[学习]概率论与数理统计课件第3章

解 PX 1,Y 3 f (x, y)dxdy
D
1
dx
3 1 (6 x y)dy
0 28
11 08
(6 y
xy
1 2
y2)
3 2
dx
3 8
4 2
12
续解 ……….
PX Y 3 f (x, y)dxdy
D
1
dx
3x 1 (6 x y)dy
0 28
1 1 (6 y 08
xy
pij
...
... 。。。 ... 。。。 ... 。。。 ... 。。。 ... 。。。
。。。
...
性质
0 pij 1
pij 1
i1 j1
例 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任
取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被 取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球
上标有的数字， 求(X ,Y ) 的联合分布列.
解 ( X ,Y ) 的可能取值为(1， 2)， (2， 1)， (2， 2).
Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3) × (2/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3) ×(1/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}= (2/3) ×(1/2)＝1/3，
1 2
y2)
3 x 2
dx
5 24
x+y=3
思考 已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为
f
(x,
y)
1 8
(6
x
y),
0 x 2, 2 y 4
0,
其他
求概率 PX Y 4 X 1
解答 PX Y 4 X 1
4
PX Y 4, X 12Biblioteka PX 12dx
4x 1 (6 x y)dy
例2 设（X, Y）的联合密度为
f
(x,
y)
kxy
0
0 x 1,1 y 3 其它
Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。
不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性 质， 更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约 关系。因此， 我们将二者作为一个整体来进行研究， 记为(X, Y),称为二维随机变（向）量。
二维随机变量
定义 设X、Y 为定义在同一样本空间Ω上的随机变
量，则称向量（ X，Y ）为Ω上的一个二维随机变
二维离散型随机变量
定义 若二维 随机变量 （X，Y）的所有可能取
值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型 随机变量。
研究问题
如何反映（X，Y）的取值规律呢？
联想一维离散型随机变量的分布律。
（X，Y）的联合概率分布（分布律）
表达式形式
P X xi ,Y yj pij
表格形式（常见形式）
或解
4
P{0 X 4, 0 Y 1}
F(4,1) F(0,0) F(4,0) F(0,1)
F(4,1) (1 e8 )(1 e3) 0.95
(4) P{X Y} f (x, y)dxdy y x 0, y 0
D
y x
f (x, y)dxdy
x y
0
y 0
量。
二维随机变量(X, Y)的取值可看作平面上的点
A （x，y）
二维随机变量的联合分布函数
定义 若（X，Y）是随机变量， y
对于任意的实数x,y.
(x,y)
F(x, y) P{X x,Y y}
x
称为二维随机变量的联合分布函数
性质
(1) F(x, y)分别关于x和y单调不减
(2) 0 F(x, y) 1 (3) F(, y) 0
第三章 二维随机变量及其分布
二维随机变量及其联合分布 边缘分布与独立性 两个随机变量的函数的分布
前面我们讨论的是随机实验中单独的 一个随机变量，又称为一维随机变量；然而 在许多实际问题中，常常需要同时研究一个 试验中的两个甚至更多个随机变量。
例如 E：抽样调查15-18岁青少年的身高 X与体重
XY
x1
x2
... 。。。
xi
y y 1
2
。。。
p p 11
12 。。。...
p p 21
22 。。。...
。。。...
pi1
... 。。。
pi 2
。。。... ... 。。。
... 。。。
... 。。。
。。。... 。。。...
(i 1,2,L ; j 1,2,L )
yj p1 j
p2 j
。。。
...
6e(2
x3
y
)dx
dy
0
x
3e3y[1 e2 y ]dy
0
3e3ydy 3e5ydy 1 3 2
0
0
55
例 已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为
f
(x,
y)
1 8
(6
x
y),
0 x 2, 2 y 4
0,
其他
求概率 (1)PX 1,Y 3;(2)PX Y 3
f (x, y)dxdy
ke(2x3y)dxdy 00
k e2xdx e3ydy
0
0
k[
1 2
e2 x
]0[
1 3
e3
y
]0
k1 1 6
所以 k 6
xy
(2) F(x, y) f (u,v)dudv
当 x 0,或y 0 时， F(x, y) 0
当 x 0,且y 0 时，
D
x
随机事件的概率=曲顶柱体的体积
Dy
例 设二维随机变量 (X ,Y) 的概率密度为
ke(2x3y) x 0, y 0
f (x, y)
0
其它
(1) 确定常数 k；
(2) 求 ( X ,Y ) 的分布函；数.；
(3)求 P{0 X 4, 0 Y 1}
(4) 求 P{X Y}
解 (1)
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…
…
…
…
…
…
p.j
p.1
p.2 p.3
…
关于X的边缘分布 关于Y的边缘分布
pi P{X xi} pij
j
p j P{Y y j} pij
i
二维离散型R.v.的边缘分布
边缘分布 marginal distribution
二维随机变量 (X ,Y ) ,是两个随机变量视为 一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布 函数来描述其取值规律。
F(x, y) P{X x,Y y}
问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个 一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？
