第七章 虚拟变量和随机解释变量 (2)

第七章 虚拟变量和随机解释变量
本章将讨论两种不同的模型：虚拟变量模型和随机解释变量模型，以及模型设定的其它问题。

第一节 虚拟变量模型
在我们以前考虑的模型中，解释变量都是定量变量（如成本、价格、收入、产出等），但在经济研究中，因变量经常受到一些定性变量的影响（如性别、种族、季节、不同历史时期等），我们把这类定性变量称为虚拟变量。

习惯上用Ｄ表示虚拟变量，虚拟变量的取值通常为0和1。

0表示变量具备某种属性，1表示变量不具备某种属性。

一、包含一个虚拟变量的模型
如果我们要研究的问题中解释变量只分为两类。

则需引入一个模拟变量。

例9.1建立模型研究中国妇女在工作中是否受到歧视。

令Ｙ＝年薪，Ｘ＝工作年限
⎩
⎨
⎧=，女性，男性
101D 可以建立如下模型：
i i i i u D B X B B Y +++=210 )1.9( 与一般的回归模型一样，假定0)(=i u E 男性就业者的平均年薪：
i i i i X B B D X Y E 10)0,(+== )2.9(
女性就业者的平均年薪：
210)1,(B X B B D X Y E i i i i ++== )3.9(
如果B 2=0则说明不存在性别歧视，如果02<B ，则说明存在性别歧视。

图9.1表明男女就业者的平均年薪对工龄的函数具有相同斜率B 1，即随着工龄的增长男
女工资的增长幅度相同；截距不同，说明男女的初始年薪不同。

我们称这种虚拟变量只影响
截距不影响斜率的模型为加法模型。

图9.1不同性别就业者的收入(加法模型,B 2<0)
如果随着工龄增加，男性与女性的年薪差距也发生变化，则模型（9.1）就变为
i i i i i u X D B X B B Y +++=210 )4.9(
图9.2描绘了男性年薪增加较快的情况。

我们称虚拟变量只影响斜率而不影响截距的模型为乘法模型如（9.4）
如果男性与女性的初始年薪和年薪增加速度都有差异，我们可以将加法模型和乘法模型
结合起来，得到如下模型
i i i i i i u D B X D B X B B Y ++++=3210 )5.9(
模型（9.5）可以用来表示截距和斜率都发生变化的模型。

其图形如图9.3所示。

我们还可以用加法模型与乘法模型相结合的方式建立模型来拟合经济发展出现转折的
情况。

例如，进口商品消费支出Ｙ主要取决于国民生产总值Ｘ（作为收入的替代变量）的多少。

我们改革开放前后，由于国家政策的变化，及改革开放后外资的大量引入等因素的影响，1978年前后，Y 对X 的回归关系明显不同。

以t *＝1978年为转折点，1978年的国民生产总值X *t 为临界值。

设虚拟变量
⎪⎩⎪⎨⎧<≥=*
*
01t
t t t D t 进口商品支出回归方程为
t t t t t t u D X X B X B B Y +-++=)(*
210 )6.9(
用OLS 法估计得到
t t t t t D X X B X B B Y
)(ˆˆˆˆ*210-++= )7.9( 当年1978*
=<t t ，0=t D
t t X B B Y
10ˆˆˆ+= )8.9( 当t ≥1978*
=t ，1=t D
t t t X B B X B B Y
)ˆˆ()ˆ(ˆ21*20++-= )9.9( 根据我国经济发展的实际情况；一般应该0ˆ2>B 。

比较(9.8)与(9.9)式中的斜率，1
21ˆˆˆB B B >+，说明改革开放后，随着收入的增长，我国进口商品支出增长速度较改革开放前快。

当t=t *时，X t =X *t ，所以，由(9.8)和(9.9)式计算得到的Y *t 是一样的。

两条不同时期的直线可在转折点连起成为一条折线。

如图9.4.
§9.1.2 包含多个虚拟变量的模型 现在我们要研究本科生，研究生和MBA 毕业生的初职月薪有何差异。

这里有三类人员，需引入两个虚拟变量。

数据见表9.1 Y ＝初职月薪
X t
⎩⎨⎧=其他研究生011D ⎩⎨⎧=其他
研究生011D
表9.1研究本科生，研究生和MBA 毕业生的初职月薪 单位：人民币元
根据表9.1的数据得到OLS 回归结果如下：
212497719501D D Y ++
= )10.9(
t )45.4( )52.4( )59.15(
75.128,6.1.,898.0,905.022====F W D R R
根据（9.1）可以看出，截距项为本科生的平均初职月薪；D 1的系数是研究生与本科生平均初值职月薪的差额；D 2的系数是MBA 毕业生与本科生平均初职月薪的差额。

