高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：2.3 数学归纳法(一) Word版含答案

2.3 数学归纳法(一)
[学习目标]
1．了解数学归纳法的原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． [知识链接]
1．对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n
1＋a n (n ∈N *)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？
你的猜想一定是正确的吗？
答 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14.猜想数列的通项公式为a n ＝1
n .不能保证猜想一定正确，需
要严密的证明．
2．多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？
答 (1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件(2)事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K 块倒下，则相邻的第K ＋1块也倒下． 3．类比问题2中的多米诺骨牌游戏的原理，想一想如何证明问题1中的猜想？
答 (1)当n ＝1时，猜想成立；(2)若当n ＝k 时猜想成立，证明当n ＝k ＋1时猜想也成立． [预习导引] 1．数学归纳法
证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；
②(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 2．应用数学归纳法时注意几点：
(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
(3)步骤②的证明必须以“假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”为条件．
要点一 正确判断命题从n ＝k 到n ＝k ＋1项的变化
例1 已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋
1)比f (2k )多的项数是
________． 答案 2k
解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，
f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ，而f (2k ＋
1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .
因此f (2k ＋
1)比f (2k )多了2k 项．
规律方法 在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k ＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．
跟踪演练1 设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1
3n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于________．
答案
13n ＋13n ＋1＋1
3n ＋2
解析 ∵f (n )＝1＋12＋13＋…＋1
3n －1
，
∴f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋1
3n ＋2，
∴f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋1
3n ＋2.
要点二 证明与自然数n 有关的等式
例2 已知n ∈N *，证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
2n .
证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝1
2，
等式成立；
(2)假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时等式成立，即： 1－12＋13－14＋…＋12k －1－1
2k ＝
1k ＋1＋1k ＋2
＋…＋12k .
则当n ＝k ＋1时，
左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋1
2(k ＋1)－1
－12(k ＋1)
＝1k ＋1＋1k ＋2
＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)
＝1k ＋2＋1k ＋3
＋…＋12k ＋1
2k ＋1＋⎣⎡⎦⎤1k ＋1－12(k ＋1)
＝
1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1
(k ＋1)＋k
＋
1
2(k ＋1)
＝右边；
所以当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)知对一切n ∈N *等式都成立．
规律方法 (1)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范；
(2)用数学归纳法证题时，要把n ＝k 时的命题当作条件，在证n ＝k ＋1命题成立时须用上假设．要注意当n ＝k ＋1时，等式两边的式子与n ＝k 时等式两边的式子的联系，弄清楚增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决． 跟踪演练2 用数学归纳法证明：
当n ≥2，n ∈N *时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n
. 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝3
4，右边＝2＋12×2＝34，∴n ＝2时等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋1
2k ， 那么当n ＝k ＋1时，
⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ·
⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝(k ＋1)2
－12k (k ＋1)＝k ＋22(k ＋1)
＝(k ＋1)＋12(k ＋1)
. ∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式都成立． 要点三 证明与数列有关的问题
例3 某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n ≥2，数列的前n 项之积为n 2. (1)写出这个数列的前五项；
(2)写出这个数列的通项公式，并加以证明． 解 (1)已知a 1＝1，由题意得a 1·a 2＝22， ∴a 2＝22
，∵a 1·a 2·a 3＝32
，∴a 3＝322
2.
同理可得a 4＝4232，a 5＝52
4
2.
因此这个数列的前五项为1,4，94，169，25
16
.
(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1 (n ＝1)，n 2
(n －1)
2 (n ≥2)，
下面用数学归纳法证明当n ≥2时，a n ＝n 2
(n －1)2.
①当n ＝2时，a 2＝22(2－1)2＝22
， 所以等式成立．
②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，结论成立， 即a k ＝k 2(k －1)2
，
则当n ＝k ＋1时，∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2， ∴a 1·a 2·…·a k ＋1＝(k ＋1)2. ∴a k ＋1＝(k ＋1)2(a 1·a 2·…·a k －1)·a k
＝(k ＋1)2(k －1)2·(k －1)2[(k ＋1)－1]2＝(k ＋1)2
[(k ＋1)－1]2， 所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．
根据①②可知，当n ≥2时，这个数列的通项公式是 a n ＝n 2
(n －1)2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1 (n ＝1)，n
2(n －1)
2 (n ≥2).
规律方法 (1)数列{a n }既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式，只能根据给出的递推式和初始值，分别计算出前几项，然后归纳猜想出通项公式a n ，并用数学归纳法加以证明．
(2)数学归纳法是重要的证明方法，常与其他知识结合，尤其是数学中的归纳，猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查，证明中要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法． 跟踪演练3 数列{a n }满足：a 1＝1
6，前n 项和S n ＝n (n ＋1)2a n ，
(1)写出a 2，a 3，a 4；
(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明． 解 (1)令n ＝2，得S 2＝2×(2＋1)
2a 2，
即a 1＋a 2＝3a 2，解得a 2＝1
12
.
令n ＝3，得S 3＝3×(3＋1)
2a 3，
即a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，解得a 3＝1
20.
令n ＝4，得S 4＝4×(4＋1)
2a 4，
即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，解得a 4＝1
30
.
