北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测(含答案解析)(2)

一、选择题
1．已知函数2
2(1),10
()1,01x x f x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩
则11
()d f x x -=⎰（ ） A ．
38
12
π- B ．
4312
π
+ C ．
44
π
+ D ．
4312
π
-+ 2．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）
A ．1
B ．
23
C ．
43
D ．2
3．已知函数()f x 的图像如图所示， ()f x '就()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A ．()()()()224224f f f f <-'<'
B ．()()()()242242f f f f '<<-'
C ．()()()()222442f f f f '<<-'
D ．()()()()422422f f f f '<'-< 4．已知1
(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角
形的面积为 A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2 5．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3
230
S x dx =⎰
，则公比q 的值是（ ）
A ．1
B ．12
-
C ．1或1
2
-
D ．1-或12
-
6．曲线22,y x y x ==所围成图形的面积是（ ） A ．1
B ．
13
C ．
12
D ．
23
7．已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）
A ．
25
π B ．
43
C ．
32
D ．
2
π 8．已知40
2
cos 2d t x x π
=⎰
，执行下面的程序框图，如果输入的,2a t b t ==，那么输出的
n 的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9．曲线2y x 与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）
A ．
16 B ．
13
C ．
12
D ．
56
10．
()2
11x dx --=⎰
（ ）
A ．1
B ．
4
π C ．
2
π D ．π
11．
20
sin xdx π
=⎰
（ ）
A ．4
B ．2
C ．-2
D ．0
12．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′π()6，则f π()3-与f π
()3
的大小关系是( ) A ．f π()3-
＝f π
()3
B ．f π()3-
＞f π
()3 C ．f π()3-
＜f π
()3
D ．不确定
二、填空题
13．定积分2
1
1
dx x
⎰
的值等于________. 14．计算
(
)
2
20
4(2)x x dx ---⎰=_____．
15．由曲线x y e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于________． 16．曲线y x =
与直线21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ____．
17．已知函数()()()22
ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪
=⎨--+<⎪⎩
，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是___________．
18．定积分2
2
1
1x dx x +=⎰ __________.
19．定积分1
2
(1)x x dx --=⎰
______________.
20．曲线21y x =-与直线2,0x y ==所围成的区域的面积为_______________．
三、解答题
21．设点P 在曲线2y
x 上，从原点向(2,4)A 移动，如果直线OP ，曲线2y x 及直线
2x =所围成的两个阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，如图所示.
（1）当1
2S S 时，求点P 的坐标；
（2）当12S S +有最小值时，求点P 的坐标.
22．已知函数()22()x f x e x x R =-+∈． （1）求()f x 的最小值；
（2）求证：x ＞0时，221x e x x >-+． 23．设函数()x x f x e e -=- （1）证明：'()2f x ≥；
（2）若对任意[0,)x ∈+∞都有21(22)f x x e e ---<-，求x 的取值范围. 24．已知()x
kx b
f x e +=
． （Ⅰ）若()f x 在0x =处的切线方程为1y x =+，求k 与b 的值；
（Ⅱ）求
1
x x
dx e ⎰． 25．已知()[](]22122f x 1x 24x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，，，，，求k 的值，使()3
k
40
f x dx 3=⎰. 26．已知()ln f x x x mx =+，2()3
g x x ax =-+-
（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；
（2）若当0m =时，对任意(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据积分的性质将所求积分化为(
)0
2
1
1x dx -++⎰
⎰，根据微积分基本定理和定积
分的求法可求得结果. 【详解】
()
(
)
2
2
321
1
00011112100101111333
x dx x x dx x x x --+=++=++=++-++=---⎰⎰
，
0⎰
表示以原点为圆心，1为半径的圆在第一象限中的部分的面积，
4
π
∴=
⎰，
()(
)1
21
114313412
f x dx x dx ππ--+∴=++=+=⎰⎰
⎰. 故选：B . 【点睛】
本题考查积分的求解问题，涉及到积分的性质、微积分基本定理和定积分的求解等知识，属于基础题.
