基于模态参数识别的ITD算法改进

基于模态参数识别的ITD算法改进
李玉刚;叶庆卫;周宇;王晓东
【摘要】固有时间尺度分解(ITD)算法在前处理和系统定阶方面存在一定的人为因素,对模态参数的提取会造成误差,且对噪声较为敏感.针对上述问题,提出一种改进的ITD算法.利用基于数据驱动的随机子空间算法对原始数据进行处理,将正交三角分解得到的数据作为ITD法的输入数据,采用稀疏优化正交匹配追踪算法求出特征矩阵,并通过特征矩阵计算特征值、模态频率和阻尼比.通过统计的方法,从众多模态参数中选取真实模态,有效避免虚假模态的产生.实验结果表明,与ITD算法相比,改进ITD算法可降低噪声的影响,解决系统模型阶次必须准确定阶的要求,使模态参数的提取更加精确.%The pre-processing and system order determination of Intrinsic Time-scale Decomposition(ITD) algorithm involve some human factors,which causes error on extraction of modal parameters,and ITD algorithm is also sensitive to noise.To solve these problems,an improved ITD algorithm is proposed.Firstly,the stochastic subspace algorithm based on data driving is used to deal with the original data.The data obtained by orthogonal triangular decomposition is used as the input data of ITD method.The sparse optimization orthogonal matching pursuit algorithm is used to find the feature matrix characteristic value,modal frequency and damping ratio can be calculated.The real modal is selected from many modal parameters through the method of statistics,which effectively avoids the false pared with ITD algorithm,the improved ITD algorithm reduces the influence of noise,solves the problem of system
order determination and makes the extraction of modal parameters more precise.
【期刊名称】《计算机工程》
【年(卷),期】2017(043)004
【总页数】6页(P298-303)
【关键词】固有时间尺度分解算法;模态参数;模型阶次;稀疏优化;相对误差
【作者】李玉刚;叶庆卫;周宇;王晓东
【作者单位】宁波大学信息科学与工程学院,浙江宁波 315211;宁波大学信息科学与工程学院,浙江宁波 315211;宁波大学信息科学与工程学院,浙江宁波315211;宁波大学信息科学与工程学院,浙江宁波 315211
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.4
模态参数[1]识别是桥梁健康监测的重要组成部分,现阶段发展比较成熟的时域方法主要有固有时间尺度分解(Intrinsic Time-SCAle Decomposition,ITD)法[2-3]和随机子空间(Stochastic Subspace Identification,SSI)[4-5]算法等,其优点在于无需贵重的激励识别,使得激励未知的系统辨识问题成为可能。

文献[6]利用随机减量技术和ITD方法相结合来识别环境激励下的模态参数。

但是经过随机减量法得到数据的自由衰减曲线,其过程会产生一定的误差,且输出长度也是人为主观取得,也会使得衰减曲线产生偏差。

另外,ITD方法需要准确确定系统阶次,也具有一定的主观人为性,对系统阶次的精准性要求较高。

基于数据驱动的随机子空间法[7](Data-driven Stochastic Subspace
Identification,SSI-data)是基于环境振动模态参数识别的时域方法,利用信号与噪
声的不相关性来去除噪声,但是系统的模态阶次也需要人为确定,会产生一定的误差。

稀疏表示[8-11]是一种高效的搜索算法,在压缩感知中被广泛的应用。

稀疏优化技
术可以在不丢失原始信号信息的情况下,大大减少观测信号的次数,能有效地实现信
号的降维处理,具有良好的噪声抗干扰能力。

稀疏优化用稀疏逼近来取代原始信号,
从而大大降低处理成本,特别对混合信号的分离有着显著的效果。

现阶段的稀疏优
化算法主要有梯度投影法[12]、匹配追踪法[13]、正交匹配追踪法[14]等。

本文在ITD算法的基础上,利用SSI-data来构建Hankel矩阵并进行正交三角(Orthogonal Matrix and Right Matrix,QR)分解,得到的矩阵可以保留原始数据中的所有信息,同时去除噪声,因此,可以作为ITD法的输入数据。

这样避免了随机减量法预前处理所带来的不准确性,另外,通过用稀疏优化技术代替最小二乘法,使用K-means算法[15]来选择系统模态,从而剔除系统虚假模态,减小甚至消除系统阶次对模态参数的影响。