所有回归数的符号与预期的一致。

模型(9.10)表明研究生的初职月薪比本科生高143.5%。

MBA 毕业生的初值月薪比本科生高494.8％；MBA 毕业生的初职月薪比研究生高144.2％。

从这三个层次毕业生的初职月薪可以看出他们的竞争能力。

图9.5给出了模型(9.10)
图9.5本科生、研究生、毕业生的初职月薪
从前面讨论的例子中，我们可以发现虚拟变量实质上是“数据分类器”，它根据样本的属性（性别、种族、季节变化、经济结构的变化等）将样本分为各个不同的子群体并对每个子群体进行回归分析。

各个子群体的因变量对解释变量（定性解释变量）的不同反应表现为各子群体截距或斜率系数存在差别。

虽然虚拟变量技术非常有用，但在使用时仍需谨慎。

第一，如果回归模型包含了常数项，那么虚拟变量的个数必须比所研究问题中数据属性少１；第二虚拟变量的系数必须与基准类（所有虚拟变量都取零的一类）相关；最后，若模型中包含多个定性变量，而且每个定性变量有多种分类，则引入模型的虚拟变量将消耗大量的自由度。

因此，应当权衡进入模型的虚拟变量个数以免超过样本观察值的个数。

§9.2 随机解释变量模型
回忆回归模型的古典假设这一0)(,=i i u X Cov ，即解释变量X 与随机项u 不相关。

这个假定实际上要求：或X 是确定性变量，或者X 是随机变量，但与误差项u 不相关。

显然这种假定不符合实际。

实际上解释变量的取值往往不确定，是随机的。

尤其是滞后因变量作解释变量时更不能把他当作非随机变量处理。

我们把解释变量是随机变量的模型称为随机解释变量模型。

对于随机解释变量模型，如果满足
0)(,=i i u X Cov
和其它古典假设。

则当X 与u 独立时，最小二乘估计量是无偏的；当X 与u 不独立时，最小二乘估计量具有一致性。

如果0)(,≠i i u X Cov ，则OLS 估计量是非一致估计量。

如何解决解释变量与随机误差项相关时模型的参数估计呢？工具变量法是一种简单的方法。

工具变量法的基本思想是当解释变量与随机项高度相关时，设法找到另外一个随机变量Z ，使得Z 与X 高度相关而与u 不相关，称Z 为工具变量，用Z 替代X 使0)(,=i i u Z Cov ，求得模型的参数估计量1。

但在实际应用中，如何选择工具变量是一个比较困难的问题。

第三节 模型的设定
在前几章我们考虑了单方程回归模型，例如交通通讯支出函数，进口需求函数。

在考虑这些模型时，我们隐含地假定了所选择的模型“是对现实的真实反映”，即它正确地反映了所要研究的现象。

用专业语言说，就是我们假定所选模型中不存在设定偏差或者误差。

设定误差的产生是由于我们在不经意中估计了“不正确的”模型。

但在实践中寻找真实正确的模型就好像寻找圣杯一样，永远办不到。

我们只是希望找到一个能够合理反映现实的模型，即一个好的模型。

一、 “好的”模型具有的特性
著名经济计量学家哈维2列出了可以判定模型好坏的标准。

1. 节省性。

一个模型永远无法完全把握现实，在建模过程中一定程度的抽象或简化是不可
1
对随机解释变量模型估计量的性质的证明和工具变量法的介绍参见《经济计量学》，张宝法编著，经济科学出版社，2000年1月，pp166-174。

