高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》难题汇编含答案

【最新】数学《计数原理与概率统计》试卷含答案
一、选择题
1．
若实数2a =1019228101010222a C a C a -+-+L 等于( )
A ．32
B ．－32
C ．1 024
D ．512
【答案】A
【解析】
由题意可得： (
)()101922210
101010
10222222
32.a C a C a a -+-+=-==L
本题选择A 选项.
2．若不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
表示的区域为Ω，不等式222210x y x y +--+≤表示的
区域为T ，则在区域Ω内任取一点，则此点落在区域T 中的概率为（ ）
A ．4π
B ．8π
C ．5π
D ．10
π 【答案】D
【解析】
【分析】
作出不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公
式即可得到结论．
【详解】
作出不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
表示的区域Ω，
不等式222210x y x y +--+≤化为()()22
111x y -+-≤ 它表示的区域为T ，如图所示；
则区域Ω表示ABC V ，由240 230
x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得点()12B -，； 又()20A -，，30B （，），∴()132252
ABC S =⨯+⨯=V ， 又区域T 表示圆，且圆心()11M ，在直线230x y +-=上，
在ABC V 内的面积为21
122π
π⨯=； ∴所求的概率为
2510P π
π==，故选D ． 【点睛】 本题主要考查了几何概型的概率计算问题，利用数形结合求出对应的面积是解题的关键，属于中档题.
3．若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A ．252
B ．70
C ．256x
D ．256x -
【答案】B
【解析】
由题意可得26n n C C =，所以8n =，则展开式中二项式系数最大的项为第五项，即44445881()70T C x C x
===，故选B.
4．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种．
A ．2267A A
B ．3247A A
C ．322367A A A
D ．362
467A A A 【答案】D
【解析】
【分析】
采用捆绑法和插空法,将3个男生看成一个整体方法数是34A 种，再排列6个女生，最后让所有男生插孔即可.
【详解】
采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是34A 种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是66A 种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是2
7A 种．综上所述，不同的排法共有362467A A A 种.
故选D.
【点睛】
解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．
5．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（ ）
A ．78
B ．34
C ．12
D ．14
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率.
【详解】
解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，
学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤，
家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤，
要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥，
则相当于565.5 6.5
x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即求y x ≥的概率， 如图所示：
约束条件对应的可行域面积为：1，
则可行域中y x ≥的面积为阴影部分面积：111712228
-⨯⨯=，
所以对应的概率为：7
7
8
18 =，
即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：7 8 .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用面积型几何概型求概率，考查运算求解能力.
6．在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有
A．96种B．124种
C．130种D．150种
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①、五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，
∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2
当按照1、1、3来分时共有C53=10种分组方法；
当按照1、2、2来分时共有
22
53
2
2
15
C C
A
=种分组方法；
则一共有101525
+=种分组方法；
②、将分好的三组对应三家酒店，有336
A=种对应方法；
则安排方法共有256150⨯= 种；
故选D ．
【点睛】
本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．
7．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为三角形ABC 的BC ，AB 和AC ．若10BC =，8AB =，6AC =，ABC V 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅱ的概率为（ ）
A ．
92524
ππ+ B ．162524π+ C ．252425ππ+ D ．484825π+ 【答案】D
【解析】
【分析】 根据题意，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到结论.
【详解】 由题意，如图：Ⅰ所对应的面积为1186242S =
⨯⨯=， Ⅱ所对应的面积29252482422
S πππ=++-=， 整个图形所对应的面积9252482422S πππ=++
=+， 所以，此点取自Ⅱ的概率为484825P π
=
+. 故选：D.
【点睛】 本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题.
8．若随机变量X 的分布列为（ ） X 0 1 2
P 1
3
a b
且()1
E X=，则随机变量X的方差()
D X等于（）
A．
1
3
B．0C．1D．
2
3
【答案】D
【解析】
分析：先根据已知求出a,b的值，再利用方差公式求随机变量X的方差()
D X.
