考点09 指数函数(练习)(解析版)

考点9 指数函数
【题组一 定义辨析 】
1.下列函数中指数函数的个数是 。

①y =2x ；②y =x 2；③y =2x +1；④y =x x ；⑤y =（6a –3）x 12()23
a a >≠，且． 【答案】2
【解析】只有①⑤是指数函数；②底数不是常数，故不是指数函数；③1
2
22x x y +==⨯是2 与指数2x
y =的乘积；④中底数x 不是常数，不符合指数函数的定义，所以指数函数的个数是2． 2．下列函数中，指数函数的个数为 。

①1
12x y -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
②y ＝a x
()01a a >≠且；③y ＝1x
；④2112x
y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
【答案】1
【解析】由指数函数的定义可判定，只有②正确．
3．函数2(232)x y a a a =-+是指数函数，则a 的取值范围是 。

【答案】12⎧⎫⎨⎬⎩⎭
【解析】
函数2
(232)x
y a a a =-+是指数函数，22321a a ∴-+=且0a >，1a ≠，由22321a a -+=解
得1a =或12
a =
，12a ∴=，
4．已知函数2()(1)(1)x f x a a a =+-+为指数函数，则a = . 【答案】1
【解析】函数()(
)
()2
11x
f x a a a =+-+为指数函数，211
10
a a a ⎧+-=∴⎨+>⎩解得1a =
【题组二 定义域】
1
．函数
()1f x x =-__________. 【答案】(2,1)-
【解析】函数()f x =的自变量x 满足：2650140210
x
x x x ⎧--≥⎪⎪⎛⎫->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≠⎩
， 解得6121x x x -≤≤⎧⎪
>-⎨⎪≠⎩
即 21x -<<.故答案为：(2,1)-
2
．函数
31
()log f x x
=+
的定义域为 。

【答案】{}1|0x x <<
【解析】要使函数有意义，则0
1220x x x >⎧⎪
≠⎨⎪-≥⎩
，解得0＜x <1，
3
．设函数()f x = ，则函数2(log )y f x = 的定义域为 。

【答案】(0,2]
【解析】∵函数()f x =440x -≥，解得1x ≤，∴y ＝f （x ）的定义域为(]
,1-∞， ∴函数2(log )y f x =，满足log 2x ≤1，解得02x <≤，∴y ＝f （log 2x ）的定义域是(0,2]. 4
．若函数()f x =R ，则a 的取值范围是 。

【答案】【-1,0】 【解析】∵函数的定义域为R,
∴
恒成立
5
．已知函数y =R ，则实数a 的取值范围是__________．
【答案】0a ≤ 【解析】
函数的定义域为R ，则20x a -≥恒成立，即2x a ≤恒成立，
20＞，
x 0a ∴≤， 【题组三 单调性】
1．函数2x y －＝ 的单调递增区间是 。

【答案】(－∞，0]
【解析】2,02
2,0x x
x x y x --⎧>==⎨≤⎩，可知，单调递增区间为(],0-∞． 2．函数265
1()()3
x x f x -+=的单调递减区间为 。

【答案】[3,)+∞
【解析】1()3
u
y =是减函数，265u x x =-+在(,3]-∞是递减，在[3,)+∞上递增，∴()f x 的减区间是
[3,)+∞．
3．函数()2
32x x
f x -=的单调递减区间为 。

【答案】3,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
【解析】()2
32x
x
f x -=由2u
y =与23u x x =-复合，而2u
y =为单调递增函数，所以函数()2
32x
x
f x -=的
单调递减区间为23u x x =-单调递减区间,即单调递减区间为3,
2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
. 4
．函数12y ⎛= ⎪⎝⎭
的单调增区间是______________．
【答案】(]
,1-∞
【解析】2320x x -+≥解得2x ≥或1x ≤．定义域为(]
[),12,-∞+∞．
外层函数12u
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
单调递减，由复合函数“同增异减”
知当内层函数y =单调递增．即单增区间为(],1-∞.故答案为：(]
,1-∞
5．设0<a <1，则使不等式2
2
2135x x x x a a >－＋－＋成立的x 的集合是________． 【答案】(－∞，4) 【解析】
01,x a y a <<∴=为减函数，2
2
21
35
x
x x
x a a -+-+>，222135x x x x ∴-+<-+，解得4x <，
故使条件成立的x 的集合为(),4-∞，故答案为(),4-∞. 6．若函数1
2
x f x 且()f x 在[
),m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于______． 【答案】1
【解析】函数()11
12,12
2,1
x x x x f x x ---⎧<==⎨≥⎩，则函数()f x 的单调递增区间为[)1,+∞， 若函数1
2
x f x 在[
),m +∞上单调递增，则[)[),1,m +∞⊆+∞，即m 1≥， 即实数m 的最小值等于1，故答案为：1．
7．若函数()142 1.2x a x f x a x x ⎧>⎪
=⎨⎛⎫
-+≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩，，，是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[4,)
8 【解析】函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪
=⎨⎛⎫
-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，1
402422a a a a ⎧
⎪>⎪
⎪∴->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩
， 解得实数a 的取取值范围是[)4,8，故答案为[
)4,8.
8．已知函数(31)22,1
()2,
1ax
a x a x f x x -+-≥⎧=⎨<⎩满足对于任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围为________ 【答案】1
(,1]3
【解析】因为对于任意12x x ≠，都有
1212
()()
0f x f x x x ->-，故
对任意的12x x <，总有12())0(f x f x -<即12()()f x f x <，故()f x 为R 上的增函数，
所以031012a a a a >⎧⎪->⎨⎪+≥⎩
，故1312a a a ⎧>⎪⎨⎪+≥⎩.令()1g a a =+，()2a
h a =，它们的图象如图所示：
故()()g a h a ≥的解为[]0,1，故13
12a a a ⎧>⎪⎨⎪+≥⎩
的解为1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：1,13⎛⎤
⎥⎝⎦. 9．设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是 。

