3）M位于BC的什么地位时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD 的中点，试阐明：△ADM∽△MCP．
13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速率，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速率，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动工夫为t秒．问：
①当点P在B⇒A上运动时，能否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长中分？若存在，恳求出t的值；若不存在，请阐明理由；
②在运动过程中，能否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE类似？若存在，恳求出全部符合条件的t的值；若不存在，请阐明理由；
③在运动过程中，能否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰恰是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，恳求出全部符合条件的t 的值；若不存在，请阐明理由．
14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速率沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速率沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC类似？
15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB 边向B点以2cm/s的速率挪动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s 的速率挪动，假如P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC类似．
16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形类似．
17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN类似？若能，请给出证明，若不克不及，请阐明理由．
18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速率挪动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s 的速率挪动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探求经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA类似？
19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的地位，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形类似．
20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF 的顶点E位于边BC的中点上．
（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：
△BEM∽△CNE；
（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延伸线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对类似三角形外，能否再找出一对类似三角形并证明你的结论．
21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速率挪动；点Q沿DA边从点D开始向点A 以1cm/s的速率挪动．假如P、Q同时出发，用t（秒）暗示挪动的工夫，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC类似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
23．阳光明丽的一天，数学兴味小组的同砚们往丈量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不容易到达），他们带了以下丈量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小立体镜．请你在他们提供的丈量工具中选出所需工具，计划一种丈量方案．
（1）所需的丈量工具是：_________；
（2）请在下图中画出丈量表示图；
（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母暗示）求出x．24．成绩布景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时分在阳光下对校园中一些物体进行了丈量．下面是他们经过丈量得到的一些信息：
甲组：如图1，测得一根直立于高山，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．
丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．义务要求：
（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；
（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友谊提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；必要时可采取等式1562+2082=2602）
25．阳光经过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．
26．如图，李华早晨在路灯下漫步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．
（1）若李华距灯柱OP的程度距离OA=a，求他影子AC的长；
（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）能否是定值请阐明理由；
（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上挪动的速率v2．
27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3暗示，则不难证明S1=S2+S3．
（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3暗示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）
（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3暗示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；
（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一样平常三角形，其面积分别用S1，S2，S3暗示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相反的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；
（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一样平常意义的结论．
28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．
（1）求BD、CD的长；
（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．
30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；
（2）已知：两类似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．考点：类似三角形的断定；平行线的性子.菁优网版权全部
专题：证明题.
分析：根据平行线的性子可知∠AED=∠C，∠A=∠FEC，根据类似三角形的断定定理可知△ADE∽△EFC．
解答：证明：∵DE∥BC，
∴DE∥FC，
∴∠AED=∠C．
又∵EF∥AB，
∴EF∥AD，
2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延伸线交于点G．
（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．
3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．
求证：△ABC∽△FDE．
4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试阐明：△ABF∽△EAD．
5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N 分别为BE，CD的中点．
（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；
（2）在图①的根底上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论能否依然成立；
（3）在（2）的条件下，请你在图②中延伸ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．
6．如图，E是▱ABCD的边BA延伸线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的状况下，请你写出图中全部的类似三角形，并任选一对类似三角形给予证明．
分析：根据平行线的性子和两角对应相称的两个三角形类似这一断定定理可证明图中类似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．
解答：解：类似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．（3分）
如：△AEF∽△BEC．
在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3．（6分）
∴△AEF∽△BEC．（7分）
点评：考查了平行线的性子及类似三角形的断定定理．
7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC=135°°，BC=；
（2）判别△ABC与△DEC能否类似，并证明你的结论．
考点：类似三角形的断定；正方形的性子.菁优网版权全部
专题：证明题；网格型.
分析：（1）观察可得：BF=FC=2，故∠FBC=45°；则∠ABC=135°，BC==2；
（2）观察可得：BC、EC的长为2、，可得，再根据其夹角相称；故△ABC∽△DEC．解答：解：（1）∠ABC=135°，BC=；
（2）类似；
∵BC=，EC==；
∴，；
∴；
又∠ABC=∠CED=135°，
∴△ABC∽△DEC．
点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性子．留意在正方形中的特殊三角形的运用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于进步解题速率和精确率．
8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时分，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速率向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速率向A点匀速运动，问：
（1）经过多少工夫，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）能否存在时分t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD类似？若存在，求t的值；若不存在，请阐明理由．
考点：类似三角形的断定；一元二次方程的运用；分式方程的运用；正方形的性子.菁优网版权全部
专题：动点型.
