苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第11章 解三角形 11.1 余弦定理 (2)

符号语言
2 = 2 + 2 − 2cos
2 = 2 + 2 − 2cos
知识点2. 余弦定理的变形
cos =
2 + 2 −2
,cos
2
=
2 +2 −2
,cos
2
=
2 +2 − 2
.
2
知识点3. 余弦定理的应用
利用余弦定理,可以解决以下两类解三角形的问题:
【题型一】已知两边一角解三角形
例1（1）（多选题）已知△ 中,内角,,所对的边分别为,,,且 = 30∘ ,
= 1, = 3,则的值可能是()
AD
A.1B. 2C. 3D.2
[解析] 在△ 中, = ∘ , = , = ,由余弦定理得 = + − ,
+ − ⋅ + + = ,则角的大小为()
C
A.60∘ B.90∘ C.120∘ D.150∘
[解析]由 + − + + = ,则 + − = −
所以 =
+ −

∘


=− ,
又∘ < < ,所以 = ∘ .故选C.
则△ 的形状为直角三角形,故选A.
+
+ −

=
+
,整理得

= + ,则
A
①△ 为直角三角形⇔ 2 = 2 + 2 或 2 = 2 + 2 或 2 = 2 + 2 .
②△ 为锐角三角形⇔ 2 + 2 > 2 ，且 2 + 2 > 2 ，且 2 + 2 > 2 .
③△ 为钝角三角形⇔ 2 + 2 < 2 或 2 + 2 < 2 或 2 + 2 < 2 .
④若sin 2 = sin 2,则 = 或 + =
π
.
2
跟踪训练3[2023长沙检测]在△ 中,1 + cos =
+
,则△

的形状为()
A.直角三角形
B.等腰三角形或直角三角形
C.正三角形
D.等腰三角形
[解析]在△ 中, + =
+
,则

= ∘ ,
【课标要求】1.掌握余弦定理.2.掌握余弦定理的证明过程.3.能够利用余弦定理解决有
关问题.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 余弦定理
文字语言
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦
的积的两倍
2 = 2 + 2 − 2cos
题后反思运用余弦定理判断三角形形状的方法
（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解
决问题.一般有两条思考路线：①先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.
②先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.
（2）判断三角形的形状时,经常用到以下结论：
解 由cos + cos = + ，结合余弦定理得 ⋅
2 + 2 −2
2 +2 − 2
+
= + ,整理得
2
2
2 = 2 + 2 ,故△ 是直角三角形.
2 + 2 −2
2
+⋅
2 +2 − 2
2
= + ,即
+ 2 − 2 − 2 = 0.因为 + ≠ 0,所以
跟踪训练1在△ 中,内角,,所对的边分别为,,.若 = 8, + = 7,
=
π
,则
3
5
=___.


[解析]由题知 = , + = , = ,由余弦定理得 = + − ,
则 = + − = +
所以 = + − × ×

,

即 − + = ,解得 = 或 = ,
所以的值可能是1或2.故选.
4
17或 65
（2）[2023南京检测]若△ 中, = 5, = 4,sin = ,则 =___________.
[解析]因为 =
所以 = , = , = ,所以最大,
所以 =
+ −

∘
=
+ −

∘


=− ,
因为∘ < < ，所以 = .故选C
（2）[2023南通月考]已知,,分别为△ 的内角,,所对的边,
+ + − +
所以ቐ > ,
+ + > + ,

< ,
解得 < < ,
所以的取值范围是 , ,故答案为 , .
【题型三】判断三角形形状
例3在△ 中，若cos + cos = + ,试判断该三角形的形状.
（1）已知三边,求三个角:此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角,再用余
弦定理求出另一个角,最后用三角形内角和定理求出第三个角.
（2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角:此种情况的基本解法是先用余
弦定理求出第三边,再用余弦定理求出另一个角,最后用三角形内角和定理求出第三个角.
02
题型分析·能力素养提升
题后反思 已知三角形的三边解三角形的方法
先利用余弦定理求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理求出第二个
角的余弦值，从而求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.
1,3
跟踪训练2若, + 1, + 2是钝角三角形的三边,则的取值范围是______.
[解析]因为 < + < + ,所以三边中 + 最大,

− = − × = ,则 = .
【题型二】已知三边（或关系）解三角形
例2（1）在△ 中,若 + : + : + = 4: 5: 6,则△ 的最大内角为
() C
A.60∘ B.90∘ C.120∘ D.150∘
[解析]令 + = , > ,则 + = , + = ,

,

< < ,所以 =

当 = 时,由余弦定理得

= + − =
5

± .



+ − × × × = ,
因为 > ,所以 = ；


当 = − 时,由余弦定理得

=

+

− = + − × × ×
因为 > ,所以 = .

−

= ,
题后反思 已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两
边的夹角.若是给出两边的夹角,可以直接用余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角,
可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边.