2．D
解析：D 【解析】
由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是
1
2
2
20
1
(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰
3132
01
11281()|()|2133333
x x x x -+-=+--+ 3．A
解析：A
【解析】解：观察所给的函数图象可知： ()()()()42'2'442
f f f f -<<- ，
整理可得： ()()()()224224f f f f <-'<' . 本题选择A 选项.
4．A
解析：A 【解析】
试题分析：由1(1)1x f x x e ++=-+知()2x f x x e =-+，则()1(0)2x f x e f ''=+⇒=，而(0)1f =-，即切点坐标为
()
0,1-，切线斜率(0=2k f '=）
，则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-，切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
和()0,1-，则
切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224
S =⋅⋅-= 考点：函数在某点处的切线
5．C
解析：C 【分析】
先由微积分基本定理得到327S =，再由等比数列的求和公式以及通项公式，即可求出结果. 【详解】
233123331
33|2727003
S x dx x a a a =⎰=⋅=∴++=，，
即333227a a a q q +
+=，解得1q =或1-2
q =． 【点睛】
本题主要考查定积分的就算，以及等比数列的公比，熟记微积分基本定理，以及等比数列的通项公式及前n 项和公式即可，属于常考题型.
6．B
解析：B 【分析】
由题意，可作出两个函数y x =与2y
x 的图象，先求出两函数图象交点A 的坐标，根
据图象确定出被积函数2 x x -与积分区间[0，1]，计算出定积分的值即可. 【详解】 作出如图的图象
联立22 y x y x ⎧=⎨=⎩
解得0 0x y =⎧⎨=⎩或1
1x y =⎧⎨=⎩，即点()11A ，， 所求面积为(
)
1
3
2312
00
212113
3333S x x dx x x ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰，
故选B. 【点睛】
本题考点是定积分在求面积中的应用，考查了作图的能力及利用积分求面积，解题的关键是确定出被积函数与积分区间，熟练掌握积分的运算.
7．B
解析：B 【解析】
设()()()11,0f x a x x a =-+<，又点()0,1在函数()f x 的图象上，则
()21,1a f x x =-∴=-，由定积分几何意义，围成图形的面积为()
1
2311
1
141|33S x dx x x --⎛
⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选B. 8．B
解析：B 【解析】
由题意得4
40
2cos2d sin 2|sin 12
t x x x π
π
π====⎰
．
所以输入的1,2a b ==． 执行如图所示的程序，可得：
①3,5,5,2a b S n ====，不满足条件，继续运行； ②8,13,18,3a b S n ====，不满足条件，继续运行；
③21,33,51,4a b S n ====，满足条件，停止运行，输出4．选B ．
9．A
解析：A 【解析】
曲线2y x =与直线y x =的交点坐标为()()0,0,1,1 ，由定积分的几何意义可得曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为
(
)
1
22310
1
11|2
36x x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ ，故选A. 10．B
解析：B 【分析】
令21(1),(0)y x y =--≥，它表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的上半圆，再利用定积分的几何意义求解即可. 【详解】
令21(1),0y x y =--∴≥， 所以22(1)1x y -+=，(0)y ≥，
它表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的上半圆，如图所示，
()2
11x dx --⎰
表示由0,10x x y ===，和半圆围成的曲边梯形的面积，即14
个圆的面
积. 由题得
14
个圆的面积为2
11=44ππ⨯⨯.
由定积分的几何意义得()1
2
11x dx --=
⎰
4
π. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查定积分的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．D
解析：D 【分析】
根据积分公式直接计算即可. 【详解】
2200
sin cos |cos 2cos0110xdx x π
π
π=-=-+=-+=⎰
.
故选：D. 【点睛】
本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，属于基础题.
