人教部编版高三数学(理科)一轮复习综合测试卷

人教部编版高三一轮复习综合测试卷
数学（理科）
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(山东淄博一模)在复平面内,复数z满足z(1+i)=1-2i,则对应的点位于()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案B
解析∵z(1+i)=1-2i,
∴z=---
---
-
--=-i,
∴=-i,故对应的点位于第二象限.故选B.
2.若集合A={x|lo(2x+1)>-1},集合B={x|1<3x<9},则A∩B= )
A. B.-
C.(0,2)
D.
答案A
解析∵A={x|lo(2x+1)>-1}=-,
B={x|1<3x<9}={x|0<x<2},
∴A∩B=,故选A.
3.(湖北黄冈中学三模)下图是某企业产值在2008~年的年增量(即当年产值比前一年产值增加的量)统计图(单位:万元),下列说法正确的是()
A.2009年产值比2008年的产值少
B.从2011年到年,产值年增量逐年减少
C.产值年增量的增量最大的是年
D.年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低
答案D
解析A错,2009年的产值比2008年的产值多29 565万元;
B错;
C错,产值年增量的增量最大的不是年,应是2010年;
D正确,因为增长率等于增长量除以上一年的产值,而上一年的产值不确定,所以年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低.
4.根据下面的程序框图,当输入x为2 017时,输出的y=()
A.2
B.4
C.10
D.28
答案B
解析由程序框图可知,每运行一次,x的值减少2,当程序框图运行了1 009次后,x=-1,此时终止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-1)+1=4,故输出y的值为4,故选B.
5.为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取
10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为x+.已知xi=225,yi=1 600,=4,该班某学生的脚长为24厘米,据此估计其身高为()
A.160厘米
B.163厘米
C.166厘米
D.170厘米
答案C
解析由已知得xi=22.5,yi=160,又=4,所以=160-4×22.5=70,故当x=24时,=4×24+70=166.故选C.
6.若将函数f sin x-cos x的图象向右平移m 0<m<π 个单位长度,得到的图象关
于原点对称,则m=()
A. B. C. D.
答案A
解析f(x)=sin x-cos x=sin-,图象向右平移m 0<m<π 个单位长度,得到
y=sin--的图象,由于得到的图象关于原点对称,故是奇函数,所以--m=kπ k∈Z,当k=-1时,m=.
7.从(3-2)11的展开式中任取一项,则所取项是有理项的概率为()
A. B. C. D.
答案B
解析由题意,可得二项展开式的通项为Tr+1=(3)11-r·(-2)r=(-2)r·311-r -,
根据题意可得,当-为整数时,展开式的项为有理项,则r=3,9,共有2项,
而r的取值共有12个,由古典概型的概率计算公式可得,所取项是有理项的概率为P=,故选B.
8.(全国Ⅰ,理10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则
()
A.p1=p2
B.p1=p3
C.p2=p3
D.p1=p2+p3
答案A
解析设AB=b,AC=a,BC=c,则a2+b2=c2.
所以以BC为直径的圆面积为π,以AB为直径的圆面积为π,以AC为直径的圆面积为π.所以SⅠ=ab,SⅡ=--
ab=ab,SⅢ=ab,所以SⅠ=SⅡ,由几何概型,知p1=p2.
9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.若a=,S为△ABC 的面积,则S+3cos Bcos C的最大值为()
A.3
B.
C.2
D.
答案A
解析由cos A=--=-,可知A=,又a=,故S=bcsin A=·asin C=3sin Bsin C.
因此S+3cos Bcos C=3sin Bsin C+3cos Bcos C=3cos(B-C),于是当B=C时,S+3cos Bcos C 取得最大值3.
10.直线y=kx+1与曲线f(x)=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于()
A.2
B.-1
C.1
D.-2 答案C
解析依题意知,f'(x)=3x2+a, 则
由此解得-
所以2a+b=1.
11.定义在R上的偶函数f(x)在[0 +∞ 内单调递增,且f(-2)=1,则f(x-2 ≤1的x的取值范围是()
A.[0,4]
B.(-∞ -2]∪[2 +∞
C.(-∞ 0]∪[4 +∞
D.[-2,2]
答案A
解析∵偶函数f(x)在[0 +∞ 内单调递增,且f(-2)=1,
∴不等式f(x-2 ≤1等价于f(|x-2| ≤f -2)=f(2),
即|x-2|≤2.
∴0≤x≤4 ∴f(x-2 ≤1的x的取值范围是[0,4].故选A.
12.(福建三明质检)已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F2的直线与E的右支交于A,B两点,M,N分别是AF2,BF1的中点,O为坐标原点.若△MON是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则E的离心率是()
A.5
B.
C.
D.
答案D
解析如图所示,由题意可得ON∥AB.
由△MON是以O为直角顶点的等腰直角三角形可得OM⊥AB,结合OM∥AF1可得AF1⊥AB.令OM=ON=x,则AF1=2x,AF2=2x-2a,BF2=2x,BF1=2x+2a.
在Rt△ABF1中,(2x)2+(4x-2a)2=(2x+2a)2,整理计算可得x=a.