【答案】b a c ＜＜
【解析】由0.6x
y =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，
10．设353
777
53773(),(),(7
)a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 。

【答案】b c a << 【解析】因为指数函数37x
y ⎛⎫=
⎪⎝⎭是减函数，5377>,所以5
737⎛⎫ ⎪⎝⎭<37
37⎛⎫ ⎪⎝⎭
，即b c <； 因为幂函数3
7
y x =是增函数，5377>,所以3
757⎛⎫ ⎪⎝⎭>3
7
37⎛⎫ ⎪⎝⎭
,即c a <，所以b c a <<.
11．已知142
53536,3,9,a b c ===则a 、b 、c 的大小关系 。

【答案】a c b <<
【解析】由题意得：1
536a =，2
59c ==1
581，
1
5
y x =在[
)0,+∞为单调递增函数，∴a ＜c ，同理可得：433b =，259c ==4
53，
3x y =在R 上为单调递增函数，∴c ＜b ，综上a c b <<，
12．已知
32
1.4
a -
=，3
21.7b -=，21.7c -=，则a 、b 、c 的大小关系 。

【答案】c b a <<
【解析】幂函数3
2y x -=在区间()0,∞+上为减函数，33
221.4 1.7--∴>，即a b >； 指数函数 1.7x
y =在R 上为增函数，3
221.7 1.7--∴>，即b c >.因此，c b a <<. 【题组四 值域】 1．函数21
12x y -⎛⎫
=
⎪⎝⎭
的值域是_____．
【答案】（0，2]
【解析】由211x -≥-,得21
1
1102,22x y --⎛⎫
⎛⎫<=≤=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭即函数21
12x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭
的值域为(]
0,2.故答案为:(] 0,2.
2．函数1212
x
x
y -=+的值域为 【答案】(1,1)-
【解析】()
1221221122121
x x x x x y -++--+++=+=因为211x +>20221x ∴<<+12(1,1)12x x y y -∴-+=∈
3．函数2121,[2,0]4x
x y x -⎛⎫=-+∈- ⎪⎝⎭
的值域为 。

【答案】[-3,1]
【解析】()
2
21212421,[2,0]4x
x x
x y x ---⎛⎫
=-+=-⋅+∈- ⎪⎝⎭
令[]2
1,4x
t -=∈，则()2
24123,[1,4]y t t x t =-+=--∈，∴()[]2
233,1y x =--∈-，
4．函数()1
13
934
x x
f x --⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭
在[)1,-+∞上的值域为_________. 【答案】3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】()1
2131139334334
x x x x
f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭，令13x
t ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，因为[)1,x ∈-+∞，所以(]03t ∈,，
原函数的值域等价于函数()2
2333342g t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭
（03t <）的值域， 所以()f x 在30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，332f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()3
034f f ==
所以()3,34f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：3,34
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
5．函数1()41(0)2x
x
f x x -⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭
的值域是___________.
【答案】(1,3]
【解析】因为0x ≥，设(012,1]x
t ⎛⎫= ⎪⎝⎭
∈,2
1(0,1]y t t t =++∈，,
2213
1=()24
y t t t =++++在(0,1]上单调递增,所以2113t t <++≤故答案为：(1,3].
6．若函数3
1,(0)1
()142,(0)
2x x x f x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪⨯-<⎪⎩的值域为A ，则A 为__________.
【答案】71,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭
【解析】0x ≥时，11x +≥，1
011x <
≤+，∴31121
x -<-≤+， 0x <时，021
x
<<，11742222
x -<⨯-<， 综上函数的值域为7{|1}2y y -<<，即7(1,)2-。

