高二数学寒假作业第12天函数的单调性问题文新人教A版(new)

第12天 函数的单调性问题
高考频度:★★★★★ 难易程度:★★★★☆
典例在线
已知函数322()4361f x x tx t x t =+-+-，其中t ∈R ．
（1）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（2）当0t ≠时,求()f x 的单调区间．
【参考答案】（1）60x y +=;（2）见试题解析．
【试题解析】（1）当1t =时，32()436f x x x x =+-,(0)0f =，因为2()1266f x x x '=+-，(0)6f '=-，
所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6y x =-，即60x y +=．
②若0t >，则2
t t >-，当x 变化时,()f x '，()f x 的变化情况如下表: x (,)t -∞- (,)2t t - (,)2
t +∞ ()f x ' + — +
()f x
所以()f x 的单调递增区间是(,)t -∞-，(,)2t +∞；()f x 的单调递减区间是(,)2
t t -． 【解题必备】（1）利用导数研究函数的单调性,要在函数的定义域内讨论导数的符号；
（2）在某个区间内,()0f x '>(()0f x '<）是函数()f x 在此区间内单调递增（减)的充分条件，而不是必要条件．例如，函数3()f x x =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，但2()30f x x '=≥．
(3)函数()f x 在(),a b 内单调递增(减)的充要条件是()0f x '≥(()0f x '≤）在（a ,b ）内恒成立，且()f x '在(),a b 的任意子区间内都不恒等于0．这就是说，在区间内的个别点处有()0f x '=,不影响函数f (x ）在区间内的单调性．
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1．（2017浙江）函数()y f x =的导函数()y f 'x =的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是
2．已知函数ln ()x f x x a
=+在1x =处的切线方程为20x y b -+=． （1)求实数a ，b 的值；
(2）若函数21()()2
g x f x x kx =+-,且()g x 是其定义域上的增函数，求实数k 的取值范围．
1．【答案】D
【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，故选D ．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数
知识来讨论函数单调性时，由导函数()f 'x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．
2．【答案】(1)1a =，1b =-;（2）(,3]-∞．
【解析】（1）因为ln ()x f x x a =+，所以1()1f x ax
'=+, 因为()f x 在1x =处的切线方程为20x y b -+=，
所以112a
+=，210b -+=，解得1a =，1b =-．
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