苏州市中考《坐标系中三角形周长最小值问题》复习指导

利“刃”在手亿“折”成“直”
—例析坐标系中三角形周长最小值问题
在近几年的各地中考中，
与线段相关的最值问题频频出现，
已然成为一道亮丽的风景线.
而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考
.
1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点例1 (2015年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形
OABC 的两边在坐标轴上，
以点C 为顶点的抛物线经过点A ，
点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF BC 于点F .点D 、E 的坐标分别为(0,6),(-4,0)，连接,,PD PE DE .是否存在点P ，
使
PDE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由
.
分析存在.理由:易求抛物线的解析式为
2
188
y
x .设
2
1(,
8)8
P m m
(8
0)m ，则
2
2
2
2
2
2
11118(8),()6(
8)
28
8
8
8
PF m m PD m m
m
，
故
2PD PF , PDE 的周长=2DE EP PD DE EP PF .
如图2，过E 点作EG
BC 于点G .当,,E P F 三点共线，即点P 为EG 与抛物线的交
点时，
EP PF 的值最小，此时2
14,(4)
868P
E
P
x x y ，所以PDE 周长
最小时点
P 的坐标为(-4,6).
点评本例三角形的三个顶点中，点P 为动点，点,D E 均为定点.由于DE 的长为定值，欲使
PDE 的周长最小，只需满足
PD
PE 的值最小即可.进而利用“点P 运动的过程中，
PD 与PF 的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC 上一动点F 与直线外
一定点
E 的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线
段最短”确定点
P 的位置.
例2 (2012年XX 省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线2
23
y
x
x 与x 轴交于
A 、
B 两点，与y 轴交于点
C ，点
D 是该抛物线的顶点.请在直线AC 上找一点
M ，使BDM 的周长最小，求出M 点的坐标.
分析易知(1,0),(3,0),(0,3),(1,4)A B C D ，故2
2
4,10AB
AC
OA
OC
，直
线
AC 的解析式为33y
x .
如图4，作点
B 关于直线A
C 的对称点B ，连接B
D ,交AC 于点M ，则BDM 即为
符合题意的周长最小的三角形.(证明如下:不妨在直线
AC 上取异于点M 的任一点M ，连
接,,B M DM BM .由对称性可知:,BM
B M BM B M ，于是
BDM 的周长=
B M ,DM BD BDM 的周长=
B M DM BD .而在
B DM
中，
B M
DM B D ，即B M DM B M DM ，所以BDM 的周长大于BDM 的
周长.)
若
BB 交AC 于点E ，则
90
,22cos 2cos ABE
CAO
ACO BB
BE
AB ABE
AB ACO
31224
10
1010
5
.
过B 点作B F x 轴于点F ，则3621
33cos 3
5
5
B x BF BB ABE ，
3112sin sin 101010105B y B F BB ABE BB ACO ，故2112
(,)55
B ,
易求直线B D 的解析式为448
1313
y x .
联立解方程组
4
4813
1333
y x
y
x ，得
9
3513235
x y
，所以
M 点的坐标为9132(,)3535
.
点评本例三角形的三个顶点中，
点
M 为动点，点B 、D 均为定点，且均位于动点M
所在直线
AC 的同一侧.通过寻找定点B 关于动点M 所在直线AC 的对称点B ,将问题转
化为“求定直线
AC 上一动点M 与直线异侧两定点
B ,B 的距离和的最小值”，从而可利用“三角形任意两边之和大于第三边”加似解决(当
B 、M 、D 三点共线，即点M 为直线B D
与直线
AC 的交点时，DM BM 的值最小，此时
BDM 的周长最小).
2.三角形的三个顶点中有两个顶点是动点
例3 (2013年湖南张家界，有改动)如图5，抛物线2
(0)y ax
bx c a 过点(0,1)C ，
顶点为(2,3)Q ，点
D 在x 轴正半轴上，且OD OC .将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转
45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上
的动点，问:在
P 点和F 点移动过程中，
PCF 的周长是否存在最小值
?若存在，求出这个
最小值;若不存在，请说明理由
.
分析存在.理由:如图6，分别作点
C 关于直线,QE x 轴的对称点,C C ，连接C C ，
交
OD 于点F ，交QE 于点P ，则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，此时
PCF
的周长等于线段
C C 的长.(证明如下:不妨在线段O
D 上取异于点F 的任一点F ，在线段Q
E 上取异于点
P 的任一点P ，连接,,,,CF CP F P F C P C .由轴对称的性质可知
P CF 的周长=
F C
F P
P C ，而F C
F P P C 的值为折线段C
P
F C 的长，由两点之间线段最短可知
F C
F P
P C
C C ，即P CF 的
周长大于
PCF 的周长.)