故答案为：7
(1,)2
-。

7．已知函数f （x ）241
13ax x -+⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，若f （x ）的最大值为3，则a ＝_____.
【答案】2
【解析】由题意，f （t ）1()3
t
=是递减函数，那么t ＝ax 2﹣4x +1必有最小值使得f （t ）的最大值为3；
即31()3t =，那么t min ＝﹣1，所以0a >且2
4(4)14a a
--=-,解得：a ＝2.故答案为: 2
8．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]
1,0-，则a b += .
【答案】32
-
【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11
{10a b b -+=-+=，此方程组无解；
若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22
a b ==-，所以3
2a b +=-.
【题组五 定点】
1．函数y ＝a x +1﹣1（a ＞0，a ≠1）恒过的定点是（ ） A ．（1，﹣1） B ．（0，0） C ．（0，﹣1） D ．（﹣1，0）
【答案】D
【解析】因为0
1(0,1)a a a =>≠，所以当10x +=时有，01a =，即当1x =-时，1101a a -+==， 则当1x =-时，110110a a -+-=-=，所以当1x =-时，恒有函数值0y =. 所以函数y ＝a x +1﹣1（a ＞0，a ≠1）恒过的定点(1,0)-. 2．若函数23x y a -=+则该函数过的定点为（ ） A ．(1,3) B ．(0,1) C ．(1,0)
D ．
【答案】(2,4)
【解析】因为指数函数(),0,1x
y a a a =>≠的图像经过定点坐标是()0,1，
函数x
y a =图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到23x y a -=+，函数23x y a -=+的图像过的定
点()2,4.
3．函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图象恒过点的坐标为 。

【答案】()1,3
【解析】x
y a =的图象恒过定点()0,1，
把x y a =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得函数1
2x y a -=+的图象，
故函数1
2x y a
-=+的图象恒过点的坐标为()1,3.
4．若0a >且1a ≠，则函数21x y a -=-的图像一定过定点 。

【答案】()2,0
【解析】由2x =时,221a -=,则此时22
1y a -=-=0,所以函数21x y a -=-的图像恒过点(2,0).
5．函数
1()22x f x a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点 。

【答案】（-1，4）
【解析】由题,令10x +=,可得1x =-,则()11
122224f a -+-=+=+=,所以定点为()1,4-
6．已知函数()22
3x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是 。

【答案】()1,4
【解析】当220x -=时，1x =，即()22
13134f a
-=+=+=，故()1,4P .
7．已知函数13(01)x y a a a ，-=+>≠过定点P ，如果点P 是函数2()f x x bx c =++的顶点，那么,b c 的值分别为 。

【答案】-2,5 【解析】
x y a =（0a >且1a ≠）恒过()0,1点，所以13x y a -=+（0a >且1a ≠）恒过()1,4点，
又()1,4为2
()f x x bx c =++的顶点，满足14
12
b c b ++=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得25b c =-⎧⎨
=⎩ 【题组六 图像】
1．若函数3x y a =+的图像经过第一､二､三象限,则a 的取值范围是________. 【答案】（-1,0） 【解析】如图，
函数3x
y a =+的图象是把函数函数3x
y =的图象向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位得到的，
若函数3x
y a =+的图象经过第一、二、三象限，
则需把函数3x
y =的图象向下平移，但平移单位小于1，10a ∴-<<．故答案为：10a -<<．
2．若函数()()
101x y a b a a =-+>≠且的图象经过第一、三、四象限，则有 。

A ．1a >，且1b <
B ．1a >，且0b >
C ．01a <<，且0b >
D ．01a <<，且0b <
【答案】B
【解析】由题意,画出图象如图,由单调性可知,1a >,当0x =时,0,0y b b =-,选B.
3．若函数1x y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象经过第二、三、四象限，则一定有 。

A ．01a <<且0b > B ．1a >且0b > C ．01a <<且0b < D ．1a >且0b <
【答案】B
【解析】1x
y a b =+-，经过二、三、四象限，则其图像应如图所示：
所以01a <<，010a b +-<，即0b <，故选B.
4．若函数()1x
f x a b =+-（0a > 且 1a ≠) 的图象经过第一、三、四象限，则一定有 。