避免的。

节俭原则表明模型应尽可能地简单，即简单优于复杂。

2. 可识别性。

即对给定的一组数据，每个参数只有一个估计值。

3. 拟合优度。

回归分析的基本思想是用模型中所包括的变量来尽可能地解被解释变量的变
化。

比如我们可以用校正的样本决定系数2
R 来度量拟合优度。

2
R 越高，则认为模型就越好。

4. 理论一致性。

无论拟合度多高，一旦模型中的一个或者多个数的符号有误，该模型就不
是一个好的模型。

因而，在某种商品的需求函数中，如果价格的函数为正，那么回归结果就值得怀疑。

即使模型的R 2值很高，比如0.98，我们也不能接受这个模型。

所以，在构建模型时，我们必须有一些理论基础来支撑这一模型，“没有理论的测量”经常能导致非常令人失望的结果。

5. 预测能力。

正如诺贝尔奖得主米尔顿.弗里德曼所指出的那样，“对假设（模型）的真实
性唯一有效的检验就是将预测与经验值相比较”3。

因而，在货币主义模型和凯恩思模型两者之间选择时，根据这一标准，我们就应该选择理论预测能够被实际经验所验证的模型。

虽然建立一个“好的”模型没有一个统一的方法，但是我们建议读者在建立经济计量模型时应牢记这些标准。

二、设定误差的类型
正如前面指出的那样。

模型应该尽可能简单，它应该包括理论上所建议的关键变量而将一些次要影响因素包括在误差项u 中。

下面我们讨论几种导致模型失效的设定误差。

1.遗漏相关变量:“过低拟合”模型
由于种种原因，研究者遗漏了一个或多个本应该包括在模型中的解释变量，这样会对常用的变通最小二乘法估计结果有什么影响呢？
在第七章，我们曾给出1985年到1998年期间我中国进口商品支出函数，见式（6.5），现在假定“真实”的进口商品支出函数如下：
t t u X B X B B Y +++=22110 )1.8(
式中的Y 为进口总额，X 1为收入，X 2 为时间趋势变量，取值从1，2，… 到14（为了使分析具有一般性，我们用Y, X 1, X 2 作为变量）。

式8.1表明：除了收以外，还有一个变量X 2也影响进口商品支出。

它可能是人口，偏好，技术，国家政策导向等因素，我们用一个包罗万象的变量－－时间或趋势变量表示这些影响因素。

如果，我们在这里不估计回归方程8.1而是估计下面的方程：
t t t X A A Y ν++=10 )2.8(
式(8.1)与(8.2)类似，只是去掉了“相关“变量X 2 。

ν与u 都是随机误差项。

如果(8.1)是正确的模型，那么(8.2)就犯了从模型中排除重要变量的设定误差。

我们将这种设定误差称作遗漏变量偏差。

遗漏变量可能产生如下后果：
（1）如果遗漏变量X 2 与模型中变量X 1 相关，则0
ˆA 和 1ˆA 是有偏的，即其均值与真实值不一致 。

即
0)ˆ(B A E ≠, 11)ˆ(B A E ≠
3
Milton, “The Methodology of Positive Economics” in Essays in Positive economics, University of Chicago
（2）0ˆA 和 1ˆA 不是0B 和1B 的一致估计量。

即无论样本容量多大，0
ˆA 和 1ˆA 的偏差不会消失。

（3）如果X 2 与模型中变量X 1不相关，则1ˆA 是1B 的无偏一致估计量4，但是0
ˆA 仍然是0B 的有偏估计量。

根据错误设定模型(8.2)得到的误差方差是真实方差σ2的有偏估计量。

换言之，从真实模型(8.1)估计得到的误差方差与错误设定模型(8.2)中估计得到的误差方差不同，前者是真实σ2的一个无偏估计量，而后者却不是。

通常估计的1
ˆA 的方差是真实估计量1B 的方差的有偏估计量。

即使X 1与X 2不相关，这一方差仍然是有偏的。

可以证明
[]
∑∑-+=2
222221
1)2()ˆ()ˆ((i
i
X n X B B Var A Var E )3.8(
可见0
ˆA 的方差的期望值并不等于1ˆB 的方差，平均而言，)ˆ(1A Var 高估了1B 的真实方差，意谓着它将有一个正的偏差。

因此，通常的置信区间和假设检验也不可靠。

对(8.3)而言，置信区间将会变宽，因此，我们可能会“更频繁地”接受零假设：函数的真实值为零（或其他零假设）
下面我们利用中国进口支出函数说明错误设定模型的后果。