在Rt△AF1F2中,(2x)2+(2x-2a)2=(2c)2,
即(3a)2+a2=(2c)2,
计算可得e2=,
∴e=.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.设函数f(x)=-
若f(m)=3,则实数m的值为.
答案2
解析当m≥2时,m2-1=3,
∴m2=4,∴m=±2.
∵m≥2 ∴m=2.
当0<m<2时,log2m=3,
∴m=23=8.
∵0<m<2,∴m∈⌀.
综上所述,m=2.
14.(全国Ⅰ,理8改编)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则=.
答案8
解析由题意知直线MN的方程为y=(x+2),联立直线与抛物线的方程,
得
解得或.
不妨设M(1,2),N(4,4).
∵抛物线的焦点为F(1,0),
∴=(0,2),=(3,4).
∴=0×3+2×4=8.
15.由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积
为.
答案2+
解析由三视图还原几何体如图所示,故该几何体的体积V=2×1×1+2×π×12×1=2+.
16.设C满足约束条件
--
-若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则
的最小值为. 答案
解析根据约束条件绘制可行域,如图所示.
将z=ax+by转化为y=-x+,
∵a>0,b>0,
∴直线y=-x+的斜率为负,最大截距对应最大的z值, 易知点A为最大值点.
联立方程组
---
解得即A(4,6).
∵目标函数z=ax+by的最大值为12,
∴12=4a+6b,即=1,
∴+2, 当且仅当,且=1,
即a=b=时取等号.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(12分)若数列{an}满足:a1=,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2.
(1)证明:数列{an+1-an}是等差数列;
(2)求使+…+成立的最小的正整数n. (1)证明由3(an+1-2an+an-1)=2可得,an+1-2an+an-1=,
即(an+1-an)-(an-an-1)=,
故数列{an+1-an}是以a2-a1=为首项,为公差的等差数列.
(2)解由(1)知an+1-an=(n-1)
=(n+1),
于是累加求和得an=a1+ 2+3+…+n =n(n+1),
故=3-,
因此+…+=3-,可得n>5,
故最小的正整数n为6.
18.(12分)如图,在长方形ABCD中,AB=2AD,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.
(1)求证:AD⊥BM;
(2)若E是线段DB的中点,求AE与平面BDM所成角的正弦值.
(1)证明∵四边形ABCD是矩形,AB=2AD,M为CD的中点,
∴AM=BM=AD.
∴AM2+BM2=AB2,∴AM⊥BM.
∵平面ADM⊥平面ABCM,
平面ADM∩平面ABCM=AM,
BM⊂平面ABCM,
∴BM⊥平面ADM.
∵AD⊂平面ADM,
∴AD⊥BM.
(2)解过M作平面ABCM的垂线Mz,
以M为原点,以MA,MB,Mz为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示.
设AD=1,则AM=BM=,M(0,0,0),A(,0,0),B(0,,0),D,E.
∴-=(0,,0),.
设平面BMD的法向量为n=(x,y,z),
则
即
令z=1,得n=(-1,0,1).
∴n·.
.
∴cos<n,>=
||||
∴AE与平面BDM所成角的正弦值为.
19.(12分)(山东潍坊二模)为推动实施健康中国战略,树立国家大卫生、大健康概念,手机APP也推出了多款健康运动软件,如“微信运动”.杨老师的微信朋友圈内有600名好友参与了“微信运动” 他随机选取了40名微信好友(女20人,男20人),统计其在某一天的走路步数.其中,女性好友的走路步数数据记录如下:
5 8608 5207 32
6 6 798
7 325
8 430 3 2167 45311 754
9 8608 753 6 4507 290 4 85010 2239 763
7 9889 176 6 421 5 980
男性好友走路的步数情况可分为五个类别:A(0~2 000步)(说明:“0~2 000”表示大于等于0,小于等于2 000.下同),B(2 001~5 000步),C(5 001~8 000步),D(8 001~10 000步),E(10
001步及以上),且B,D,E三种类别人数比例为1∶3∶4,将统计结果绘制成如图所示的条形图.
若某人一天的走路步数超过8 000步被系统认定为“卫健型” 否则被系统认定为“进步型”.
(1)若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布,请估计杨老师的微信朋友圈内参与“微信运动”的600名好友中,每天走路步数在5 001~10 000步的人数;
(2)请根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关?
(3)若按系统认定类型从选取的样本数据中在男性好友中按比例选取10人,从中任意选取3人,记选到“卫健型”的人数为x;女性好友中按比例选取5人,从中任意选取2人,记选到“卫健型”的人数为y,求事件“|x-y|>1”的概率.
附:K2=-,
解(1)在样本数据中,男性好友B类别设为x人,则由题意可知1+x+3+3x+4x=20,解得x=2.故B类别有2人,D类别有6人,E类别有8人,走路步数在5 001~10 000步的包括C,D两类别共计9人;女性好友走路步数在5 001~10 000步共有16人.
用样本数据估计杨老师的微信朋友圈内参与“微信运动”的600名好友中,每天走路步数在5 001~10 000步的人数为600×=375.