1.1 ITD法的原理
ITD法的基本思想是以粘性阻尼线性系统自由衰减响应为基础,根据测得的自由衰
减响应信号进行不同延时的采样来构造增广矩阵。

假设用实际测点和虚拟测点组成M个测点L个时刻的自由振动响应建立响应矩阵X,由M个测点L个时刻的自由振动响应延时Δt构成响应矩阵,可以建立数学模型:
其中,矩阵A就是ITD算法所要求出的特征矩阵。

1.2 ITD法的优化
为了避免随机减量技术所带来的误差,这里使用基于数据驱动的SSI算法来处理
ITD算法。

基于数据驱动的SSI算法的核心是把“将来”输出的空间投影到“过去”输出的空间上,投影是在保持信号原有信息的情况下缩减了数据量,有效地消除了噪
声的干扰,完全符合ITD算法的要求。

这里首先使用采样点构建Hankel矩阵H:
其中,矩阵Yp和Yf表示过去和将来2个相等的部分;i为人为确定的常数,有2个限制,1)至少要大于系统阶次N;2)不能选的太大。

一般i与j满足n=2i+j-1的关系。

然后对Hankel矩阵进行QR分解:
则由空间投影的性质可以得出行空间的正交投影:
其中,Ri是i×i维的投影矩阵。

那么就可以把其第1行到第m行看做响应矩阵X,第2行到m+1行看成延时Δt的矩阵,0<m<i。

至此,就构建成功了数学模型。

然后对A进行特征值分解:AΦ=Φα,其中,矩阵A的第r阶特征值为esrΔt,相应的特征向量为特征向量矩阵Φ的第r列。

则特征值:
由此,求得系统模态频率向量ωr和阻尼比向量ξr,即:
Rr=lnVr=srΔt
1.3 ITD法的模型阶次的改进
为了避免系统模型阶次的人为选择和进一步与消除外界环境对信号的干扰,这里对等式进行转置并稀疏优化求解:
对于系统模态参数的求取过程中,大致估算下模型阶次nΔ,然后依据稀疏优化的原理,需要确定稀疏度u(u<i),同时为了稀疏度更加精确,再取略大于nΔ2倍的值,即u>2nΔ。

确定稀疏度以后,可以根据压缩感知理论,构建高斯随机测量矩阵,矩阵构造方式是:矩阵G∈RX×i,矩阵的每个元素独立的服从0均值,方差为的高斯分布,且满足有限等距(Restricted Isometry Property,RIP)性质。

然后对式(9)用高斯随机测量矩阵G进行观测:
将其转化成稀疏等价模型:
s.t.
此问题是个NP难问题,文献[8]指出,当矩阵GXT满足RIP性质时,0范数的优化就可以转化成1范数的优化问题,由于G矩阵的特性,很显然GXT满足RIP条件。

所以,1范数的优化问题为:
s.t.‖‖<σ
其中,σ是一个较小的正数,为人为设定的阈值。

对于稀疏解中多于系统真实阶次的非零解,通过多次运算可以很容易统计找出,然后运用聚类的方法,对应求出真实模态参数,具体步骤如下:
步骤1 给系统的模型阶次赋一个较大的值,选取合适的稀疏度u,并给出阈值σ的值以及误差阈值ε。

步骤2 对式(12)用OMP方法进行稀疏求解,得到特征矩阵A,再对A进行特征值分解,得到特征值向量α。

步骤3 由求得的A计算模态频率向量ωr和阻尼比向量ξr。

重复步骤2K次,统计结果,得到稀疏向量θ,统计步骤如下:
1)步骤2共执行了K次,得到K个α的解向量,将第κ个α的解向量记为:
其中,1≤κ≤K,α1,κ,α2,κ,…,αi,κ为中对应的元素。

那么,K个α的解向量就可以构建一个i×K的矩阵Ψ:
2)求矩阵Ψ中每列元素绝对值的均值,然后将每列元素的绝对值与其均值比较,小于均值的元素置零,得到一个新的矩阵,再统计中每行非零元素的数量,得到结果为i×1的统计结果向量Q。

