1.2基本不等式课件人教新课标B版

4
4
4
+ 2
4
4
4
2
+
2
无解.
-11-
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1.2 基本不等式
题型一
题型二
题型三
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题型四
利用基本不等式比较大小
【例 1】
+
设 a,b∈(0,+∞),试比较
分析:根据题设条件,合理变形,创造能用基本不等式的条件.
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题型四
解:(1)因为 x+2y=1,
1

1
+2 +2
解析:∵x,y,z是正数,
∴xyz≤
++ 3
3
= 23.
∴lg x+lg y+lg z=lg xyz≤lg 23=3lg 2,当且仅当x=y=z=2时,等号成
立.
答案:B
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题型四
5
(3)因为 x< , 所以4x-5<0,故 5-4x>0.
4
所以 y=4x-1 +
因为 5-4x+
1
4-5
1
5-4
= − 5-4 +
≥ 2 (5-4)·
1
5-4
所以 y≤-2+4=2.
当且仅当 5-4x=
1
1
5-4
+ 4.
= 2,
, 即x=1 时,等号成立.
,
2
,
2 +2 2
,
的大小,
2
+
并说明理由.
分析:解答本题应充分利用基本不等式及其变形,不等式的性质.
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题型三
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∴ ≥ 1
又∵
∴
+
2
1
+

+ 2
2
≤
公式的推导和结论的运用:调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
≤平方平均值.
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利用基本不等式求最值
【例 2】
+
+
≤
2
+

≥ 可得到结论:① + ≥2(a,b
2

2
2 +
(a,b 是正数).
2
(4)定理中的 a,b 可以是数字,也可以是比较复杂的代数式.
-4-
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【做一做2-1】 下列不等式中正确的是(
π
0,
2
【做一做 1】 已知 θ∈
, 则sin θcos θ 的最大值为
.
解析:由 a,b∈R,a2+b2≥2ab,
得
2 +2
ab≤
, 则sin θcos
2
当且仅当sin θ=cos θ,即
1
答案:
2
sin2 +cos2
1
θ≤
= ,
2
2
π
θ= 时等号成立.
4
2.定理2(基本不等式或平均值不等式)
2
这时候,拆成的数要相等,如 y=
=
+ , 其中把x2 拆
2
2
2


4
成 + , 这样可满足不等式成立的条件,若变形为 y= 4 + 2 =
2
2

2
4

3
+ + 2, 虽然满足了乘积是定值这个要求,但“三相等”这个要
4
4
4
4
2
3
求就无法满足了,这是因为等号成立的条件是 4 = = 2, 显然x
∴x+y≥2 = 4, 当且仅当x=y=2 时,等号成立.
故 x+y 的最小值为 4.
答案:4
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3.定理3(三个正数的算术—几何平均值不等式或平均值不等式)
4
=
2 + 2
2
,
(当且仅当a=b 时等号成立).
≤ ≤
+
2
≤
2 + 2
2
(当且仅当a=b 时等号成立).
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2.如何使用基本不等式中的变形与拼凑方法?
剖析:为了使用基本不等式求最值(或范围等),往往需要对数学代
数式变形或拼凑数学结构,有时一个数拆成两个或两个以则
立.
++
≥
3
3
abc, 当且仅当a=b=c 时,等号成
a+b+c
3
(2)称
为正数a,b,c 的算术平均值,
3
为正数a,b,c 的几何
平均值.
(3)定理3可用语言叙述为三个正数的算术平均值不小于它们的
几何平均值.
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综上所述,
2
=
=
+
2
2
+

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2

,
(当且仅当a=b 时等号成立).
2 + 2 +2
4
2 + 2
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解:∵a,b∈(0,+∞),
+
1
1
∴ ≤
(当且仅当a=b 时等号成立), + ≥
2
2
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≤
2 + 2 + 2+ 2
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【做一做3】 已知x,y,z是正数,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z的取
值范围是(
)
A.(-∞,lg 6] B.(-∞,3lg 2]
C.[lg 6,+∞) D.[3lg 2,+∞)





·

A.若 a,b∈R,则 + ≥ 2
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)
=2
B.若 x,y 都是正数,则 lg x+lg y≥2 lg·lg
4