分析：（1）关于动点成绩，可设工夫为x，根据速率暗示出所触及到的线段的长度，找到相称关系，列方程求解即可，如本题中利用，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相称关系；
（2）先假设类似，利用类似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可阐明存在，反之则不存在．
解答：解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，
则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）
解方程，得x1=1，x2=2，（3分）
经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，
以是经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分）
（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD类似，
由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，
因此有或（5分）
即①，或②（6分）
解①，得t=；解②，得t=（7分）
经检验，t=或t=都符合题意，
以是动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD类似．（8分）
点评：次要考查了类似三角形的断定，正方形的性子和一元二次方程的运用以及解分式方程．要掌握正方形和类似三角形的性子，才会灵活的运用．留意：一样平常关于动点成绩，可设工夫为x，根据速率暗示出所触及到的线段的长度，找到相称关系，列方程求解即可．
9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC 把梯形分成了四个小三角形．
（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的全部可能状况，并求出选取到的两个三角形是类似三角形的概率是多少；（留意：全等看成类似的特例）
（2）请你任选一组类似三角形，并给出证明．
考点：类似三角形的断定；概率公式.菁优网版权全部
专题：开放型.
分析：（1）采取列举法，列举出全部可能出现的状况，再找出类似三角形即可求得；①与③，②与④类似；
（2）利用类似三角形的断定定理即可证得．
解答：解：（1）任选两个三角形的全部可能状况如下六种状况：
①②，①③，①④，②③，②④，③④（2分）
其中有两组（①③，②④）是类似的．
∴选取到的二个三角形是类似三角形的概率是P=（4分）
证明：（2）选择①、③证明．
在△AOB与△COD中，
∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，
∴△AOB∽△COD（8分）
选择②、④证明．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA，
∴在△DAB与△CBA中有
AD=BC，∠DAB=∠CAB，AB=AB，
∴△DAB≌△CBA，（6分）
∴∠ADO=∠BCO．
又∠DOA=∠COB，
∴△DOA∽△COB（8分）．
点评：此题考查概率的求法：假如一个变乱有n种可能，而且这些变乱的可能性相反，其中变乱A出现m 种结果，那么变乱A的概率P（A）=，即类似三角形的证明．还考查了类似三角形的断定．
10．附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．
（1）写出图中全部相称的线段，并加以证明；
（2）图中有无类似三角形？若有，请写出一对；若没有，请阐明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．
考点：类似三角形的断定；三角形的面积；含30度角的直角三角形.菁优网版权全部
专题：综合题.
分析：（1）根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半，可知CD=2ED，则可写出相称的线段；
（2）两角对应相称的两个三角形类似则可判别△ADE∽△AEC；
（3）要求△BEC与△BEA的面积之比，从图中可看出两三角形有一公共边可作为底边，若求得高之比可知面积之比，由此需作△BEA的边BE边上的高即可求解．
解答：解：（1）AD=DE，AE=CE．
∵CE⊥BD，∠BDC=60°，
∴在Rt△CED中，∠ECD=30°．
∴CD=2ED．
∵CD=2DA，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．
∴AE=CE．
（2）图中有三角形类似，△ADE∽△AEC；
∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，
∴△ADE∽△AEC；
（3）作AF⊥BD的延伸线于F，
设AD=DE=x，在Rt△CED中，
可得CE=，故AE=．
∠ECD=30°．
在Rt△AEF中，AE=，∠AED=∠DAE=30°，
∴sin∠AEF=，
∴AF=AE•sin∠AEF=．
∴．
点评：本题次要考查了直角三角形的性子，类似三角形的断定及三角形面积的求法等，范围较广．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的恣意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．
（1）求四边形AQMP的周长；
（2）写出图中的两对类似三角形（不需证明）；
（3）M位于BC的什么地位时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．考点：类似三角形的断定；菱形的断定.菁优网版权全部
专题：综合题.
分析：（1）根据平行四边形的性子可得到对应角相称对应边相称，从而不难求得其周长；
（2）由于∠B=∠C=∠PMC=∠QMB，以是△PMC∽△QMB∽△ABC；
（3）根据中位线的性子及菱形的断定不难求得四边形AQMP为菱形．
解答：解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，
∴四边形APMQ是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠PMC=∠QMB．
∴BQ=QM，PM=PC．
∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．
（2）∵PM∥AB，
∴△PCM∽△ACB，
∵QM∥AC，
∴△BMQ∽△BCA；
（3）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，
∵点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC，
∴QM，PM是三角形ABC的中位线．
∵AB=AC，
∴QM=PM=AB=AC．
又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，
∴平行四边形APMQ是菱形．
点评：此题次要考查了平行四边形的断定和性子，中位线的性子，菱形的断定等学问点的综合运用．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD 的中点，试阐明：△ADM∽△MCP．
考点：类似三角形的断定；正方形的性子.菁优网版权全部
专题：证明题.
