能量按自由度均分定理（EQUILIBRATION

二、能量按自由度均分定理（Equilibration Theorem of Energy ）
1．回顾：
理想气体分子平均平动动能
kT k 2
3=
ε 22222
1212121z y x k v m v m v m v m ++==ε 又 22223
1v v v v z y x === 有 kT v m v m v m z y x 21212121222=== 从这里我们可以看出，即分子的每一个平动自由度x,y,z 上具有相同的平均平动动能，都是2
1kT ，或者说分子的平均平动动能3kT /2是均匀地分配在分子的每一个平动自由度上。

2．推广：
在温度为T 的平衡态下，物质分子的每一个（转动）自由度(平动、转动、振动)上也具有相同的平均动能，大小也为kT /2。

3．能量按自由度均分定理：
在温度为T 的平衡状态下，分子的每一个自由度上都具有相同的平均能量，其大小都为kT /2，这就是能量按自由度均分定理，简称能量均分定理，经典统计力学可以证明这个结论。

例如：单原子分子 i=3 kT k 2
3=
ε 双原子分子 i=5 kT k 2
5=ε 多原子分子 i=6 kT k 26=ε 4．说明：
1）能量均分定理是统计规律，是大量分子的整体表现，由于分子无规则的相互碰撞，使得在各个自由度上的能量是均匀的。

但对单个分子而言，分子的能量并不是均分的。

2）一般情况下，若分子的平动自由度为t ，转动自由度为r ，振动自由度为s ，则分子总的平均动能为
()kT s r t k ++=2
1ε 3）对于振动的分子而言，当势能不能忽略时，还应该考虑势能skT /2，此时总的平均能量为 ()kT s r t 22
1++=ε 4）在常温下，可以不考虑振动自由度，把分子视为刚体——刚性分子。

能量均分定理是一条重要的统计规律，适用于大量分子组成的系统，包括气体和较高温度下的液体和固体； 是分子碰撞的结果；适用于分子的平移、转动和振动；经典统计物理可给出定理的严格证明。

三、理想气体的内能
1．热力学系统的内能：
热力学系统的内能是指气体分子各种形态的动能与势能的总和。

通常是不考虑系统整体作机械运动的能量，而把系统所包含的全部分子的能量总和称为系统的内能。

2．理想气体内能公式：
对于理想气体，根据理想气体的模型可知，不考虑相互作用，势能为零；常温下，振动动能不计，所以理想气体内能是分子平动动能与转动动能之和。

若分子的自由度为i ，能量均分定理，则一个分子能量为 i kT/2
1摩尔理想气体，有N A 个分子，内能RT i N kT i E A 22=
⋅＝ m/M 摩尔理想气体，内能RT i M m E 2
⋅＝ 由此可知，一定量的理想气体的内能完全取决于气体分子的自由度和气体的热力学温度，且与热力学温度成正比，而与气体的压强和体积无关。

理想气体的内能只是温度的单值函数。

这个结论在与室温相差不大的温度范围内与实验近似相符。

3．说明：
1）理想气体内能不但和温度有关，而且还与分子的自由度有关。

2）对于给定的理想气体，内能仅是温度的函数，即E =E (T )，而与P ，V 无关。

3）状态从T 1→T 2，不论经过什么过程，内能变化为
)(21212T T R i M m E E E -⋅=
-=∆
小结：
●
理想气体的微观模型 ●
理想气体压强公式 ●
理想气体的温度与平东动能的关系 ●
自由度 ●
能量均分地理 ● 理想气体的内能。