12．C
解析：C 【解析】
依题意得f′(x)＝－sin x ＋2f′π
()6 ，所以f′π()6＝－sin π()6＋2f′π()6，f′π()6
＝，f′(x)＝－sin x ＋1，因为当x ∈ππ(,)22-时，f′(x)＞0，所以f(x)＝cos x ＋x 在ππ
(,)22
-上是增函数，所以f π3⎛⎫-
⎪⎝⎭＜f π3⎛⎫
⎪⎝⎭
,选C. 二、填空题
13．ln2【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可【详解】故答案为：ln2【点睛】本题考查了定积分的计算关键是求出原函数属于基础题
解析：ln 2
【分析】
直接根据定积分的计算法则计算即可． 【详解】
2
211
1|2dx lnx ln x
==⎰
， 故答案为：ln2． 【点睛】
本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．
14．【分析】根据定积分的几何意义求得由定积分的计算公式求得再根据定积
分的性质即可求解【详解】由定积分的性质可得根据定积分的几何意义可知表示的面积即半径为的一个个圆的面积所以又由所以【点睛】本题主要考查了 解析：2π-
【分析】
根据定积分的几何意义求得
π=⎰
，由定积分的计算公式，求得
2
2xdx =⎰
，再根据定积分的性质，即可求解．
【详解】
由定积分的性质可得
)
2
2
x dx xdx =-⎰
⎰
⎰，
根据定积分的几何意义，可知
⎰
表示22(2)4(02,0)x y x y -+=<<≥的
面积，即半径为2的一个14个圆的面积，所以2
0124
ππ=⨯=⎰，
又由
2
22
00
1|22
xdx x ==⎰
，所以)
202x dx π=-⎰，
【点睛】
本题主要考查了定积分的计算，以及定积分的几何意义的应用，其中熟记定积分的计算和定积分的几何意义是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
15．【分析】根据定积分的几何意义得到积S ＝(ex ＋x)dx 由牛顿莱布尼茨公式可得到答案【详解】根据定积分的几何意义得到面积S ＝(ex ＋x)dx ＝故答案为【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义以及常见函数
解析：12
e -
【分析】
根据定积分的几何意义得到积S ＝10
⎰
(e x ＋x )d x ，由牛顿莱布尼茨公式可得到答案.
【详解】
根据定积分的几何意义得到，面积S ＝10
⎰
(e x ＋x )d x ＝210111|1.222
x
e x e e ⎛⎫+
=+-=- ⎪⎝
⎭ 故答案为1
.2
e - 【点睛】
这个题目考查了定积分的几何意义，以及常见函数的积分值的求法.
16．【分析】根据定积分的几何意义先联立直线与曲线方程求出积分的上下限将面积转化为定积分从而可求出所围成的图形的面积【详解】由曲线与直线构成方程组解得由直线与构成方程组解得；曲线与直线及x 轴所围成的封闭图
解析：
512
【分析】
根据定积分的几何意义，先联立直线与曲线方程，求出积分的上下限，将面积转化为定积
分
1
1
10
2
(21)xdx x dx --⎰
⎰，从而可求出所围成的图形的面积.
【详解】
由曲线y x =21y x =-构成方程组21
y x y x ⎧=⎪
⎨=-⎪⎩，解得{
11x y ==，
由直线21y x =-与0y =构成方程组，解得120
x y ⎧=
⎪⎨⎪=⎩；
∴曲线y x =21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为：
()
1
3121
201
12
2
2215(21)||33412S xdx x dx x x x =--=--=-=⎰
⎰． 故答案为
5
12
． 【点睛】
本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分
()b
a
f x dx ⎰的几何意义
是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在
x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,
所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.
