第二类曲线积分的计算

第
二类曲线积分的计算
定义
设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割
T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i Λ=；其中A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ∆,分割T 的细度为}{max 1i n
i S T ∆=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记
11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i Λ= .
AB L 上⎰L
P ( ⎰L
s d ϖ.
(2) (x P L
⎰+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二类曲线积分有
⎰
⎰
-=BA
AB
,定积分是第二类曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空
间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x F =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线
AB L 上的第二类曲线积分
⎰
++AB
dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.
与第一类曲线积分的区别
首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是 第二类曲线积分就是
1
(,)(,)lim (,)(,)n
i
i
i
i
i
i
l
i P x y dx Q x y dy P x Q y λ
ξηξη→=+=∆+∆∑⎰ （1）
这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的?s i ，?s i 是一小段弧的i =x i −
x i−1x i 与?y i dt ，这B ，即t B 。

1、设曲线L:f (x,y )=1，f(x,y)具有一阶连续偏导数，过第二象限内的点M 和第四象限内的点N ，Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的选项是 (A)∫f (x,y )dx Γ (B)∫f (x,y )dy Γ (C)∫f (x,y )ds Γ (D)∫f x ′(x,y )dx Γ+f y ′(x,y )dy
(2007，数一，4分)
【解析】
设点M，N的坐标分别为M(x1,y1)，N(x2,y2)，则有题设可知
∫f(x,y)dx Γ=∫dx
Γ
=x2−x1>0
∫f(x,y)dy Γ=∫dy
Γ
=y2−y1<0
2、(π,0)的
9分)
π3、设L是柱面x2+y2=1与平面z=x+y的交线，从z轴正方向往z轴负方向看去为逆时针
方向，则曲线积分∮xzdx+xdy+y 2
2dz=
L
(2011，数一，4分) 【解析】
采用斯托克斯公式直接计算
∮xzdx+xdy+y2
2
dz=
L
∬ydydz+xdzdx+dxdy
z=x+y
=∬(1−x−y)dxdy=∫dθ∫(1−rcosθ−rsinθ)rdr=π
1
2π
x2+y2≤1
4、已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2+y2=2x到点(2,0),再沿圆周x2+y2=4到点
(0,2)的曲线段，计算曲线积分I=∫3x2ydx+(x3+x−2y)dy
L
(2012，数一，10分)
−4
5
I=
10分) I
=−√2∫sin2θdθ=√2
π
−2π
2。