——边缘分布问题
2
2
二维连续型随机变量的边缘分布
关于 X的边缘分布函数为
x
FX
(x)
F
(x,
)
f
(u, v)dv du
关于X的边缘概率密度为 fX (x) f (x, y)dy
关于 Y 的边缘分布函数为
y
FY
(x)
F (,
y)
f
(u,
v)du dv
关于Y的边缘概率密度为
fY ( y)
f (x, y)dx
边缘分布 marginal distribution
设二维随机变量 (X ,Y ) 的分布函数为 F(x, y) ，
FX (x) P{X x} P{X x,Y } F (x, ) FY ( y) P{Y y} P{X ,Y y} F (, y)
依次称为二维随机变量 (X ,Y )关于 X 和关于 Y
F (x, y) x y 6e2x3ydudv (1 e2x )(1 e3y ) 00
(1 e2x )(1 e3y ), (x 0, y 0)
所以， F(x, y)
0
其他
(3) P{0 X 4, 0 Y 1}
1 4 6e(2x3y)dxdy 00 1
(1 e8 )(1 e3) 0.95
均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形
区域。求（1）分布函数；（2）P Y
1
2
解 （X,Y）的密度函数为
f
(
x,
y)
4,
( 1 x 0, 0 y 2x 1) 2
0, 其他
y=2x+1
分布函数为 F(x, y) PX x,Y y
（1）当 x 1 时，
2
-1/2
x
1 2
2
（3）当 x 0 时，
y 0时，f (x, y) 0,
y=2x+1
所以，F(x, y) 0
0 y 1时，
-1/2
F(x, y) 4dxdy 梯形
4S梯形
2 y 1
y 2
y 1时，
F(x, y) 4dxdy 4S三角形 1 三角形
所以，所求的分布函数为
3 4
y=2x+1 0.5
-1/2
二维正态分布
N
(1
,
2
,12
,
2 2
,
)
设二维随机变量 (X ,Y) 的概率密度为
1 f (x, y)
2 1 2 1 2
exp
1
2(1
2
)
[
(
x
1
2 1
)2
2
(x
1 )( y 1 2
2 )
(
y
2 )2
2 2
]
( x , y )
其中 1, 2 ,1, 2 , 均为参数 1 0,2 0,1 1 则称 (X ,Y) 服从参数为 1, 2 ,1, 2 , 的二维正态分布
1/3
-1
0
1/3 1/12
0
1/6
0
0
2 5/12 0
0
求关于X、Y的边缘分布
解 关于X的边缘分布为 （X，Y）的联合分布列
X -1 0 2
概率 5/1 1/6 5/1
2
2
关于Y的边缘分布
Y
X
0
-1 0 0 1/6
1 1/3
1/3 1/12 00
Y 0 1 1/3 2 5/12 0 0
概率 7/1 1/3 1/1
Ｙ Ｘ １
２
１
２
０
1/3
1/3
1/3
例 见书P69，习题1 解 (X ,Y ) 的可能取值为
(0， 0)， (-1， 1)， (-1， 1/3)，（2，0）
P(X ,Y ) (0, 0) 1 , P( X ,Y ) (1,1) 1
6
3
P(X ,Y ) (1,1 3) 1 , P(X ,Y ) (2, 0) 5
的边缘分布函数．
FX (x) F(x, ) FY ( y) F(, y)
二维离散型R.v.的边缘分布
如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
P{X xi ,Y y j} pij i, j 1, 2,3,L
即
Y
X
y1 y2 y3 …
x1 p11 p12 p13 … x2 p21 p22 p23 … x3 p31 p32 p33 … ……………
12
12
（X，Y）的 联合分布律为
y X
0 -1 2
0
1/6 0
5/12
1
0 1/3
0
1/3
0 1/12
0
二维连续型随机变量的联合概率密度
定义 若存在非负函数 f（x，y），使对任意
实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数 可表示成如下形式
x
y
F (x, y)
f (u, v)dudv
1 2 8
7 48 7
12
2
dx
4 1 (6 x y)dy
1 28
3 8 18
二维均匀分布
设二维随机变量 (X ,Y) 的概率密度为
f
(x,
y)
1 A
,
0,
(x, y) D 其它
其中 D 是平面上的有界区域，其面积为 A ，则称 (X ,Y) 在 D上服从均匀分布.
思考 已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的
则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称
为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.
联合概率密度函数的性质
非负性 f (x, y) 0
.
f (x, y)dxdy 1
F(,) 1
. 2F(x, y) f (x, y) xy
f (x, y)
几何解释
P((x, y) D) f (x, y)d
F(x, ) 0
F(, ) 0 F(, ) 1
联合分布函数表示矩形域概率
P（x1 X x2，y1 Y y2）
y2 y1
x1
F(x2,y2) -F(x2,y1)
-F(x1,y2)
x2
+F(x1,y1)
P（x1 X x2，y1 Y y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)
F(x, y) P 0
（2）当 1 x 0 时， 2
y 0时，f (x, y) 0,
y=2x+1
所以，F(x, y) 0
0 y 2x 1时，
-1/2
F ( x,
y)
4dxdy
梯形
4S梯形
2y
2x
1
y 2
y 2x 1时，
F(x, y) 4dxdy 三角形
4S三角形
4
关于X的边缘分布
X
x1
x2
x3
…
概率
P1.
P2.
P3.
…
pi P{X xi} pij
关于Y的边缘分布
j
第i行之和
Y
y1
y2
y3
…
概率
P.1
P.2
P.3
…
p j P{Y y j} pij
i
第j列之和
二维离散型R.v.的边缘分布
例1 设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
Y
X
0
1
0,
(x 1 或y 0) 2
2
y
2x
y 2
1 ,
( 1 x 0, 0 y 2x 1) 2
F
(x,
y)
4
x
1 2
2
,
( 1 x 0, 2x 1 y) 2
2
y
1
y 2
,
(0 x, 0 y 1)
1,
(x 0, y 1)
P Y
1
2
4dxdy 梯形