详解：由题得
1
1
1
3,,
13
021
3
a b
a b
a b
⎧
++=
⎪⎪
∴==
⎨
⎪⨯++=
⎪⎩
所以222
1112
()(01)(11)(21).
3333
D X=-⋅+-⋅+-⋅=
故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水
平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x，2x，…，n x，…，且取这些值
的概率分别是1p，2p，…，n p，那么Dξ＝2
11
()
x E p
ξ
-⋅＋2
22
()
x E p
ξ
-⋅＋…＋2
()
n n
x E p
ξ
-⋅,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
9．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
A．2 B．3 C．10 D．15
【答案】C
【解析】
【分析】
根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果.
【详解】
设阴影部分的面积是s ，由题意得
，选C.
【点睛】 (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
10．已知a c ≠，随机变量ξ，η的分布列如表所示. ξ
1 2 3 P a b c
η
1 2 3 P c b a
命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则( )
A ．p 真q 真
B ．p 真q 假
C ．p 假q 真
D ．p 假q 假 【答案】C
【解析】
【分析】
首先分别求E ξ和E η，然后比较，利用公式()()22
D E E ξξξ=-，利用公式1a b c ++=，计算D D ξη-的值.
【详解】
12323E a b c a b c ξ=⨯+⨯+⨯=++
12332E c b a a b c η=⨯+⨯+⨯=++ ，
()2E E c a ξη-=- a c ≠Q ，
E E ξη∴≠，所以命题p 是假命题，
()249E a b c ξ=++，()()2
223E a b c ξ=++， 所以()()2
4923D a b c a b c ξ=++-++ ()294E a b c η=++，()()2
232E a b c η=++， ()()()()2
229432D E E a b c a b c ηηη=-=++-++ ， ()()()()()22
83223D D c a a b c a b c ξη-=-+++-++
()()()822444c a a c a b c =-+-++ ，
1a b c ++=Q ，
所以()()()()880D D c a a c ξη-=-+-=，
即()()D D ξη=,所以命题q 是真命题.
综上可知p 假q 真.
故选：C
【点睛】
本题考查离散型分布列的期望方差，属于重点题型，本题使用的关键公式是
()()22D E E ξξξ=-，比较大小的关键是利用1a b c ++=.
11．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）
A ．12种
B ．24种
C ．36种
D ．48种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有222A =种，剩余的3门全排列，即可求解. 【详解】
由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4
节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有222A =种，
剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有336A =种，
所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636⨯⨯=种不同的排法.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
12．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）
A．
4
13
B
．
213
C．
9
26
D．
313
【答案】A
【解析】
【分析】
根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】
在ABD
∆中，3
AD=，1
BD=，120
ADB
∠=︒，由余弦定理，得
222cos12013
AB AD BD AD BD
=+-⋅︒=，
所以
13
DF
AB
=.
所以所求概率为
24
=
13
13
DEF
ABC
S
S
∆
∆
=
⎪
⎝⎭
.
故选A.
【点睛】
本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
13．某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：
则下列结论正确的是（ ）
A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少
B ．与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍
C ．2015年与2018年艺体达线人数相同
D ．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加
【答案】D
【解析】
【分析】
设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S .
观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.
【详解】
设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S .
对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；
对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；
对于选项C ，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D.
【点睛】
本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．
14．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为123100,,,,x x x x L ，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，2s '分别为（ ）
A ．32x +，232s +
B ．3x ，23s
C ．32x +，29s
D ．32x +，292s + 【答案】C
【解析】
【分析】
由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案.
【详解】
由平均数的计算公式，可得数据12100,,,x x x L 的平均数为1231001()100x x x x x =
++++L 数据1210032,32,,32x x x +++L 的平均数为：
121001210011[(32)(32)(32)][3()2100]32100100
x x x x x x x ++++++=++++⨯=+L L ， 数据12100,,,x x x L 的方差为2222121001[()()()]100
s x x x x x x =-+-++-L ， 数据1210032,32,,32x x x +++L 的方差为：
222121001{[(32)(32)[(32(32)][(32)(32)]}100
x x x x x x +-+++-++++-+L 2222121001[9()9()9()]9100
x x x x x x s =
-+-++-=L 故选C.