(2)2×2列联表如下:
K2的观测值k
=-≈3.636<3.841
故没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.
(3)在男性好友中“卫健型”与“进步型”的人数比例为7∶3,则选取10人,恰好选取“卫健型”7人 “进步型”3人;在女性好友中“卫健型”与“进步型”的人数比例为2∶3,选取5人,
恰好选取“卫健型”2人 “进步型”3人.
“|x-y|>1”包含“x=3 y=1” “x=3 y=0” “x=2 y=0” “x=0 y=2”.
P(x=3,y=1)=,
P(x=3,y=0)=,
P(x=2,y=0)=,
P(x=0,y=2)=.
故P(|x-y|>1)=.
20.(12分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若kAC·kBD=-.
①求的最值;
②求证:四边形ABCD的面积为定值.
解(1)由题意,知e==1,
又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,
∴椭圆的标准方程为=1.
(2)设直线AB的方程为y=kx+m,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
Δ= 4km 2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,(*)
.
∵kOA·kOB=-=-,
∴=-.
y1y2=-x1x2=--=--,
又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2·-+km·-+m2=-,
∴---,
∴-(m2-4)=m2-8k2,
∴4k2+2=m2.
①=x1x2+y1y2=----=2-,
∴-2=2-4≤<2.
当k=0(此时m2=2满足(*)式),即直线AB平行于x轴时,取最小值为-2.
又直线AB的斜率不存在时,=2,
∴的最大值为2.
②证明:设原点到直线AB的距离为d,
则S△AOB=|AB|·d=·|x2-x1|·
=||-
=||---
=||--
=2-=2,
=4S△AOB=8,
∴
四边形
即四边形ABCD的面积为定值.
21.(12分)设函数f(x)=aex(x+1)(其中e=2.718 28… g x =x2+bx+2 已知它们在x=0处有相同的切线.
(1)求函数f(x),g(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>-3)上的最小值;
(3)若对∀x≥-2 kf x ≥g x 恒成立,求实数k的取值范围.
解(1)f'(x)=aex(x+2),g'(x)=2x+b.
由题意,两函数在x=0处有相同的切线.
∴f'(0)=2a,g'(0)=b,
∴2a=b,f(0)=a=g(0)=2,∴a=2,b=4,
∴f(x)=2ex(x+1),g(x)=x2+4x+2.
(2)f'(x)=2ex(x+2),由f'(x)>0得x>-2,
由f'(x)<0得x<-2,
∴f(x)在区间(-2 +∞ 内单调递增,在区间(-∞ -2)内单调递减.
∵t>-3,∴t+1>-2.
①当-3<t<-2时,f(x)在区间[t,-2]上单调递减,在区间[-2,t+1]上单调递增, ∴f(x)min=f(-2)=-2e-2.
②当t≥-2时,f(x)在区间[t,t+1]上单调递增,
∴f(x)min=f(t)=2et(t+1);
∴f(x)min=----
-.
(3)令F(x)=kf(x)-g(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,
由题意当x≥-2 F x min≥0.
∵∀x≥-2 kf x ≥g x 恒成立,
∴F(0)=2k-2≥0
∴k≥1.
F'(x)=2kex(x+1)+2kex-2x-4=2(x+2)(kex-1).
∵x≥-2,由F'(x)>0,得ex>,
∴x>ln;由F'(x)<0,得x<ln.
∴F(x)在区间-∞ 上单调递减,在区间∞内单调递增.
①当ln<-2,即k>e2时,F(x)在区间[-2 +∞ 内单调递增,F(x)min=F(-2)=-2ke-2+2=(e2-k)<0,不满足F x min≥0.
②当ln=-2,即k=e2时,由①知,F(x)min=F(-2)=(e2-k)=0,满足F x min≥0.
③当ln>-2,即1≤k<e2时,F(x)在区间-上单调递减,在区间∞内单调递增. F(x)min=F=ln k(2-ln k)>0,满足F x min≥0.
综上所述,满足题意的k的取值范围为[1,e2].
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
[选修4—4:坐标系与参数方程]
22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,过点P作倾斜角为α的直线l与曲线C:(x-1)2+(y-2)2=1相交于不同的两点M,N.
(1)写出直线l的参数方程与曲线C的极坐标方程;
(2)求
||||
的取值范围.
解(1)由题意,直线l的参数方程为(t为参数).
由(x-1)2+(y-2)2=1,得x2+y2-2x-4y+4=0,
将y=ρsin θ x=ρcos θ ρ2=x2+y2代入得 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.
(2)把直线l的参数方程
(t为参数)代入x2+y2-2x-4y+4=0,
得t2+ 2cos α-sin α t+=0,
由Δ>0 得|2cos α-sin α|>1.
故
||||||||||
||
=4|2cos α-sin α|∈(4,4].
[选修4—5:不等式选讲]
23.(10分)(全国Ⅲ,理23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)当x∈[0 +∞ 时 f x ≤ax+b 求a+b的最小值.
解(1)f(x)=--
-
.
y=f(x)的图象如图所示.
(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时 f x ≤ax+b在[0 +∞ 成立,因此a+b的最小值为5.。