分析：欲证△ADM∽△MCP，经过观察发现两个三角形曾经具备一组角对应相称，即∠D=∠C，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可．
解答：证明：∵正方形ABCD，M为CD中点，
∴CM=MD=AD．
∵BP=3PC，
∴PC=BC=AD=CM．
∴．
13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速率，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速率，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动工夫为t秒．问：
①当点P在B⇒A上运动时，能否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长中分？若存在，恳求出t的值；若不存在，请阐明理由；
②在运动过程中，能否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE类似？若存在，恳求出全部符合条件的t的值；若不存在，请阐明理由；
③在运动过程中，能否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰恰是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，恳求出全部符合条件的t 的值；若不存在，请阐明理由．
（2）①PQ中分梯形的周长，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的长，可以用t来暗示出AP，BP，CQ，QD的长，那么可根据下面的等量关系求出t的值．
②本题要分三种状况进行讨论：
一，当P在AB上时，即0＜t≤8，假如两三角形类似，那么∠C=∠ADP，或∠C=∠APD，那么在△ADP 中根据∠C的正切值，求出t的值．
二，当P在AD上时，即8＜t≤10，由于P，A，D在一条直线上，因此构不成三角形．
三，当P在CD上时，即10＜t≤12，由于∠ADC是个钝角，因此△ADP是个钝角三角形因此不成能和直角△CQE类似．
综合三种状况即可得出符合条件的t的值．
（3）和（2）相反也要分三种状况进行讨论：
一，当P在AB上时，即0＜t≤8，等腰△PDQ以DQ为腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以经过构建直角三角形来暗示出DP，PQ的长，然后根据得出的等量关系来求t的值．
二，当P在AD上时，即8＜t≤10，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10﹣t，因此DP，DQ恒相称．
三，当P在CD上时，即10＜t≤12，状况同二．
综合三种状况可得出等腰三角形以DQ为腰时，t的取值．
解答：解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，
∵AD∥BH，DH∥AB，
∴四边形ABHD是平行四边形．
∴DH=AB=8；BH=AD=2．
∴CH=8﹣2=6．
∵CD=10，
∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．
∠B=∠DHC=90°．
∴梯形ABCD是直角梯形．
∴SABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．
（2）①∵BP=CQ=t，
∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t，
∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．
∴t=3＜8．
∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长中分．
②第一种状况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C
∴tan∠ADP=tan∠C==
∴=，∴t=
若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C
∴tan∠APD=tan∠C==，∴=
∴t=
第二种状况：8＜t≤10，P、A、D三点不克不及组成三角形；
第三种状况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不类似；
∴t=或t=时，△PAD与△CQE类似．
③第一种状况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．∵AP=8﹣t，AD=2，
∴PD==．
∵CE=t，QE=t，
∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t．
∴PH=t﹣t=t．
∴PQ==，DQ=10﹣t．
Ⅰ：DQ=DP，10﹣t=，
解得t=8秒．
Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t=，
化简得：3t2﹣52t+180=0
解得：t=，t=＞8（分歧题意舍往）
∴t=
第二种状况：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．
∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
第三种状况：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．
∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
综上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．
点评：本题次要考查了梯形的性子以及类似三角形的断定和性子等学问点，要留意（2）中要根据P，Q的分歧地位，进行分类讨论，不要漏解．
14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速率沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速率沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC类似？
考点：类似三角形的断定；矩形的性子.菁优网版权全部
专题：几何动点成绩；分类讨论.
分析：要使以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC类似，则要分两两种状况进行分析．分别是△PBQ∽△BDC 或△QBP∽△BDC，从而解得所需的工夫．
解答：解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，
由于∠PBQ=∠BCD=90°，
（1）当∠1=∠2时，有：，
即；
（2）当∠1=∠3时，有：，
即，
∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．
点评：此题考查了类似三角形的断定及矩形的性子等学问点的综合运用．
15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB 边向B点以2cm/s的速率挪动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s 的速率挪动，假如P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC类似．
考点：类似三角形的断定；一元一次方程的运用.菁优网版权全部
专题：动点型.
分析：设经过t秒后，△PBQ与△ABC类似，根据路程公式可得AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t，然后利用类似三角形的性子对应边的比相称列出方程求解即可．
解答：解：设经过秒后t秒后，△PBQ与△ABC类似，则有AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t，
当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB=BQ：BC，
即（10﹣2t）：10=4t：20，
解得t=2.5（s）（6分）
当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（10﹣2t）：20，
解得t=1．
以是，经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC类似（10分）．
解法二：设ts后，△PBQ与△ABC类似，则有，AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t
分两种状况：
（1）当BP与AB对应时，有=，即=
（2）当BP与BC对应时，有=，即=，解得t=1s
以是经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC类似．
点评：本题综合了路程成绩和三角形的成绩，以是学平生时学过的学问要会交融起来．
16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形类似．
考点：类似三角形的断定.菁优网版权全部
专题：分类讨论.