17．【解析】分析：判断为偶函数运用导数判断在的单调性则转化为解不等式即可得到的范围详解：∵函数∴当时则；当时则∴即函数为偶函数当时则故函数在上为单调增函数∵∴即∴∴故答案为点睛：本题考查函数的奇偶性和单 解析：[]1,1-
【解析】
分析：判断()f x 为偶函数，运用导数判断()f x 在[0,)+∞的单调性，则
()()()21f a f a f -+≤转化为1a ≤，解不等式即可得到a 的范围．
详解：∵函数()()()2
2
1,0
1,0xln x x x f x xln x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩
∴当0x >时，则0x -<，2()ln(1)()f x x x x f x -=++=； 当0x <时，则0x ->，2()ln(1)()f x x x x f x -=--+=. ∴()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数.
当0x ≥时，2()ln(1)f x x x x =++，则()ln(1)201x
f x x x x
=+++≥+'，故函数()f x 在[0,)+∞上为单调增函数. ∵()()()21f a f a f -+≤ ∴2()2(1)f a f ≤，即()(1)f a f ≤. ∴1a ≤ ∴11a -≤≤ 故答案为[]
1,1-.
点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性的应用.在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研
究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，
即将函数值的大小转化自变量大小关系
18．【解析】分析：先化简再求定积分得解详解：由题得=所以故填点睛：本题必须要先化简再求定积分因为不化简无法找到原函数
解析：3
ln 22
+
【解析】
分析：先化简2
2
1
1x dx x +⎰，再求定积分得解. 详解：由题得2
21
1x dx x +⎰
=1
22
22111111()(ln )|(ln 22)(ln11)222x dx x x x +=+=+⨯-+⨯⎰. 所以2
2
1
1x dx x +⎰ 322ln =+. 故填
3
ln22
+. 点睛：本题必须要先化简再求定积分，因为不化简，无法找到原函数.
19．【解析】函数表示以为圆心为半径的单位圆位于第一象限的部分则由微积分基本定理可得：则： 解析：
2
4
π-
【解析】
函数()2101y x x =-≤≤表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆位于第一象限的部
分，则1
2
014
x dx π
-=
⎰，
由微积分基本定理可得：
()1
2100
11
|22x dx x ⎛
⎫-=-=- ⎪⎝⎭
⎰
，
则：
(
)
1
20
12
14
24
x x dx π
π---=
-
=⎰. 20．【解析】试题分析：故应填考点：定积分的计算公式及运用 解析：
【解析】 试题分析：
,故应填
.
考点：定积分的计算公式及运用．
三、解答题
21．(1)41639⎛⎫
⎪⎝⎭
，；(2)
(
)
22，.
【解析】
分析：（1）设点P 的横坐标为t ，得点P 的坐标，利用定积分求解
22
128,2636
t t S S t ==-+，利用12S S ，求得t 的值，即可求得点P 的坐标．
（2）由（1）可求当12S S +，化简后，为t 的函数，再利用导数求得12S S +的最小值． 详解：（1）设点P 的横坐标为t （0＜t ＜2），则P 点的坐标为（t ，t 2）， 直线OP 的方程为y=tx S 1=∫0t （tx ﹣x 2）dx=
，S 2=∫t 2（x 2﹣tx ）dx=
3
8t 2t 36
-+， 因为S 1=S 2，，所以4t 3=
，点P 的坐标为41639⎛⎫
⎪⎝⎭
， （2）S=S 1+S 2=333t 8t t 8
2t 2t 63633
+-+=-+
S ′=t 2﹣2，令S'=0得t 2﹣2=0，
因为0＜t S'＜0t ＜2时，S'＞0
所以，当S 1＋S 2有最小值，P 点的坐标为)
．
点睛：本题主要考查了定积分的应用及利用导数求解函数的最值问题，着重考查了分析问
题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
22．(1) 当x=ln2时，f （x ）有极小值也是最小值为f （ln2）=2（2﹣ln2）；(2)见解析. 【解析】
试题分析：（1）对函数求导，列出表格得到导函数在定义域内的正负情况，从而得到函数的最值。

（2）构造函数设()2
21x
g x e x x =-+-（x ＞0），研究这个函数的单调性，找
到函数的最值，使得函数的最小值大于0即可. （1）由f （x ）=e x ﹣2x+2（x ∈R ）．得f′（x ）=e x ﹣2， 令f′（x ）=e x ﹣2=0得，x=ln2， 列表如下
（2）证明：设()2
21x
g x e x x =-+-（x ＞0），则g′（x ）=e x ﹣2x+2，
由（1）知g′（x ）=e x ﹣2x+2有最小值g′（ln2）=2（2﹣ln2）， 于是对于x ＞0，都有g′（x ）＞0，所以g （x ）在（0，+∞）上递增， 而g （0）=0，从而对任意x ∈（0，+∞），g （x ）＞0， 即x ＞0时，e x ＞x 2﹣2x+1．
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 23．(1)见解析;(2) x 的范围是[0,3). 【解析】
试题分析：（1）根据均值不等式，()'x
x
f x e e -=+乘积是定值，可以证得问题.