计算Q中值最大的非零元素与值最小的非零元素之间的相对误差,即最大值减去最小值之间的差除以最大值。

3)如果相对误差大于阈值ε,那么用K-means聚类方法对Q中的所有非零元素进行聚类,得到2类,然后计算每类中的所有元素的平均值,接着提取出平均值小的一类中的每个元素在Q中的索引,再根据索引将中对应的行中的所有元素置零,得到一个新的矩阵,最后计算中每行非零元素的平均值,由i个平均值构成稀疏向量,记为
θ,θ=(θ1 θ2 … θi)T。

4)如果相对误差小于或者等于设定的误差阈值ε,那么直接计算中的每行非零元素的平均值,由i个平均值构成稀疏向量,记为θ,θ=(θ1 θ2 … θi)T。

步骤4 根据稀疏向量θ中的所有非零元素的索引,从步骤2中选取所对应的元素,得到系统固有的模态频率向量ω*和阻尼比向量ξ*。

通过上述方法,如图1所示,能够把随机减量技术产生的误差问题用基于数据驱动的SSI方法来解决,同时解决模型阶次人为确定的问题,可以有效剔除虚假模态,很好地把噪声剔除,较大程度上减少了噪声对结果的影响,从而提高了算法的消噪能力和识别精度。

2.1 信号仿真实验
本文仿真实验以Matlab为仿真工具,假设一个仿真信号:
y =0.4e-0.010 1tcos(5.3t+0.01)
+1.1e-0.056 7tcos(3.9t+0.02)
+1.3e-0.082 7tcos(6.6t+0.05)
根据上面的仿真信号,由自由响应仿真信号原理可得其固有频率向量ω,阻尼比向量ξ,其具体的值如表1所示。

首先,对仿真信号式(15)以100 Hz的采样频率采集1 000个采样点,然后再对仿真信号添加5 dB的高斯白噪声,同样以100 Hz采样频率采样1 000个点,其采样波形如图2所示。

针对所采集到的噪声信号,为系统阶次赋一个较大值80,以及稀疏度、阈值σ=0.05的值以及误差阈值ε=20%。

构建Hankel矩阵,通过本文建立的数学模型T=XTAT,然后按如下步骤得到精确的模态参数:
1)构建服从均值为0,方差为的高斯随机测量矩阵G24×250,对数学模型T=XTAT 进行观测:
对式(16)用OMP方法进行稀疏求解,得到特征矩阵A,然后对A进行特征值分解
AΦ=Φα,求得系统模态频率向量ωr和阻尼比向量ξr。

2)重复步骤1)8次,得到8组模态频率ωr和阻尼比ξr,求其均值,得到一组模态频率
向量ω•和阻尼比向量ξ•。

同样,也得到八组特征值向量α,并构建一个80×8的矩阵Ψ:
3)计算每个特征值向量α的绝对值的均值,然后使其中元素的绝对值与其均值比较,小于均值的元素强制置零。

得到一个新的矩阵,再统计中每行非零元素的数量,得到结果为80×1的统计结果向量Q。

计算Q中值最大的非零元素与值最小的非零元素之间的相对误差,即最大值减去最小值的差除以最大值。

4)相对误差大于阈值ε,用K-means聚类方法对Q中的所有非零元素进行聚类,得到2类,然后计算每类中的所有元素的平均值,接着提取出平均值小的一类中的每个元素在Q中的索引,再根据索引将中对应的行中的所有元素置零,得到一个新的矩阵,最后计算中每行非零元素的平均值,由80个平均值构成稀疏向量,记为θ,θ=(θ1
θ2 … θ80)T。

5)求得稀疏向量θ中的所有非零元素的索引为3,9,24。

从模态频率向量ω•和阻尼比向量ξ•中选取相应索引值,记为最终模态频率向量ω*和阻尼比向量ξ*,其具体值为表2所示。

通过表2可以很直观看出,改进ITD算法在信噪比为5 dB的干扰情况下,以模型阶次80为计算条件,仍旧得出了精确的模态参数值,很好证明了改进ITD算法的消噪能力,以及对系统阶次的要求不高,能够有效剔除虚假模态。

为了更进一步证明改进ITD算法能够剔除虚假模态,以及OMP算法的稀疏度人为选取的干扰性,选取模型阶次为60,80,稀疏度为24,48的4组对比实验,具体对比值如表3和表4所示。

