高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第2课时数列的性质和递推关系新人教A版必修

2 ． 已 知 数 列 {an} 中 ， an ＋ 1 － an － 3 ＝ 0 ， 则 数 列 {an} 是 ()
A．递增数列
B．递减数列
C．摆动数列
D．常数列
解析： an＋1＝an＋3>an(n∈N*)， ∴数列为递增数列．
答案： A
3．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它的最小项的值 是________．
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由递推公式写数列的项并求通项公式
已 知 数 列 {an} ， a1 ＝ 2 ， an ＋ 1 ＝ 2an，写出数列的前4项，猜想an，并加以证明．
[思路点拨] 由递推公式写出前4项 ―→ 猜想an ―→ 探寻an与an＋1的关系 ―→ 结论得证
[边听边记] 由a1＝2，an＋1＝2an，得 a2＝2a1＝4＝22，a3＝2a2＝2·22＝23，a4＝2a3＝2·23＝24. 猜想an＝2n(n∈N*)． 证明如下： 由a1＝2，an＋1＝2an，
数列通项公式和递推公式各有什么作用？ (1)数列的通项公式是给出数列的主要形式，如果已知数列 {an}的通项公式an＝f(n)，可求出数列中的各项与指定项，还可 以根据函数的性质，进一步探讨数列的增减性，数列中项的最 大值或最小值． (2)数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．一般地， 只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间 的运算关系，就可以依次求出数列的各项．
(2)通过公式bn＝
an an＋1
构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}
的前4项．
解析： (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
前5项，并判断该数列的单调性．
[思路点拨] 用序号代替通项公式中的n，就可求出相应的 项，比较an＋1与an的大小来判断数列的单调性．
解析：
对于公式an＝
n 得到
数列的前5项为a1＝12，a2＝25，a3＝130，a4＝147，a5＝256.
而an＋1－an＝n＋n＋121＋1－n2＋n 1
2．判断数列3nn＋1的增减性． 解析： ∵an＝3nn＋1， ∴an＋1＝3nn＋＋11＋1＝3nn＋＋14.
方法一：an＋1－an＝3nn＋＋14－3nn＋1
＝n＋13n3＋n＋413－n＋n13n＋4
第2课时 数列的性质和递推关系
自主学习 新知突破
1．了解递推公式是给出数列的一种方法． 2．理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的 前几项． 3．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方 法．
某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后 一排都比前一排多2个座位(如图)．
(2)∵bn＝aan＋n 1，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝aa12＝12，b2＝aa23＝23，b3＝aa34＝35，b4＝aa45＝58. 故b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.
数列的单调性问题
已知数列{an}的通项公式为an＝
n n2＋1
，写出它的
拓展： 通项公式与递推公式的关系示意图
1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N* B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2 D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 解析： a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，a5＝a4＋ 5，…. ∴an＝an－1＋n(n≥2)． 答案： B
＝[n＋11－2＋n21－]nn2＋1.
因为n∈N*，所以1－n2－n<0，所以an＋1－an<0，即an＋1<an. 故该数列为递减数列．
单调性是数列的一个重要性
质．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an ＋1与an(n∈N*)的大小，若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列； 若an＋1<an恒成立，则{an}为递减数列．用作差法判断数列增减 性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论．
解析： ∵an＝n2－6n＝(n－3)2－9， ∴当n＝3时，an有最小值－9. 答案： －9
4．设数列满足a1＝1，an＝2＋an1－1(n>1)，试写出这个数列 的前4项．
解析： ∵a1＝1，∴an＝2＋an1－1(n>1)， ∴a2＝2＋a11＝3， a3＝2＋a12＝2＋13＝73， ∴a4＝2＋a13＝2＋37＝177.
得aan－n 1＝aann－ －12＝…＝aa32＝aa21＝2(n≥2)． ∴an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa32·aa21·a1 ＝2·2·…·2·2＝2n. 又当n＝1时，a1＝21＝2成立， ∴an＝2n(n∈N*)．
(1) 根 据 递 推 公 式 写 出 数 列 的 前 几项，这类问题要弄清公式中各部分的关系，依次代入计算．
[问题1] 写出前五排座位数． [提示] 20,22,24,26,28. [问题2] 第n排与第n＋1排座位数有何关系？ [提示] 第n＋1排比第n排多2个座位． [问题3] 第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式 表示吗？ [提示] 能．an＋1＝an＋2.
数列的递推公式
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某 一 项 ) 开 始 的 任 一 项 an 与 它 的 前 一 项 an － 1( 或 前 几 项 )(n≥2 ， n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做 这个数列的递推公式．
(2)由形如an＝f(n)·an－1(n≥2)的数列的递推公式求通项公式 时，通常用累乘法或迭代法，形成函数的运动变化的观点，不 断地变换递推公式中的“下标”，直到可以利用首项或前几项 是解题的关键．
1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1 ＋an－2(n≥3)给出．
(1)写出此数列的前5项；