D9-习题课

x ) .
f ( x) sin x
x ( x t ) f (t ) d t 0 x x f (t ) d t t 0 0
提示: f ( x) sin x x

f (t ) d t , 则
f ( x) cos x 0 f (t )d t x f ( x) x f ( x) f ( x) sin x f ( x)
提示:
解满足
特征根 : r1,2 i , 设特解 : y Ax B, 代入方程定 A, B, 得
故通解为
y y x y x 0 0 , y
x 0
0
y C1 cos x C2 sin x x
利用 y x 0 0, y x 0 0, 得
3
2
8.
解
1 求解方程 y 2 y y ( x cos 2 x ). 2 2 r 4 0, 特征方程
特征根
r1, 2 2i ,
对应的齐方的通解为 Y C1 cos 2 x C2 sin 2 x .
* * 设原方程的特解为 y* y1 y2 . * * (1) 设 y ax b, 则 ( y1 ) a , ( y1 ) 0,
2 x y Y y C x C e 3 原方程的通解为 1 2
已知y1 3, y2 3 x 2 , y3 3 x 2 e x 都是微分方程:
或 y C1 x 2 C2e x 3 x 2
或 y C1 x 2 C2e x 3 x 2 e x
(1)
2 ( 2) ( x 2 2 x) y ( x 2) y 2 2 (2 x 2) y2 6 x 6
(2 x 2)( y1 y2 ) 0 所以 y1 y2 是齐次方程的解.
( x 2 2 x ) y ( x 2 2) y (2 x 2) y 6 x 6 的解, 求此方程的通解. 2 x 解 y2 y1 x 2 , y3 y2 e x x 常数 e 2 x 所以, x , e 线性无关. 2 x 因而, 齐次线性方程的通解 Y C1 x C2e
1 1 a , b , 6 2
3 2 x x 原方程的一个特解为 y* e x e x , 6 2 3 2 x x x x x y ( C C x ) e e e . 故原方程的通解为 1 2 6 2 1 y(1) 1, (C1 C 2 )e 1, 3 3 x x y [ (C1 C 2 ) (C 2 1) x ]e , 6
对应齐方通解为 z Cx ,
2 3
两种方法： 公式法
常数变易法
利用常数变易法
设 z C ( x) x ,
2 3
2 3
代入非齐方程得
7 3 2 C ( x ) x x , C ( x ) x 3 C , 7
原方程的通解为
2 3 7 y x 3 C x 3 . 7 1 3
证 设y1 , y2是非齐次线性方程的两个特解, 则
( x 2 2) y1 (2 x 2) y1 6 x 6 ( x 2 2 x) y1
(1) ( 2)得
2 ( x 2 x)( y1 y2 ) ( x 2)( y1 y2 ) 2
6.
已知y1 3, y2 3 x , y3 3 x e
2 2
x
都是微分方程:
( x 2 2 x ) y ( x 2 2) y (2 x 2) y 6 x 6
的解, 求此方程的通解.
结论 非齐次线性方程的两个特解之差 是对应
齐次方程的特解.
y 令 u , y ux , y u xu. 代入原方程得 x cos u u sin u u xu u( ), 分离变量 u sin u cos u u sin u cos u dx du , 2u cos u x
两边积分
C u cos u 2 , x
4.
求通解 xy 2 y 3 x 3 y .
4 3
4 2 2 3 y y 3 x y , 伯努利方程 原式可化为 解 x 4 1 2 即 y 3 y y 3 3 x 2 , x 1 2 2 3 3 z z 3 x , 令 z y , 原式变为 x 2 即 z z x2 , 一阶线性非齐方程 3x
12. 设函数
数, 且
内具有连续二阶导
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 2 d x dx 3 ( y sin x)( ) 0 2 dy dy
变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ;
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 的解. 解: (1) 由反函数的导数公式知
y(1) 1,
由
5 (C1 2C 2 )e 1, 6 1 1 2 1 C1 C 2 , C1 , e 3 e 6 解得 1 5 C 1 1 , 2 C1 2C 2 , 2 e e 6
所以原方程满足初始条件的特解为
2 1 1 1 x x x x x y [ ( ) x ]e e e . e 6 2 e 6 2
的两个线性无关的特解 ， 1 * 又 y 是原方程的一个特解， x 由解的结构定理得方程的通解为 1 2 y C1 C 2 x . x
y y x , x 2 10. 求微分方程 y 4 y 0 , x 2
满足条件
处连续且可微的解.
* 2
* ( y2 ) (4d 4cx ) cos 2 x (4c 4dx) sin 2 x,
1 代入 y 4 y cos 2 x，得 2
1 4d cos 2 x 4c sin 2 x cos 2 x , 2 1 4d ， c 0， 1 2 * 由 y2 x sin 2 x; 即 1 8 d ， 4c 0， 8
这是一个可分离变量方程。 分离变量
g (u ) 1 du dx u[ f (u ) g (u )] x
两边积分