例8.1 进口支出函数
利用表6.3给出的数据，再加上时间趋势变量（根据模型特点，我们引入了时间趋势变量的多项式形式），模型（8.1）的回归结果如下：
3218.1073.16012.949271.042.172T T T
GNP IM -+-+-= )4.8(
t )
177.0(- )67.5( )22.2( )20.2( )74.2( 991.02=R 988.02=R 34.476ˆ=σ
97.1.=W D 83.272=F 错误设定式(8.2) 的回归结果已由（7.5）式给出如下：
GNP IM 173.0186.217+-= t )5.0(- )94.16(
960.02=R 956.02
=R 85.913ˆ=σ 735.0.=W D 95.286=F
注意两个回归结果的几个特点：
（1）错误设定式（8.5）表明，GDP 每增加1元，平均而言，用于进口货物上的支出会增加0.173元；即进口支出的边际倾向是0.173元。

而真实模型(8.4)表明，由于考虑到趋势变量的影响，因而GDP 每增加1元，平均用于进口货物的支出将会增加大约0.271元。

在这个例子中，错误设定方程低估了真实的边际进口支出倾向，也就是说，它有一个向下的偏差。

由于在错误设定的方程中，遗漏了时间趋势变量，因此，收入变量GNP 就不得不担负起遗漏变量对进口支出 IM 的影响，从而无法表现GNP 对IM 的真实影响。

（2）两个模型中估计的误差标准差明显不同，当然，误差的方差也明显不同。

这些结果与前面的讨论一致 。

可见，从模型中略去相关变量可能产生非常严重的后果。

因此，我们在建立模型时，需要对研究对象中所蕴含的经济理论作深入的了解，从而把相关的变量都包括进模型中。

如果模型未包括这些相关变量，我们就会过低拟合模型，犯遗漏重要变量的错误。

2.包括不相关变量：“过度拟合”模型
有时，研究人员会采取“大杂烩“的方式将所有的变量都包括进模型中，不管它们是不是理论上所需要的。

过度拟合模型的逻辑思想是只要包括了理论上的相关变量，那么包括一个或多个不必要的或非相关的变量也不会有太大影响。

由于研究人员不能确定非相关变量在模型中的作用，所以，非相关变量经常被不经意地包括到模型中。

如果经济理论不完善，也会发生过度拟合的情况。

在过度拟合的情况下，R 2会较高，从表面看，模型的预测能较高。

抛开这种表面现象，我们研究模型中包括非相关变量的后果。

我们用简单的双变量和三变量模型加以说明。

假设
i i i u X B B Y ++=110 )6.8(
是正确设定的模型。

现在研究者加入了一个多余变量X 2，估计以下模型：
i i i i X A X A A Y ν+++=22110 )7.8(
我们事先已知 X 2对Y 没有任何影响，则(8.7)是一个过度拟合模型。

模型(8.7)的估计结果有如下特点：5
（1）过度拟合模型(8.7)的OLS 估计量是无偏的（也是一致 的）。

即00)ˆ(B A E =, 11)ˆ(B A E =， 0)ˆ(2
=A E （由于 本不属于真实模型，因而 的值 值预期为零）。

（2）从回归方程(8.7)中所得σ2的估计是正确的。

（3）通常的置信区间和假设检验程序仍然是有效的。

（4）从过度拟合模型(8.7)估计的i A ˆ是非有效的。

通常，它们的方差比从真实模型(8.6)中估计的i
B ˆ的方差大。

简言之，在过度拟合模型中，估计量是线性无偏估计量，但不是最优线性无偏估计量。

※ ※※※※
注意：到目前为止，我们讨论了两类不同的设定误差，如果略去某一相关变量(过低拟合)，则模型中剩余变量的系数通常是有偏和不一致的，估计的误差方差也是不正确的，估计量的标准差是有偏，因此，通常所用的假设检验过程是无效的。

