苏教版 高中数学必修第一册 函数的单调性 课件1

设x1,x2为区间(0,+∞)上的任意两个值,且x1<x2,则f(x1)+f
x2 x1
=f(x2),即f(x2)-f(x1)=f
上是增函数.
反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单 调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区 间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在 单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.
跟踪训练1 函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示， 试写出它的单调区间，并指出单调性.
判断函数单调性的常用方法
1.定义法.根据增函数、减函数的定义,按照“取值→作差→变形→判断符号→下结 论”进行判断. 单调性判断的等价结论:
当x∈D时, f(x)是增函数,∀x1,x2∈D且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔ f (x1) f (x2)>0.
x1 x2
当x∈D时, f(x)是减函数,∀x1,x2∈D且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔ f (x1) f (x2)<0.
例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数
的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中 y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]
③若y=f(x)是定义在区间(a,b)或R上的连续函数,则函数y=f(x)的最大(小)值要
根据具体函数而定. (4)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中的最大(小)的那个.
(2)已知函数f(x)=|x|,x∈[-1,3],则f(x)的最大值为 D ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
[解析]作出函数f(x)=|x|,x∈[-1,3]的图像,如图所示.根据 函数图像可知,f(x)的最大值为3.
解 y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]， [－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间 是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]， [3，＋∞).
【训练 1】 证明函数 f(x)＝x＋4x在区间(2，＋∞)上是增函数. 证明 任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2，
设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2) =1,且当x>1时, f(x)>0.
(1)求f
1 2
的值;
(2)判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性并证明.
思路点拨 (1)抽象函数问题解决的关键是根据结论对x,y进行赋值,通过赋值解决; (2)利用定义判断函数的单调性.
求函数最值的常用方法 (1)图像法:作出y=f(x)的图像,观察最高点与最低点,最高(低)点的纵坐标即为 函数的最大(小)值. (2)运用已学函数的值域. (3)运用函数的单调性
①若函数y=f(x)在定义域[a,b]上是增函数,则ymax= f(b) ,ymin= f(a) . ②若函数y=f(x)在定义域[a,b]上是减函数,则ymax= f(a) ,ymin= f(b) .
5.3 函数的单调性
以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名 的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图.
问题 “艾宾浩斯遗忘曲线”从函数性质看具有什么性质？ 提示 “艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数.
1.增函数和减函数
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A， (1)如果对区间I内的_任__意___两个值x1，x2，当x1<x2时，都有___f_(_x_1)_<_f_(x_2_)____， 那么称y＝f(x)在区间I上是_增__函__数___，I称为y＝f(x)的增区间. (2)如果对于区间I内的_任__意___两个值x1，x2，当x1<x2时，都有__f_(_x_1)_>_f_(x_2_)____， 那么称y＝f(x)在区间I上是_减__函__数___，I称为y＝f(x) 的减区间.
解析 (1)∵对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立, ∴当x=y=1时,有f(1)=f(1)+f(1), ∴f(1)=0.
当x=2,y=
1 2
时,有f
2
1 2
=f(2)+f
1 2
,即f(2)+f
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=0,
又f(2)=1,∴f
1 2
=-1.
(2)y=f(x)在(0,+∞)上为增函数.证明如下:
2.单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上是_增__函__数___或_减__函__数___，那么称函数y＝f(x)在区间I上 具有_单__调__性___，增区间和减区间统称为_单__调__区__间___.
函数的最大(小)值 设y=f(x)的定义域为A. (1)函数最大值定义 如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≤f(x0),那么称f(x0)为y=f(x)的 最大值 ,记为ymax=f(x0). (2)函数最小值定义 如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0) ,那么称f(x0)为y=f(x)的 最小值,记为ymin=f(x0).
那么 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42＝(x1－x2)＋4（xx21－x2x1）＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 由x1，x2∈(2，＋∞)，得x1>2，x2>2. 所以x1x2>4，x1x2－4>0，又由x1<x2，得x1－x2<0. 于是（x1－x2）x1（x2x1x2－4）<0，即 f(x1)<f(x2). 所以函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数.
x1 x2
2.图象法.根据函数图象的升降情况进行判断.
3.直接法.运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函 数的单调性均可直接得出. 4.利用常见结论.在公共定义域内, (1)增函数+增函数是增函数; (2)减函数+减函数是减函数; (3)增函数-减函数是增函数; (4)减函数-增函数是减函数.