【点睛】 本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( )
A ．280
B ．320
C ．400
D ．1000
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果
【详解】
由题意知这是一个分层抽样问题， Q 青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本， ∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：
10200801087
⨯=++ Q 每人被抽取的概率为0.2， ∴该单位青年职员共有
804000.2
= 故选C
【点睛】 本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题。

16．我国在北宋1084年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》
和《四元玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（ ）
A ．518
B ．12
C ．59
D ．79
【答案】D
【解析】
【分析】
现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数210C 45n ==，他取到的书的书
名中有“算”字包含的基本事件总数211555C C C 35m =+=，由此能求出他取到的书的书名中
有“算”字的概率．
【详解】
解： 小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数210C 45n ==，
他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数211555C C C 35m =+=，
那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为357459
m p n =
==． 故选：D ．
【点睛】 本题考查排列组合与古典概型的综合应用，难度一般.注意此题中的书名中有“算”字包含两种情况：仅有一本书的书名中有“算”、两本书的书名中都有“算”，分类需要谨慎.
17．随机变量X 的分布列如表所示，若1()3
E X =，则(32)D X -=（ ）
A ．59
B ．53
C ．5
D ．7
【答案】C
【解析】
【分析】
由1()3E X =，利用随机变量X 的分布列列出方程组，求出13
a =，12
b =，由此能求出()D X ，再由(32)9()D X D X -=，能求出结果．
【详解】
1()3
E X =Q ∴由随机变量X 的分布列得：
116116
3a b b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得1312a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 2221111115()(1)(0)(1)3633329
D X ∴=--⨯+-⨯+-⨯=， 5(32)9()959
D X D X ∴-==⨯= 故选：C ．
【点睛】
本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18．已知变量y 关于x 的回归方程为0.5ˆbx y
e -=，其一组数据如下表所示：
若5x =，则预测y 的值可能为（ ）
A ．5e
B ．112e
C ．7e
D ．15
2e 【答案】D
【解析】
【分析】
将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =-，令ln z y $=，得到0.5z bx =-，根据题中所给的表格，列出,x z 的取值对应的表格，求得,x z ，利用回归直线过样本中心点，列出等量关系式，求得 1.6b =，得到 1.60.5z x =-，进而得到$ 1.60.5x y e -=，将5x =代入，求得结果.
【详解】
由$0.5bx y e -=，得$ln 0.5y bx =-，令ln z y $=，则0.5z bx =
-.
1234 2.54x +++==，1346 3.54
z +++==， ∵(,)x z 满足0.5z bx =-，∴3.5 2.50.5b =⨯-， 解得 1.6b =，∴ 1.60.5z x =-，∴ 1.60.5x y e
-=，
当5x =时，$151.650.52y e e ⨯-==，
故选D.
【点睛】
该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点将对数型回归关系转化为线性回归关系，根据回归直线过样本中心点求参数，属于简单题目.
19．概率论起源于博弈游戏．17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．向这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（ ）
A ．甲48枚，乙48枚
B ．甲64枚，乙32枚
C ．甲72枚，乙24枚
D ．甲80枚，乙16枚 【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，计算甲乙两人获得96枚金币的概率，据此分析可得答案．
【详解】 根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为12
， 假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率111132224P =
+⨯=， 乙获取96枚金币的概率2111224P =
⨯=， 则甲应该获得396724⨯
=枚金币；乙应该获得196244
⨯=枚金币； 故选：C ．
【点睛】 本题主要考查概率在实际问题中的应用，涉及到独立事件的概率，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.
20．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是()
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．
【详解】
由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－
P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.
【点睛】
本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．。