北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《换底公式》教学设计二

《换底公式》教学设计二
教学设计
一、复习导入
1.复习对数的定义及运算性质.
（1）对数定义：一般地，如果a （01a a >≠，且）的b 次幂等于N ，即b a N =，那么数b 称为以a 为底N 的对数.
（2）对数的运算性质：
如果0100R a a M N b >≠>>∈，，，，，则有：
（1）log ()log log a a a M N M N ⋅=+；
（2）log log log a a a M M N N
=-； （3）log log b a a M b M =.
2.思考：我们能否直接求出log25的值呢？借助科学计算器呢？
有些计算器上只有常用对数键“LOG”（即“lg”）和自然对数键“LN （即“ln”），对一般底数的对数没法直接计算.
3.如果能将其他底的对数转化成以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出以任意不等于1的正数为底数的对数值那么，如何转换呢
设计意图：以问题引导学生复习回顾前面学习的对数的定义及对数的运算性质，思考能否用计算器直接计算出2log 5的值，引入本节课的学习内容，让学生体会学习这节内容的必要性.
二、研探新知，建构概念
阅读教材，回答以下问题：（通过投影仪提出问题，提供5分钟时间让学生自学探究，适时引导）
问题1：如何使用科学计算器计算对数？
问题2：你能把2log 5用以10或以e 为底的对数来表示吗?
问题3：更一般地，上述结论成立吗？如何证明?
问题4：你能用自己的话概括出换底公式吗？
问题5：换底公式的意义是什么？有什么作用？
活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的自学能力与创造性思维能力.
对于问题1，考虑利用对数的定义，转化成指数方程再两边取常用对数或自然对数来求解.
对于问题2，考虑参考问题1的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示. 对于问题3，借助问题1、2的思路，利用对数的定义来证明.
问题4抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式.
一个数的对数，等于同一底数的原对数真数的对数与原对数底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个同底对数的商换底公式的意义就在于把对数的底数改变，把不同底对数问题转化为同底对数问题，为使用对数的运算性质创造条件，更方便化简求值.
设计意图：设计5个问题，引导学生由特殊到一般地思考得出换底公式，体现了数学的由特殊到一般的思维方法，这也是我们得出数学结论常用的方法.
探究1 设2log 5x =，根据对数的定义，写成指数式得25x =.①
对①式两边取常用对数，得到lg 2lg5x =，所以lg 5lg 2
x =. 这样我们可以用科学计算器中常用对数键“LOG”算出2log 5的值：2lg5log 5 2.32192809489lg 2
=≈. 如果对①式两边取自然对数，得到ln 2ln5x =，所以ln 5ln 2
x =. 这样我们可以用科学计算器中的自然对数键“LN”算出2log 5的值.
探究2 如果对①式两边取以c （01c c >≠，且）为底的对数，得log 2log 5c c x =所以log 5log 2
c c x =. 探究3 证明：设log a b x =，根据对数定义，写成指数式，得x a b =.
根据相等的两个正数的同底对数相等，两边取以c （01c c >≠，且）为底的
对数，得log log c c x a b =， 所以log log c c b x a
=. 由于log a b x =，所以log log log c a c b b a =
. 换底公式：
一般地，若000a b c >>>，，，且11a c ≠≠，，则log log log c a c b b a
=
，这个结论称为对数的换底公式. 设计意图：探究过程体现了由特殊到一般的思维过程，探究1是取常用对数，探究2取更一般的字母c ，探究3全部换成字母，得出一般结论.
三、质疑答辩，发展思维
例1 用科学计算器计算（精确到0.001）：
（1）2log 3；（2）3log 2；（3）2log 7；（4）3log 5.
分析：先利用换底公式改写成自然对数或常用对数的商的形式，再利用计算器计算.
解：（1）2lg 3log 3 1.585lg 2
=≈. （2）3lg 2log 20.631lg 3
=≈. （3）2lg 7log 7 2.807lg 2=
≈. （4）3ln 5log 5 1.465ln 3
=≈. 设计意图：让学生通过合作学习，使用计算器完成.看谁算得快，增强合作与竞争意识.
例2 计算：
（1）27log 81；（2）165log 25log 8⋅；（3）log log a b b a ⋅（00a b >>，，且11a b ≠≠，）.