4

C.若 x<0,则 x+ ≥-2 · = −4
D.若 x≤0,则 2x+2-x≥2 2 ·2- = 2
+
(1)如果 a,b 为正数,则
≥ , 当且仅当a=b 时,等号成立.
2
+
(2)称
为正数a,b 的算术平均值, 为正数a,b 的几何平均值.
2
(3)基本不等式可用语言叙述为:两个正数的算术平均值大于或等
于它们的几何平均值.
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+
≥2ab与
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【做一做 2-2】 若 log 2 + log 2 = 4, 则x+y 的最小值是 .
解析:由题意可知 x>0,y>0,log 2 = 4,
∴xy=4.
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4.定理4(一般情势的算术—几何平均值不等式)
如果 a1,a 2,a3,…,an 为 n 个正数,则
1 +2 +…+

≥

a1 a2 …an ,
并且当且仅当a1=a2=…=an 时,等号成立.
【做一做 4】 若 a,b,c,d 是正数,






(-1)+(-4)
≥
2
(-1) × (-4)
不成立.
(2)a2+b2≥2ab与
+
≥
2
都是带有等号的不等式.“当且仅当
a=b 时,等号成立”这句话的含义是“a=b”是“=”成立的充要条件,这
一点至关重要,忽略它,往往会导致解题错误.
(3)由公式 a2+b2≥2ab和
同号);② 1
2
1 ≤ ≤
4.掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题.
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1.定理1
设a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
题型四
反思基本不等式有着重要的应用,在使用时还应记住重要的变
2
+
形公式.如 a,b 是正数,且 b≥a 时,a≤
2 +
2
2
2
≤b,其中
+
=1
2
1
+

≤ ≤
+
≤
2
为a,b 的调和平均值, 为a,b 的几何平

+
均值,
为a,b 的算术平均值,
2
2 +
2
2
为a,b 的平方平均值.要注意




解析:对于选项 A,当 ab>0 时,有 + ≥2;
对于选项 B,当 x>1,y>1 时,有 lg x+lg y≥2 lg·lg;
4

对于选项 C,当 x<0 时,有 x+ = − --
4

≤-2 4 = −4.
故可排除选项 A,B,C,故选 D.
答案:D
-5-
1.2 基本不等式
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= ×
= ,
35
35
2
35
2
7
10
当且仅当 5x=7y=10,即 x=2,y= 时,等号成立,
7
20
此时 xy 取最大值 .
7
所以 + =
2.
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1.2 基本不等式
题型三
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“二定”:包含两类求最值问题:一是已知n个正数的和为定值(即
a1+a2+…+an为定值),求其积a1a2…an的最大值;二是已知乘积
a1a2…an为定值,求其和a1+a2+…+an的最小值.
“三相等”:等号成立的条件是a1=a2=a3=…=an,不能只是其中一部
分值相等.
-10-
1.2 基本不等式


则 + + + 的最小值为
解析:由定理


4 可得, + + +


.
≥4
4
b c d a
···
a b c d
= 4,
当且仅当a=b=c=d 时,等号成立.
答案:4
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2
+
=3+ +





2
≥3+2
· = 3+2 2,

2

当且仅当 = ,x+2y=1,即


2
x= 2 − 1,y=1 − 时,等号成立.
2
2
1 1
所以当 x= 2 − 1,y=1 − 时, + 取最小值3+2
2

1
1 5+7 2
1
20 2
20
(2)xy= (5x·7y)≤
1.2
基本不等式
-1-
1.2 基本不等式
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1.了解两个或三个正数的算术平均值和几何平均值.
2.理解定理1和定理2(基本不等式).
3.探索并了解三个正数的算术—几何平均值不等式的证明过程.
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1.三个或三个以上正数的算术—几何平均值不等式的应用条件
是什么?
剖析:“一正”:不论是三个数的平均值不等式或者n个数的平均值
3
不等式,都要求是正数,否则不等式是不成立的.如 a+b+c≥3 abc.
3
取a=b=-2,c=2 时,a+b+c=-2,而 3 = 6, 显然-2≥6 不成立.