通过表3和表4的对比实验,可以看出改进ITD算法对系统的不同阶次计算结果大致相同,都能够有效剔除虚假模态,得到较为精确的系统模态参数。

另外,改进ITD算法对稀疏度要求也不高,在小于模型阶次的情况下,都能精确地计算出模态参数,为选取稀疏度提供了方便。

2.2 对比实验
为了更好地证明改进ITD算法的优越性,这里把改进ITD算法与原始ITD算法进行仿真对比。

首先,由式(17)可知,仿真信号是一个M=3阶的系统信号,对信号加信噪
比从1 dB～26 dB的高斯白噪声。

然后由原始ITD算法以3阶的系统阶次算出相应信噪比下的模态频率向量ω∧、阻尼比向量ξ∧。

同时,为系统阶次赋值50,在同
样的信噪比的情况下用改进ITD算出模态频率向量ω∨、阻尼比向量ξ∨。

最后,把原始ITD算法和改进ITD算法与系统固有频率ω、阻尼比ξ对比求出相对误差,具体计算公式如下:
这里其响应的仿真误差图如图3～图6所示。

在上述的方法中,再在添加有高斯白
噪声的信号中加入其他随机的干扰噪声,来比较2种算法在混合噪声中的相对误差。

从图3可以看出,原始ITD算法在准确确定系统阶次的情况下,在信噪比20 dB以内的频率相对误差普遍较大,信噪比大于20 dB以后,相对误差才逐渐减小,而改进ITD 算法的相对误差曲线一直在原始ITD算法曲线以下,并随着信噪比增大逐渐减小。

从图4可以看出,改进ITD算法的阻尼比相对误差普遍小于原始ITD算法的相对误差,并在[0.02,0.01]区间波动,相对误差普遍较小,计算精确度更为精准。

从图5可以看出,改进ITD算法的相对误差曲线较图3没有太大区别,而原始ITD算法在信噪比[20,25]区间下降较图3缓慢,相对误差基本保持在0.06以上。

从图6可以看出,改
进ITD算法阻尼比误差曲线与图4波动范围基本一致,都是在误差值0.02以下波动,而原始ITD算法相对误差明显增大,混合噪声对其干扰明显增强,其误差值明显大于改进ITD算法。

在本文的实例证明中,其工程数据采自宁波某斜拉索大桥。

大桥全长67 m,由102
根径长为0.15 m拉索构成拉索支撑系统。

在采集过程中,采用WS-ZHT2振动设
备和双传感器采集振动信号,双传感器安装在拉索和梁端的铰支部位,能有效感应索-梁耦合的拉索振动,如图7所示。

其采集到的信号都是含噪信号,但是这里不知道噪声的类型是否规则,不清楚无噪声原始信号的波形,只清楚采集到的信号波形。

这里以第15号～第17号斜拉索的振动采集信号为例,如图8所示,信号具有较强的环境干扰,从而对模态参数提取的精确度和噪声抗干扰性要求较高。

用本文算法对采集到的信号提取基频参数,与原始ITD算法作比较,来进一步验证改进ITD算法的优越性。

其相应的采集参数如表5所示。

从表中获得的2种算法的基频参数,可以看出,改进ITD算法误差较小,对噪声具有较强的抗干扰性,计算基频更加精确,其结果更加接近参考基频(大桥管理服务有限公司提供),其在实际应用中具有更大的优势。

在本文实例中,ITD方法在计算时首选用随机减量技术进行预处理,但是随机减量技术人为因素较大,特别是采样信号中的噪声类型比较复杂时,更加容易产生偏差,另外,在定阶的准确性上难以保证,从而导致模态参数识别不理想。

而本文改进的ITD算法由于首先用随机子空间法处理,并引用了稀疏优化技术,对噪声敏感性大大降低,在系统阶次方面几乎不需定阶,就能很好地得到精确的模态参数。

斜拉索桥的基频比较,进一步验证了改进ITD算法的实用性和有效性。

基于压缩感知技术和SSI算法,本文提出一种改进的ITD算法。

实验结果表明,对于高阶系统和较大的误差干扰,该方法都能提取较为精确的模态参数,有效地剔除虚假模态。

由于本文只研究了出现虚假模态的情况,因此后期还需研究模态遗漏的情况以使ITD算法能够更为精确地提取模态参数。

英文引用格式： Li Yugang,Ye Qingwei,Zhou Yu,et al.Improvement of ITD Algorithm Based on Modal Parameter Identification[J].Computer Engineering,2017,43(4):298-303.
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