如图6，过点Q 作QG
y 轴于点G ，过点C 作C H
y 轴于点H ，则
CGO
CHC
，可得
12
CG QG CQ CH C H CC
，即
2212
CH
C H
.所以
4,CH
C H
6C H CH
CC
.
在Rt
C HC 中，2
2
2
2
4
6
213C C
C H
C H
.
所以，在
P 点和F 点移动过程中，
PCF 的周长存在最小值，最小值为
213.
点评本例三角形的三个顶点中，
点
C 为定点，点P 、F 均为动点，且分别在定直线QE 、
QD 上，通过寻找定点C 关于两个动点所在直线的对称点
C 、C ，就得到由三条与
PCF
三边分别相等的线段组成的折线，然后借助“两点之间线段最短”化“折”成“直”
(当
C 、
P 、F 、C 四点共线，即点P 、F 分别为直线QE 、QD 与直线C C 的交点时，
PCF
的周长最小).
3.三角形的三个顶点都是动点例 4
(2015年XX 沈阳，有改动)如图7，在平面直角坐标系中，抛物线
224
233
y
x x 与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧)，与y 轴交于点A .若点P 是线段
BC 上的动点(点P 不与点B 、C 重合)，点Q 是线段AB 上的动点(点Q 不与点A 、
B 重合)点R 是线段A
C 上的动点(点R 不与点A 、C 重合)，请直接写出
PQR 周长的最
小值.
分析易求(0,2),(3,0),(1,0)A B C ，故
2
2
2
2
13,5AB OA
OB
AC OA
OC
.
如图8，过点
B 作BH A
C 于点H ，则885,sin
65565
BC OA BH BH
BAC
AC
BA
.
如图9，分别作点P 关于直线,AB AC 的对称点,P P ，连接P P ，交AB 于点Q ，
交
AC 于点R ，则PQR 是过点P 的ABC 的内接三角形中周长最小的三角形，
且
PQR
的周长等于线段
P P 的长.
若
PP 交AB 于点,D PP 交AC 于点E ，连接DE ，则
90,ADP
AEP
DP
,DP EP
EP ，故2P P
DE .
连接
AP ，取AP 的中点F ，连接EF ，则1
2
DF
EF
AP ，所以⊙F 为ADP 的外接圆，且点
E 在⊙
F 上.
延长DF 交⊙F 于点G ，连接GE ，则90,
DEG
BAC
DGE ，所以
PQR
的周长
22sin 2sin 2sin P P DE DG DGE AP BAC AO BAC
83222
65
6565
65
.
如图10，当点
P 与点O 重合时，PQR 的周长最小，最小值为
32
6565
. 点评本例三角形的三个顶点均为动点，应采取“以退为进”的策略，即:先假设
P 点的
位置已经确定(即视点P 为一定点)，容易得出结论:待求三角形周长最小时，其周长等于线
段
P P 的长，然后继续探究点
P 的位置后，发现线段
P P 长度的最小值即为点A 到x 轴
的距离.因为,
2AP AP
AP P AP
BAC ，所以AP P 为等腰三角形，且其顶角
P AP 为定值.由于本例对解答过程不作要求，也可以根据“顶角为定值的等腰三角形底
边长的最小值由腰长的最小值来确定”这一经验来判定点P 的位置.然而，对该例的思考却
不止于此，我们还可以再进一步探索BR 和,AC CQ 和AB 的位置关系.参考本例分析问题的
方法，我们可以得出这样的结论
:,,AP BR CQ 为锐角三角形
ABC 的三条高，以,,P Q R 三
个垂足为顶点的三角形即为周长最小的内接三角形证明留待读者自行完成
.
通过上述问题的探究，我们可以发现，解决此类问题通常可以采取的策略是:把已知问
题转化成容易解决的问题，
即关联我们熟知的几何基本模型，
构造一条以动点为转折点的折
线，从而为性质的运用创造条件.如:解答例1时，需分析点在运动的过程中保持不变的关系，
将问题转化为“求定直线上一动点与直线外一定点的距离的最小值”问题，然后利用“垂线
段最短”把折线化“折”成“直”
.解答例2，例3时，则需牢牢抓住图形的几何特征，将问
题转化为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离之和的最小值”问题，借助轴对称变换
使两定点与定直线的位置关系发生改变，即化“同”为“异”
，最后利用“三角形任意两边
之和大于第三边”或“两点之间线段最短”把折线化“折”成“直”.例4题目的背景看似复杂，但图形上似乎可以捕捉到上述两个几何基本模型的“影子”，认清了这一点，便能使
复杂问题简单化，迅速找到问题的突破口.在平面几何的教学中，教师要重视几何基本模型
的提炼，帮助学生深刻领悟模型的本质特征，
鼓励学生尝试从不同角度拓展模型，
并在应用
中彰显其魅力，从而促进学生解题经验的积累和思维水平的提升，真正提高学生的数学素养
和解决问题的能力
.。