《复变函数论》教学大纲

《复变函数论》教学大纲
一、课程基本信息
中文名称：复变函数论
英文名称：Theory of Functions of Complex Variable
课程编号：06109B
课程类别：专业基础课
总学时数：48(理论42，实践6)
学分：3
适用专业：数学与应用数学专业
开课系部：应用数学系
先修课程：数学分析
二、课程性质与教学目的
复变函数是数学、物理及电子类各专业必修的一门基础课，其理论随着它的应用领域不断扩大而发展成为一门庞大的数学分支。

一方面讲述复变函数的基本理论与方法，另一方面渗透复分析领域内的相关内容。

教学目的使学生掌握复变函数的基本内容和方法，为进一步学习复分析，从事工程和电子应用、科研及其它工作打好坚实基础。

三、课程教学基本要求
第一部分复数与复变函数
1、复数及其几何表示
内容：复数域、复平面、复数的模与辐角。

要求：明确幅角的概念，会用模与幅角的性质解决一些集合问题。

2、复平面上的点集
内容：基本概念、区域。

要求：了解其基本概念，明确有关概念。

3、复变函数
内容：复变函数概念、极限与连续。

要求：理解复变函数概念、极限、连续性及其性质。

4、复球面与无穷远点
内容：复球面、扩充复平面。

要求：掌握扩充复平面上的几个基本概念。

第二部分解析函数
1、解析函数概念及C_R条件。

内容：复变函数的导数、复变函数、C_R条件。

要求：深刻理解解析函数概念，掌握C_R条件，会用其判断函数的解析性。

2、初等解析函数
内容：指数函数、三角函数与双曲函数。

要求：熟悉指数函数、三角函数与双曲函数及其映照性质。

3、初等多值函数
内容：根式函数、对数函数、幂函数与反三角函数。

要求：了解初等多值函数。

能将初等多值函数分解为若干个单值函数。

第三部分复变函数的积分
1、复变函数积分的概念及其性质
内容：复变函数积分的定义、复变函数积分的计算、复变函数积分的性质。

要求：理解并掌握复变函数积分的概念及其性质。

2、柯西积分定理
内容：柯西积分定理、不定积分、柯西积分定理的推广。

要求：熟练掌握柯西积分定理，并能灵活应用。

3、柯西积分公式及其推论
内容：柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、摩勒拉定理。

要求：灵活运用柯西积分公式，深刻理解解析函数的无穷可微性，掌握摩勒拉定理。

4、解析函数与调和函数的关系
内容：解析函数与调和函数的关系。

要求：明确解析函数与调和函数的关系。

第四部分解析函数的幂级数表示法
1、复级数的基本性质
内容：复数项级数、一致收敛的复函数项级数、解析函数项级数。

要求：掌握复函数项级数的基本概念与性质，能将解析函数表示为函数项级数。

2、幂级数
内容：幂级数的敛散性、收敛半径R的求法、幂级数和的解析性判断。

要求：掌握幂级数的收敛半径求法及其性质，判断幂级数和的解析性。

3、解析函数的泰勒（Taylor ）展式
内容：泰勒定理、幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况、一些初等函数的泰勒展式 要求:掌握解析函数的泰勒展式，会求初等函数的泰勒展式。

4、解析函数零点的孤立性及唯一性定理
内容：解析函数零点的孤立性、唯一性原理、最大模原理 要求：明确解析函数零点的孤立性及唯一性定理
第五部分 解析函数的洛朗展式与孤立奇点
1、解析函数的洛朗展式
内容：双边幂级数、解析函数的洛朗展式、洛朗级数与泰勒级数的关系、解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗 展式
要求：会求解析函数的洛朗展式，理解洛朗展式和泰勒展式的关系。