另一方面，若模型中包括了一个无关变量(过度拟合)，则仍然可以得到无偏的和一致估计量，估计的误差方差是正确的，通常的假设检验过程仍然是有效的。

模型中包括多余变量的一个主要问题是估计系数的方差是正确的，通常的假设检验过程仍然是有效的。

模型中包括多余变量的一个主要问题是估计系数的方差会变,从而降低了估计值的精确性。

这样会是我们更容易接受零假设：真实的系数值为零，以至于无法认识到被解释变量与解释变量之间的显著关系。

从上述讨论中似乎得到这样一种无益的结论：包括不相关变量比排除相关变量要好一些。

但我们并不鼓励这样做，因为增加非相关变量会减少估计量的有效性，也可能导致多从共线性，同时也会损失自由度。

通常提倡的方法使劲包括那些在理论上对因变量有直接影响的变量，而且这些解释变量不能够由模型中其他变量解释。

3.不正确的函数形式
如果我们在研究中选择了错误的函数形式，也会产生模型设定误差。

现假定模型所包含的变量Y,X 都是理论上正确的变量，真实的模型为：
i i i i i u X A X A X A A Y ++++=332210 )8.8(
而再研究中将上述方程误设为：
i i i X B B Y ν++=10 )9.8(
显然错误设定方程(8.9)遗漏了变量X 2和X 3，只能得到有偏且非一致的估计量。

如果将一个线性模型误设为多项式形式的非线性模型，就会犯“过度拟和”的错误。

如果正确的模型形式为：
i i i X C C Y ν++=ln ln 10 )10.8(
而将其误设为(8.9)的形式，(8.10)式中C 1的含义为Y 对X 的弹性, (8.9)式中的B 1的含义为Y 对X 的斜率，显然这两者是不同的。

如果要由(8.9)式中得到Y 对X 的弹性，必须将B 1乘以X/Y 。

可见这个弹性依赖于所选择的X 与Y 的值。

然而对(8.10)而言，这弹性系数无论X 取何值都是不变的。

由于经济理论并没有告诉我们解释变量与被解释变量之间的函数形式，我们就面临一个难题：如何在模型(8.9)和(8.10)之间进行选择。

如果(8.9)是真实的模型，而我却却用了模型 (8.10)来拟和数据，则会导致模型设定误差；如果情况相反，我们也会导致模型设定误差。

虽然在这两种情况下都包括了相关的变量，如果我们选择了错误的函数形式，则所得的估计的系数很可能是真实系数的有偏估计。

我们可以利用搏克斯—考克斯(Box-Cox)变换来检验模型是现行的还是对数线性的。

6 尽管还有其他类型的设定误差，此处我们就不再讨论。

但上述讨论已经足够提醒我们：在建立模型时必须小心谨慎，不断总结经验，逐步完善模型。

三、设定误差的检验 没有人故意反设定误差的错误。

设定误差是不经意产生的，或由于理论薄弱无法建立准确的模型，或是由于没有正确的数据来检验理论上正确的模型，，或由于被解释变量与解释变量之间函数形式从理论上来说就不是很明确。

实际的的问题不在于犯了这类错误，，而在于如何检测犯了这类错误。

一旦确认犯了这类错误，采取相应的补救措施，就可以得到比较理想的模型。

下面我们讨论几种检验设定误差的方法。

1.诊断非相关变量的存在 假定由理论证明X 1 ，X 2 对Y 都有影响，那么X 1 ，X 2 都应包括在模型中，即使在实证检验中它们中的某个或全部的系数可能使统计不显著的，也不应该把它们从模型中去掉，这时不会产生非相关变量问题。

有时为了避免产生遗漏变量偏差， 我们将变量X 3 映入模型，这是模型形式为：
i i i i i u X B X B X B B Y ++++=3322110 )11.8(
6
参见《经济计量模型与经济预测》，罗伯特 S.平荻克著，钱小军等译，机械工业出版社，1999年3月，
假定根据现有理论无法且定X 3是否真的属于模型，我们可以通过t 检验来判断X 3是否是一个多余变量。