分析：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形类似．在Rt△ABC和Rt△ACD，直角边的对应需分状况讨论．
解答：解：∵AC=，AD=2，
∴CD==．要使这两个直角三角形类似，有两种状况：
（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有=，∴AB==3；
（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有=，∴AB==3．
故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形类似．
点评：本题考查类似三角形的断定．辨认两三角形类似，除了要掌握定义外，还要留意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合头脑根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．
17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN类似？若能，请给出证明，若不克不及，请阐明理由．
考点：类似三角形的断定；正方形的性子.菁优网版权全部
专题：探求型；分类讨论.
分析：两个三角形都是直角三角形，还只需满足一对角对应相称或夹直角的两边对应成比例即可阐明两个三角形类似．
若DM与AM对应，则△CDM与△MAN全等，N与B重合，分歧题意；
若DM与AN对应，则CD：AM=DM：AN，得AN=a，从而确定N的地位．
解答：证明：分两种状况讨论：
①若△CDM∽△MAN，则=．
∵边长为a，M是AD的中点，
∴AN=a．
②若△CDM∽△NAM，则．
∵边长为a，M是AD的中点，
∴AN=a，即N点与B重合，分歧题意．
以是，能在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN类似．当AN=a时，N点的地位满足条件．
点评：此题考查类似三角形的断定．因不明白对应关系，以是需分类讨论．
18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速率挪动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s 的速率挪动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探求经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA类似？
考点：类似三角形的断定.菁优网版权全部
专题：综合题；动点型.
分析：此题要根据类似三角形的性子设出未知数，即经过x秒后，两三角形类似，然后根据速率公式求出他
们挪动的长度，再根据类似三角形的性子列出分式方程求解．
解答：解：设经过x秒后，两三角形类似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，（1分）
∵∠C=∠C=90°，
∴当或时，两三角形类似．（3分）
（1）当时，，∴x=；（4分）
（2）当时，，∴x=．（5分）
以是，经过秒或秒后，两三角形类似．（6分）
点评：本题综合考查了路程成绩，类似三角形的性子及一元一次方程的解法．
19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的地位，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形类似．
考点：类似三角形的断定；梯形.菁优网版权全部
专题：分类讨论.
分析：此题考查了类似三角形的断定与性子，解题时要仔细审题，选择适合的断定方法．解题时要留意一题多解的状况，要留意别漏解．
解答：解：（1）若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，
∴=，
∴=，
∴AP2﹣7AP+6=0，
∴AP=1或AP=6，
检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，
∴=，
又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．
当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BCP．
（2）若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．
∴=，∴=，∴AP=．
检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，
∴=，
又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．
因此，点P的地位有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．
点评：此题考查了类似三角形的断定和性子；断定为：
①有两个对应角相称的三角形类似；
②有两个对应边的比相称，且其夹角相称，则两个三角形类似；
③三组对应边的比相称，则两个三角形类似；性子为类似三角形的对应角相称，对应边的比相称．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF 的顶点E位于边BC的中点上．
（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：
△BEM∽△CNE；
（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延伸线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对类似三角形外，能否再找出一对类似三角形并证明你的结论．
考点：类似三角形的断定；等腰直角三角形.菁优网版权全部
专题：证明题；开放型.
分析：由于此题是特殊的三角形，以是首先要分析等腰直角三角形的性子：可得锐角为45°，根据角之间的关系，利用假如两个三角形的三组对应边的比相称，那么这两个三角形类似可断定三角形类似；再根据性子得到比例线段，有夹角相称证得△ECN∽△MEN．
解答：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°
又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°
∴∠NEC+∠MEB=135°
∴∠BEM=∠NEC，（4分）
而∠MBE=∠ECN=45°，
∴△BEM∽△CNE．（6分）
（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，
∴．（8分）
又∵BE=EC，
∴，（10分）
则△ECN与△MEN中有，
又∠ECN=∠MEN=45°，
∴△ECN∽△MEN．（12分）
点评：此题考查了类似三角形的断定和性子：
①假如两个三角形的三组对应边的比相称，那么这两个三角形类似；
②假如两个三角形的两条对应边的比相称，且夹角相称，那么这两个三角形类似；
③假如两个三角形的两个对应角相称，那么这两个三角形类似．
21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速率挪动；点Q沿DA边从点D开始向点A。