2、解析函数的孤立奇点
内容：孤立奇点的三种类型、可去奇点、施瓦茨（Schwarz ）引理、极点、本性奇点、皮卡（Picard ）定理。

要求：切实掌握孤立奇点的三种类型及其判断方法和性质，了解皮卡（Picard ）定理。

3、解析函数在无穷远点的性质 内容：解析函数在无穷远点的性质。

要求：了解解析函数在无穷远点的性质，会判断无穷远点孤立奇点类型。

4、整函数与亚纯函数的概念 内容：整函数、亚纯函数
要求：了解整函数与亚纯函数的概念及其性质
第六部分 留数理论及其应用
1、留数
内容：留数的定义及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的留数
要求：掌握留数定理及其留数求法，理解无穷远点留数和有限点留数的关系，理解留
数和复变函数积分的关系。

2、用留数定理计算实积分
内容：计算
()θθθπ
d R ⎰
20
sin ,cos 型积分、计算()()⎰
∞
+∞-dx x Q x P 型积分、计算()()⎰∞+∞-dx e x Q x P imx
型积分、积分路径上有奇点的积分、应用多值函数的积分。

要求：会用用留数定理计算实积分，了解积分路径上有奇点的积分和应用多值函数的积分。

3、辐角原理及其应用
内容：对数留数、辐角原理、儒歇定理。

要求：理解辐角原理，掌握儒歇定理。

第七部分共形映射
1、解析变换的特性
内容：解析变换的保域性、解析变换的保角性---导数的几何意义、单叶解析变换的共形性。

要求：掌握解析变换的特性，深刻理解导数的几何意义，明确共形映射的概念。

2、分式线性变换
内容：分式线性变换及其分解、分式线性变换的共形性、分式线性变换的保交比性。

要求：掌握分式线性变换及其性质。

3、某些初等函数所构成的共形映射
内容：幂函数与根式函数、指数函数与对数函数、由圆弧构成的两角形区域的共形映射、儒可夫斯基函数的单叶性区域
要求：深刻理解某些初等函数所构成的共形映射。

4、关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理
内容：黎曼存在定理、边界对应定理。

要求：了解黎曼存在定理和边界对应定理。

第八部分解析延拓
1、解析延拓的概念与幂级数延拓
内容：解析延拓的概念、解析延拓的幂级数方法
要求：了解解析开拓的概念和一般原理。

2、透弧解析延拓、对称原理
内容：透弧直接解析延拓、黎曼--施瓦茨对称原理。

要求：了解透弧解析延拓，了解对称原理。

3、完全解析函数及黎曼面的概念
内容：完全解析函数、单值性定理、黎曼面的概念。

要求：了解完全解析函数及黎曼面的概念。

第九部分调和函数
1、平均值定理与极值原理
内容：平均值定理、极值原理。

要求：了解平均值定理与极值原理。

2、泊松积分公式与狄利克雷问题
内容：泊松积分公式、狄利克雷问题、单位圆内狄利克雷问题的解、上半平面内狄利克雷问题的解。

要求：了解泊松积分公式与狄利克雷问题。

四、有关教学环节的要求
1、以课堂教学与多媒体教学为主，自学为辅，教学形式以理论教学为主。

2、解题练习时数学课教学的一个重要环节，每次课布置作业一次。

3、组织学生2-3次课外实践活动。

培养学生科研意识。

考核方式：考试；采用闭卷考试形式进行，考试内容覆盖考试大纲80%以上内容，难易程度适中，客观题占40%左右，主观题占60%左右。

题型要求灵活，具有一定的应用性，注重实践性题目逐年增加，比重要逐步增加，提高学生创新和实践的能力。

五、学时分配
六、使用教材与主要教学参考书
1．钟玉泉编．复变函数论．北京：高等教育出版社,2004.
２．余家荣编．复变函数．北京：高等教育出版社,2008.
七、大纲编写依据和说明
根据2012年4月修订的《数学与应用数学专业培养方案》的要求，以及我院地方性、教学型、应用型的特色，并参考了其他国内同类高校相同专业的课程设置，制定了该课程的教学大纲.
执笔教师:刘俊俏教研室主任：常敏慧教学系（部）主任：姚喜妍。