(2)由(1)的结果猜想a n ＝1
(n ＋1)(n ＋2)，下面用数学归纳法给予证明：
①当n ＝1时，a 1＝16＝1
(1＋1)(1＋2)
，结论成立．
②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝1
(k ＋1)(k ＋2)，
则当n ＝k ＋1时，S k ＝k ·(k ＋1)
2a k ，
① S k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2
a k ＋1，
②
②与①相减得a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1－k ·(k ＋1)
2
a k ，
整理得a k ＋1＝k ＋1k ＋3a k ＝k ＋1k ＋3·1(k ＋1)(k ＋2)＝1(k ＋2)(k ＋3)＝1
[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2]，
即当n ＝k ＋1时结论也成立．
由①、②知对于n ∈N *，上述结论都成立．
1．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立
B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立
C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立
D ．以上说法都不正确 答案 C
解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2
＋…＋a 2n ＋1
＝1－a 2n ＋
2
1－a
(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算
所得项为( ) A ．1＋a
B ．1＋a ＋a 2
C ．1＋a ＋a 2＋a 3
D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4
答案 C
解析 将n ＝1代入a 2n
＋1
得a 3，故选C.
3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －
1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －
1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2
＋22＋…＋2
k －1
＋2k
＝1－2k ＋
11－2
＝2k ＋1
－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n
∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________． 答案 未用归纳假设
解析 本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．
4．当n ∈N *时，S n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，T n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1
2n ，
(1)求S 1，S 2，T 1，T 2；
(2)猜想S n 与T n 的关系，并用数学归纳法证明．
解 (1)∵当n ∈N *时，S n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，T n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1
2n .
∴S 1＝1－12＝12，S 2＝1－12＋13－14＝7
12，
T 1＝11＋1＝12，T 2＝12＋1＋12＋2＝7
12
.
(2)猜想S n ＝T n (n ∈N *)，即1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈
N *)．
下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，已证S 1＝T 1，
②假设n ＝k 时，S k ＝T k (k ≥1，k ∈N *)，
即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1
2k ，
则S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝T k ＋12k ＋1－1
2(k ＋1)
＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3
＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)
＝1k ＋2＋1k ＋3
＋…＋12k ＋1
2k ＋1＋⎝⎛⎭⎫1k ＋1－12(k ＋1)
＝
1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12k ＋1＋1
2(k ＋1)
＝T k ＋1.
由①，②可知，对任意n ∈N *，S n ＝T n 都成立．
在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；
(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.
一、基础达标
1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成
立
C ．当n ＝4时命题不成立
D ．当n ＝4时命题成立 答案 B
2．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( )
A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立
B ．该命题对于所有的正偶数都成立
C ．该命题何时成立与k 取值无关
D ．以上答案都不对 答案 B
解析 由n ＝k 时命题成立可以推出n ＝k ＋2时命题也成立．且n ＝2，故对所有的正偶数都成立．
3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为1
2n (n －3)条时，第一步验证n 等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
答案 C
解析 因为是证凸n 边形，所以应先验证三角形，故选C.
4．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋1
2n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f (n )是( )
A ．1
B ．13
C ．1＋12＋1
3
D ．以上答案均不正确
答案 C
5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －
1＝2n －1(n ∈N *)的过程中，第二步假设当n ＝k (k
∈N *)时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________． 答案 1＋2＋22＋…＋2k －
1＋2k ＝2k －1＋2k
解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1等式的左边增加了一项．
6．已知f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
3n －1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝________.
答案 f (k )＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1
k ＋1
7．用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－15…⎝⎛⎭⎫1－1n ＋2＝2n ＋2(n ∈N *
)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝2
3，等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即
⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－15…⎝⎛⎭⎫1－1k ＋2＝2k ＋2
，
当n ＝k ＋1时，
⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－15…⎝⎛⎭⎫1－1k ＋2·⎝⎛⎭⎫1－1k ＋3＝2k ＋2⎝⎛⎭⎫1－1k ＋3＝2(k ＋2)(k ＋2)(k ＋3)＝2k ＋3
＝2
(k ＋1)＋2
，
所以当n ＝k ＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立． 二、能力提升
8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C ．2k ＋1k ＋1
D ．2k ＋3
k ＋1
答案 B
解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．
9．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
n 2，则( )
A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1
3
B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1
4
C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1
3
D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1
4
答案 D
解析 观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1， ∴项数为n 2－n ＋1.
10．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为________． 证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．
答案 缺少步骤(1)，没有递推的基础 11．用数学归纳法证明：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2
.
证明 (1)当n ＝1时，左边＝1， 右边＝(－1)1－
1×1×22＝1，结论成立．
(2)假设当n ＝k 时，结论成立．
即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)
2
，
那么当n ＝k ＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k －
1k 2＋(－1)k (k ＋1)2
＝(－1)k －1·k (k ＋1)
2
＋(－1)k (k ＋1)2
＝(－1)k ·(k ＋1)－k ＋2k ＋2
2
＝(－1)k ·(k ＋1)(k ＋2)
2
＝(－1)k
＋1－1
·(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2
.
即n ＝k ＋1时结论也成立．
由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．
12．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式． (1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10， a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，
猜想a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
5 (n ＝1)
5×2n －2 (n ≥2，n ∈N *
). (2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－
2＝5，公式成立．
②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时成立， 即a k ＝5×2k －
2，
当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －
2.
＝5＋5(1－2k －
1)1－2
＝5×2k －1＝5×2(k ＋1)－
2.
故n ＝k ＋1时公式也成立．
由①②可知，对n ≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －
2.
所以数列{a n }的通项公式为
a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
5 (n ＝1)5×2n －2 (n ≥2，n ∈N *
). 三、探究与创新
13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；
(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120.
(2)猜想a n ＝1
n (n ＋1).下面用数学归纳法证明：
①当n ＝1时，猜想显然成立．
②假设n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝1
k (k ＋1).
那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1. 又S k ＝1－ka k ＝k
k ＋1
，
所以k k ＋1＋a k ＋1
＝1－(k ＋1)a k ＋1， 从而a k ＋1＝1(k ＋1)(k ＋2)＝1(k ＋1)[(k ＋1)＋1]
. 即n ＝k ＋1时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立。