分析：（1）利用换底公式换成以3为底的对数；（2）（3）换成以10为底或以e 为底的对数进行计算（当然也可以换成其他底数）.
解：（1）3273log 814log 81log 273
==. （2）165lg 25lg82lg 53lg 23log 25log 8lg16lg 54lg 2lg 52⋅=
⋅=⋅=. （3）ln ln log log 1ln ln a b b a b a a b ⋅=
⋅=. 例3 计算：
（1）420.5251log log 3log 95
+-； （2）()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2
+--. 分析：（1）先利用换底公式换成同底的对数，化简之后利用对数的运算性质（逆用）计算；（2）利用换底公式换成同底对数，然后化简.
解：根据对数的换底公式，得
（1）4
20.5251log log 3log 95+- 22222251log log 95log 3log 4log 0.5
=+- 2225log log 3log 53
=+- 225log 35log 103⎛⎫=⨯÷== ⎪⎝⎭
. （2）()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+-
- 2ln 2ln 3ln 2ln 2ln 3ln 3ln 3ln 2ln 3ln 3ln 2ln 2⎛⎫=+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭ 2222
ln 2ln 3ln 2ln 32ln 3ln 2ln 3ln 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2=
师生活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，使用换底公式统一底数在讲授时可通过实物展示台放映学生解答过程分析解答情况.
师指出：在对数运算中，要特别注意观察对数的特点，若是同底数对数的加减运算，通常运用对数的运算性质，先将对数之间的加减运算转化为真数之间的乘除运算，然后再进行对数运算；若不是同底数对数，则要考虑使用换底公式化为同底数对数再计算.
设计意图：让学生体会要根据题目的特点，底数不同，要考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或自然对数当然以2为底或以3为底的对数也可，灵活应用对数的换底公式是解决问题的关键.
例4 分别计算下列各式，你能得出什么结论？
（1）25log 5log 16⋅；
（2）369log 6log 9log 4⋅⋅；
（3
）7153
17log log 5log 3⋅⋅⋅ 分析：利用换底公式化为同底数对数然后进行计算.
解：（1）25lg54lg 2log 5log 164lg 2lg5
⋅=⋅=. （2）3693lg 6lg9lg 4log 6log 9log 4log 4lg3lg 6lg9⋅⋅=
⋅⋅=. （3
）71531lg
1lg537log log 5log 113lg 7lg5lg 3⋅⋅⋅=⋅⋅=. 师生活动：让学生先计算，然后分析、观察，教师引导总结规律.
结论：log log log a b a b c c ⋅=.
例5 设00a b >>，，且11a b ≠≠，，利用对数的换底公式证明：
（1）1log log a a b b a α=；（2）log log a a a b b ββα
=. 分析：（1）利用换底公式换成以b 为底的对数；（2）利用换底公式换成以a 为底的对数.
解：（1）
log1
log
log log
a
b
a
b b
b
b
a a
αα
==.
（2）
log log
log log
log log
a a
a a
a a
b b
b b
a a
α
β
β
α
ββ
αα
===.
设计意图：从例题的解答过程中，引导学生思考一般性结论，强调底数的次方数为分母，真数的次方数为分子.
四、巩固练习
教材第104页练习第2，4，6题.
五、课堂小结
1.换底公式可以完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可以正用，也可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简所以在对数的运算中，应尽量化为同底的对数，以便用于运算.
2.不论是指数和对数的互化，还是把底数不同的对数转化为底数相同的对数，都用到了转化与化归的思想、方程思想.
板书设计
教学研讨
本课是在学习了对数的概念和运算性质的基础上来研究换底公式，利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数计算问题的基本思想方法，一般利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算，在具体解题过程中，不仅要能正用换底公式，还要能熟练地逆用换底公式，本案例的设计以问题引导教学，问题的设计由易到难，由特殊到一般，层次性强.让学生在问题的引导下不断地深入思考，发现问题的本质，得出数学结论.由特殊到般的思维方法，也就是归纳一猜想一证明的思维方法是我们发现数学结论常用的方法，在这一节里，换底公式的推导、重要结论的得出，都体现了这一数学思想方法，这一点要让学生认真体会本案例例题设计得比较多，例4、例5实际上是课后的练习题，通过这两个题目，主要让学生发现、总结两个重要的结论，这两个结论在今后解题时可以直接运用.这种安排是否合理，教师们可以交流、研讨.。