垂直于弦的直径 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
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• 学习难点：垂径定理及其推论。
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？
• 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现 了什么？你得到什么结论？你会证明你的 结论吗？
• 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ • 3、你知道解例2的每步依据吗？
一、 情境导入
问题：你知道赵州桥吗？它是1 300多年前我国隋代 建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶， 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
O
A
C
D
OO
BHale Waihona Puke 【证明猜想】垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足
为E.求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD.
A
垂径定理 垂直于弦的直径平
分弦，并且平分弦所对的两条 C
O
ED
弧.
B
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C A
DC A
DC
O
O
E DC
D
A
【解析】定理中两个条件（直径、垂直于弦）缺一不可，
【跟踪训练】 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5， 求⊙O的半径.
【解析】提示作OM 垂直
B
MA
P
于PB ，连接OA.
O
答案： 17
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条
非常重要的辅助线.
【归纳】
变式1：AC，BD有什么关系？
AC
O
DB
A C O D B 变式2：AC＝BD依然成立吗？
变式3：EA＝_F_B__, EC=___F_D_.
AC E
F DB
O
AC
DB
O
变式4：_O_A__=_O_，B AC=BD.
AC
DB
变式5：_O_C__=_O_，DAC=BD.
O
三、后教环节 突出重点 突破难点
二、 先学环节 教师释疑
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆 会有什么关系？ 【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直 线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？
AO BO CO DO，AC＝BC， AD＝BD，AE＝BE
AO=BO=CO=DO，
AD＝BC AC＝BD
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
1.理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明.
2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题 的能力. 3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并 激发学生对数学的热爱．
• 学习重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径 定理及其推论，学会运用垂径定理等结论 解决一些有关证明、计算和作图问题。
故前三个图均不能，仅第四个图可以！
【例题】
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的 A
E
B
长为8 ㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，
O
求圆O的半径.
【解析】根据题意得， AE=4 cm OE⊥AB OE=3 cm 在Rt△OEA中，根据勾股定理得： AO2=OE2+AE2=32+42=25， AO=5cm.
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？
• 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现 了什么？你得到什么结论？你会证明你的 结论吗？
• 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ • 3、你知道解例2的每步依据吗？
一、 情境导入
问题：你知道赵州桥吗？它是1 300多年前我国隋代 建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶， 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
O
A
C
D
OO
BHale Waihona Puke 【证明猜想】垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足
为E.求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD.
A
垂径定理 垂直于弦的直径平
分弦，并且平分弦所对的两条 C
O
ED
弧.
B
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C A
DC A
DC
O
O
E DC
D
A
【解析】定理中两个条件（直径、垂直于弦）缺一不可，
【跟踪训练】 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5， 求⊙O的半径.
【解析】提示作OM 垂直
B
MA
P
于PB ，连接OA.
O
答案： 17
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条
非常重要的辅助线.
【归纳】
变式1：AC，BD有什么关系？
AC
O
DB
A C O D B 变式2：AC＝BD依然成立吗？
变式3：EA＝_F_B__, EC=___F_D_.
AC E
F DB
O
AC
DB
O
变式4：_O_A__=_O_，B AC=BD.
AC
DB
变式5：_O_C__=_O_，DAC=BD.
O
三、后教环节 突出重点 突破难点
二、 先学环节 教师释疑
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆 会有什么关系？ 【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直 线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？
AO BO CO DO，AC＝BC， AD＝BD，AE＝BE
AO=BO=CO=DO，
AD＝BC AC＝BD
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
1.理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明.
2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题 的能力. 3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并 激发学生对数学的热爱．
• 学习重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径 定理及其推论，学会运用垂径定理等结论 解决一些有关证明、计算和作图问题。
故前三个图均不能，仅第四个图可以！
【例题】
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的 A
E
B
长为8 ㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，
O
求圆O的半径.
【解析】根据题意得， AE=4 cm OE⊥AB OE=3 cm 在Rt△OEA中，根据勾股定理得： AO2=OE2+AE2=32+42=25， AO=5cm.