最优化问题第二章 例题101123

第二章 线性规划
关于用单纯形法解线性规划：
1. 单纯形法涉及两个规则：(1)进基规则——判别数大于零，保证函数值不升；(2)退基规则——最小比值，保证新解的容许性.
2. 书面通常采用表上作业——单纯形表形式解题.
3. 单纯形法解线性规划(书面)
4. 单纯形法本质上是求解具有标准容许基且右端项非负的.典纯形表，单纯形法于是可以启动. 过程如下：
.000T T T T T
T T T
B
N
B N
B N
I N
b I N
b I
N
b c c c N c c b z σ⎡⎡⎡⎤⎤⎤⎢⎢⎢⎥⎥⎥→=⎢⎢
⎢⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎥⎥⎥---⎦⎦⎦
⎣⎣
⎣
5. 一般来说，解线性规划主要分两大步：
第一步，将线性规划化为标准形式（当线性规划为标准形式时不需要这一步）；这里所说的标准形式是指极小化问题，主约束是右端项非负的等式约束，且变量非负.
第二步，对线性规划的标准形式启动两阶段单纯形法(当线性规划的标准形式是典范线性规划时不需要第一阶段，直接进入第二阶段). 第一阶段的目的是变换出与主约束等价的G-J 方程组，第二阶段是解与原线性规划等价的标准线性规划，即解原线性规划.
6. 单纯形法的基本理论
定理2.9(最优性准则) 在标准线性规划中, 若所有变量关于容许基B 的判别数皆非正，则关于基B 的基本容许解是最优解.
定理2.11（单纯形法基本定理） 对于标准线性规划
min ;
.. , 0,T c x s t Ax b x ⎫⎪
=⎬⎪≥⎭
(1) 假设：
ⅰ）B 是容许基，关于B 的基本容许解是非退化的，即1
0b B b -=>； ⅱ）非基变量l x 的判别数0l σ>；
ⅲ）1
0l l a B a -=≤，k 是用公式（2.36）确定的一个行标；
ⅳ）用l a 替换中的k a ，而其余基向量不变，构成矩阵B '.
那么，B '是容许基，且关于B '的基本容许解的目标函数值小于关于B 的基本容许解的目标函数值.
定理2.12 在标准线性规划(1)中，假设： ⅰ）B 是容许基；
ⅱ）非基本变量l x 的判别数0>l σ；
ⅲ）1
0l l a B a -=≤.
那么线性规划(1)存在可以使目标函数值任意减小的容许解.
推论2.14 典范线性规划或者存在最优基本容许解，或者解无界. 7. 注意事项. 在例题中说明.
例 求解线性规划
13 123123min 5 21;.. 62, 21, 0,1,2,3.
j x x s t x x x x x x x j +-+≥++≥≥=
解 引入变量45,x x ，将其化为标准形
13 12341235min 5 21;
.. 6 2, 2 1, 0,1,
,5
j x x s t x x x x x x x x x j +-+-=++-=≥=
(** 这里所说线性规划的标准形是指，求极小问题、右端项非负、变量非负)
第一阶段 增加人工变量76,x x ，解辅助LP 问题
671234612357min ;
.. 6 2, 2 1, 0,1,
,7.
x x s t x x x x x x x x x x x j +-+-+=++-+=≥=
7
x 1 1 2 0 -1 0 1 1 c -
0 0 0 0 0 -1 -1 6
1x x 0 -2 1 1 2 0 -1 0 1 x
第一阶段结束，得到辅助问题的最优值为0，最优解11,0,,0,0,0,024⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，从而得到与原
问题等价的标准线性规划的一个基本可行解0
11,0,,0,024T
x ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
.
(**辅助LP 问题是一个总有最优解的典范线性规划问题，即不会发生解无界. 若最优值
大于零，则表明原问题无解；若最优值等于零，则最终一定会得到与标准形式的主约束
变量时，以让人工变量退基为第一选择，其次考虑计算的难易程度.) (**选判别数小于零的变量进基，可保证函数值不升；选比值最小元素所对应的变量退基，可保证新解的容许性.)
第二阶段 3x 41从而得到原问题的最优解*11,0,24x ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，其最优值为431.
(**第二阶段求解过程中，若存在某判别数0>l σ，但0l a ≤，则原问题解无界；否则，
若0l σ∀>，但0l a ≤不成立，则原问题一定有最优解.)。