A ．10,0a b -><
B ．01,0a b <<<
C ．10,0a b ->>
D ．01,0a b <
【答案】A
【解析】因为函数()1x f x a b =+-的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
则根据指数函数的图象可知，1a >，即10a ->，又当0x =时，0y <，
即110b +-<，解得0b <．故选：A ．
5．函数()2
18x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭
的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】由题意得，()f x 的定义域为R ，排除C,D ；
当2x ≥-时，()2
18x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵1
018<<，∴()f x 在[)2,-+∞上单调递减，排除A ，故选B.
6．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示，则函数()x b f x a -+=的图象为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】通过函数()f x ax b =+的图象可知：10b -<<，
当1x =时，可得0a b +<，即01a b <<-<．函数()1()x b x b f x a a
-+-==是递增函数；排除C ，D ．当0x =时，可得()0b f a =，10b -<<，01a b <<-<，()01b f a ∴=>．故选A ．
7.已知(),0x f x a b a =+>，且1a ≠的图象如图所示，则(3)f 等于 。

【答案】3
【解析】由题中图象知，函数过()0,2-，()2,0，则()012f b =+=-，所以3b =-．又()2
230f a =-=，
所以a =，故(
)3x f x =-，(
)33f ∴=．
【题组七 指数综合运用】
1．求解下列问题
（1）已知函数23212x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭（），求函数()f x 的单调递增区间；
（2）已知函数111()242x x g x +⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，[]3,3x ∈-，求函数()g x 的值域. 【答案】(1)3 ,;2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭(2)31 ,6216⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【解析】(1)令223132,24t x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭则其减区间为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭, 由()12t f t ⎛⎫= ⎪⎝⎭
在定义域上为减函数
,
得()23212x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为:3 ,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
. (2)令12x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭,由[]3,3x ∈-得1,88m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, ∴()22113122416g m m m m ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝
⎭, ∴函数()g m 在11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单调减函数,在1,84
⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单调增函数, ∴()131416min g m g ⎛⎫== ⎪⎝⎭,()() 862max g m g ==, ∴()31,6216g m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
, ∴当[]3,3x ∈-时,函数()111242x x g x +⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为31,6216⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 2．已知函数2()21
x x a f x +=-. （1）若()f x 为奇函数，求a 的值； （2）在（1）的条件下，求函数()f x 的值域.
【答案】（1）1；（2）()(),11,-∞-+∞.
【解析】（1）()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，
因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-恒成立， 所以222121
x x x x a a --++=---，整理得到：()()12220x x a -⎡⎤-+-=⎣⎦，所以1a =. （2）令2121
x x y +=-，则()2121x x y -=+即121x y y +=-，所以101y y +>-且111y y +≠-，解得1y <-或1y >，所以函数的值域为()
(),11,-∞-+∞. 3
．求函数()f x =
【答案】定义域是(,1][4,)-∞⋃+∞．值域是[1,)+∞;单调减区间是(,1]-∞，单调增区间是[4,)+∞．
【解析】解不等式2540x x -+≥，得1x ≤或4x ≥，
所以，函数()y f x =的定义域为(][),14,-∞+∞.
250x x -
≥，()031f x ∴=≥=，则函数()y f x =的值域为[
)1,+∞. 令u
由二次函数的性质可知，内层函数u (],1-∞上单调递减，在区间[)4,+∞上单调递增，外层函数3u y =为增函数，
由复合函数同增异减法可知，函数()y f x =的单调递减区间为(],1-∞，单调递增区间为[)4,+∞.
4．已知函数243
1()3ax x f x -+⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（1）若1a =，求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 的最大值为3，求实数a 的值；
（3）若()f x 的值域是(0,)+∞，求实数a 的值
【答案】（1）函数()f x 的单调递减区间是(2,)+∞，单调递增区间是(,2)-∞（2）1a =（3）0
【解析】（1）当1a =时，243
1()3x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，令
2()43g x x x =-+，
由于()g x 在(,2)-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，而13t
y ⎛⎫
= ⎪⎝
⎭在R 上为减函数， 所以()f x 在(,2)-∞上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，
即函数()f x 的单调递减区间是(2,)+∞，单调递增区间是(,2)-∞。

（2）令2()43h x ax x =-+，则()
1()3h x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
为()f x 的最大值为3，所以()h x 的最小值为1-，
当0a =时，43
1()3x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭
，无最大值；
当0a ≠时，有0
341a a a >
⎧⎪-⎨=-⎪⎩，解得1
a =，
所以当()f x 的最大值为3时，实数a 的值为1。

（3）由指数函数的性质，知要使243
1()3ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭
的值域为(0,)+∞，
应使2()43h x ax x =-+的值域为R 。

当0a =时，()43h x x =-+，值域为R ，符合题意；
当0a ≠时，()h x 为二次函数，其值域不为R ，不符合题意。

故当()f x 的值域是(0,)+∞时，实数a 的值为0．。