如果B 3 是统计显著的，X 3 可能属于模型(8.11)。

而且我们还应从系统的运行规律上进一步寻找 X 3 属于模型(8.11)的证据（这时 X 3 的作用往往带有一定特殊性）。

只有在得到充分证据之后，才能确认X 3 属于模型(8.11)。

如果经研究没有找到充分的证据证明 X 3 应属于模型(8.11)，即使 B 3 式统计显著的，我们也不应将X 3纳入模型(8.11)。

如果(8.11)中的B 3是统计不显著的，我们有没有充分证据证明X 3 属于模型(8.11)， 则可以认为X 3是不相关变量。

如果我们不能确定X 1 ，X 2 是相关变量，可以用F 检验。

凌驾设为 B 2=B 3=0，其他过程同上。

从以上讨论可以看出，在检验非相关变量存在时，我们头脑中首先应有一个理论上正确的模型，然后我们在借助于常用的t 检验和F 检验来判定一个或多个变量（这些变量是根据理论不能确定的变量）是否应包含在模型中（对于理论上已经证明应包括在模型中的变量，不应属于非相关变量之列）。

可见t 检验，F 检验只是我们判断非相关变量的一个辅助工具，不能仅以t 检验或F 检验是否显著来判断一个或多个变量是不是非相关变量，否则，我们就会犯数据挖掘(Data mining)的错误。

2.对遗漏变量何不正确函数形式的检验 理论应该成为模型的基础，什么是理论上正确的模型呢？比如我们现在考虑失业和通货膨胀之间的关系。

过去一致认为这两个变量是密切相关的。

在五六十年代，当失业率低时， 通货膨胀率通常是高的，反之就相反。

失业率与通货膨胀之间的关系被称为菲利普斯曲线。

根据菲利普斯曲线，我们可以预期通货膨胀率与失业率负相关，但究竟那种函数关系是正确的呢？
i t i u X B B Y ++=10 01<B )12.8(
或
t t t u X B B Y ++=ln ln 10 01<B )13.8(
或
t t
t u X B B Y ++=1
1
0 01>B )14.8( X=失业率， Y=通货膨胀率。

我们不能明确回答这个问题。

事实上通货膨胀不但受失业率影响，而且还受需求压力、进口价格等影响。

在五六十年代菲利普斯曲线是正确的，因为其他影响通货膨胀率的因素几乎保持固定不变或变动幅度很小，所以那个时期通货膨胀率和失业率之间的关系很明显呈现出负相关的关系。

在运用五六十年代数据分析通货膨胀率与失业率之间的关系时，菲利浦斯曲线是一个很好的理论模型。

如果我们使用七十年代获得数据菲利浦斯曲线就不是一个合适的理论模型。

7要建立模型研究通货膨胀与其他影响因素的关系还需对经济系统作更深入的研究。

实践中我们按照如下步骤去判断：首先根据理论或调查以及过去的工作经验，建立一个自认为抓住了问题的本质的模型，然后对这个模型进行实证检验，并对回归结果进行仔细分析。

我们可以根据以下参数判定模型是否恰当： （1）R 2和校正后的R 2(2
R )
（2）估计的t 值
（3）与预期相比，估计系数的符号
（4）D.W 统计量
（5）预测误差
如果这些结果都很好，则可以接受所选模型，认为他较好地代表了现实情况。

如果结果不令人满意，或R 2太低，或只有几个系数是统计显著的，或符号与预期有误，或D.W 统计值太低（太高），或预测误差相对较大，那么我们就要考虑模型是否恰当，并寻求补救措施：可能我们省略了某个重要的变量，可能我们使用了错误的函数形式等等。

四、用于预测的模型的选择
我们知道回归分析的目的之一就是预测因变量的未来值。

为了预测选择模型由哪些标准呢？我们首先会想到R 2拟和优度。

因为R 2表示回归直线对样本点的拟和程度，自然R 2越大模型越好。

但R 2只是根据样本内数据得到的结果。

还有多种标准可以判断回归模型的预测效果，最常用的两种是Akaike 信息标准(AIC)和Schwarz 信息标准(SIC)。

这些标准的定义如下：
n
e e AIC i
n k
∑=22 )15.8( n e
n SIC i n k
∑=2 )16.8(
其中e 是自然对数的底，n 是样本观察值的总数，k 是模型中变量的总数（包括截距项），∑2
i
e 是样本残差平方和。

这些公式都给出了预测误差方差的估计值。

上述两公式前面的因子可以认为是自由度处罚因子，模型中解释变量的个数越多，则处罚越重。

相对来说，SIC 标准对自由度的处罚比 AIC 标准更重。

无论用 AIC 标准还是 SIC 标准，从预测角度来看，度量值越低，模型的预测会越好。