g (u ) 1 du dx u[ f (u ) g (u )] x

∴ 通解为
ln | x |

g (u ) du c u[ f (u ) g (u )]
问题化为解初值问题: 最后求得
x
f ( x) f ( x) sin x
f (0) 0 ,
f (0) 1
思考: 设 ( x) e x
x
x 0
( x u ) d u, (0) 0,
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题: 答案:
Y 这是一个齐次方程，令 V ，即 Y XV X
则
dY dV V X dX dX
代入并整理和积分，得 ：

2 1 dV V 1V 2

1 dX X
故
2arctan V ln(CXV )
于是，所求通解为：
y2 2arctan ln C ( y 2) x 3
ln(u cos u) ln x ln C ,
2
y y C cos 2 , 所求通解为 xy cos y C . x x x x
y2 3. 求方程 y 2 的通解。 x y 1
分析：这不是齐次方程，如何作变换，
2
使右端分式中的分母、分子都不含常数项，
* 1
1 1 代入 y 4 y x，得 4ax 4b x， 2 2
由
1 4a ， 2
4b 0，
解得
1 y x; 8 b 0，
* 1
1 a ， 8
* (2) 设 y2 x(c cos 2 x d sin 2 x ),
则 ( y ) (c 2dx) cos 2 x (d 2cx ) sin 2 x,
★ 启发：
对某些一阶方程，寻找变量找换，将原方程
化为可分离变量方程。
2.
求通解
y y y y y( x cos y sin )dx x ( y sin x cos )dy . x x x x
解 原方程可化为
y y y dy y cos x x sin x ( ), dx x y sin y cos y x x x
故原方程的通解为
1 1 y C1 cos 2 x C 2 sin 2 x x x sin 2 x . 8 8
1 设 y p( x ) y f ( x ) 有一特解为 ，对应 x 的齐次方程有一特解为 x 2，试求：
9.
（１） p( x ), f ( x ) 的表达式； （２） 此方程的通解.
解 （１） 由题设可得：
2 p( x )2 x 0, 解此方程组，得 2 1 p( x )( 2 ) f ( x ), 3 x x
1 p( x ) , x
3 f ( x) 3 . x
1 3 （２） 原方程为 y y 3 . x x 显见 y1 1, y2 x 2 是原方程对应的齐次方 程
7.
求特解 y 2 y y xe x e x , y(1) y(1) 1.
特征方程 r 2 2r 1 0, 特征根
r1 r2 1,
解
对应的齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x )e x . 设原方程的特解为 y x (ax b)e ,
处的衔接条件可知,
解满足
y 4 y 0
其通解: y C1 sin 2 x C2 cos 2 x
) cos 2 x, x 定解问题的解: y 1 sin 2 x ( 1 2 2 2
故所求解为
y
) cos 2 x , 1 sin 2 x ( 1 2 2
* 2 x
3 2 x 则 ( y ) [ax ( 3a b) x 2bx]e , * 3 2 x ( y ) [ax (6a b) x (6a 4b) x 2b]e , *
* 将 y , ( y ) , ( y ) 代入原方程比较系数得 * *
而左端 dy dY 呢？ 办法是：平移变换。 dx dX
y 2 0 x 3 解：由 得： x y 1 0 y 2 X x 3 作变换 ，则 dX dx, dY dy Y y 2
dY 2Y 2 于是，原方程变为： dX X Y 2
微分方程初步 习题课
1. 求方程
f ( xy ) ydx g ( xy ) xdy 0 的通解。
解 令 u xy ，则 du xdy ydx
du ydx f (u ) ydx g (u ) x 0 x u [ f (u ) g (u )] dx g (u )du 0 x
1 y 2 5. 求通解 y . 2y 解 方程不显含 x . dP 令 y P , y P , 代入方程，得 dy dP 1 P 2 P , 解得， 1 P 2 C1 y, dy 2y dy 即 C 1 y 1, P C1 y 1, dx 2 C1 y 1 x C 2 . 故方程的通解为 C1