(2)首先要根据根据函数特殊值()1
1f e e -=-，再由函数的单调性直接比较函数自变量的大
小关系即可.
（1）()'2x x f x e e -=+≥=（当且仅当x x e e -=即0x =时取“=”） ∴ ()'2f x ≥
（2）由（1）可知，对任意x R ∈，均有()'20f x ≥>，所以 函数()y f x =在
(),-∞+∞上单调递增
从而()()
()212
22221f x x e e f x x f ---<-⇔--< 2221x x ⇔--<
13x ⇔-<< ，
故当对任意[
)0,x ∈+∞都有()
21
22f x x e e ---<-时，x 的取值范围是[
)0,3.
点睛：这道题目是考查不等式与函数最值集合的问题，第一问因为x x e e -和乘积是定值，故就想到了均值不等式求最值.第二问，解不等式，根据抽象函数的单调性，直接去掉f ，直接比较括号内的大小关系即可. 24．（Ⅰ）1b =，2k =；（Ⅱ）21e
-. 【解析】 试题分析：
（Ⅰ）求出函数的的导函数；根据题意知()()01
1{
{011
f k b f b =-=⇒=='，可解得1b =，
2k =；
（Ⅱ）根据微积分的基本定理设()x x kx k b x
f x e e
--'+=
=，解得1k =-，1b =-，得
()1
x x f x e --=，从而求得1
112|10x x
x x dx e e e --==-⎰． 试题
解：()()()
2x x
x x x k e kx b e
kx b kx k b f x e e e
'
⋅-++-+-⎛⎫== ⎪⎝⎭'=． （Ⅰ）依题意：()()01
1
{{011
f k b f b =-=⇒=='，解得1b =，2k =；
（Ⅱ）设()x x
kx k b x
f x e e --'+=
=，则1{0k k b -=-=，解得1k =-，1b =-，即()1
x
x f x e --=
， ∴
1
112|10x x x x dx e e e --==-⎰． 考点：导数的几何意义；微积分的基本定理. 25．k ＝0或k ＝－1 【分析】
由题意，要讨论k 与2的大小关系，分别计算两种情况下的定积分，然后确定k 值． 【详解】
分2＜k≤3和－2≤k≤2两种情况讨论：
当2＜k≤3时，()(
)
()33
332
k k
3x k 40
f x dx 1x dx x 39k 333k ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. 整理，得k 3＋3k ＋4＝0，即k 3＋k 2－k 2＋3k ＋4＝0.
∴(k ＋1)(k 2－k ＋4)＝0，∴k ＝－1.又∵2＜k≤3，∴k ＝－1舍去.
当－2≤k≤2时，()()()3
23
2
k
k
2
f x dx 2x 1dx 1x dx =
+++⎰
⎰⎰
(
)
32
23
x x x x 2
3k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭
()()
()2842k k 3923⎛
⎫=+-+++-+ ⎪⎝
⎭
()
24040
k k 33
=
-+=， ∴k 2＋k ＝0，即k ＝0或k ＝－1，满足条件. 综上所述，k ＝0或k ＝－1时，使()3
k
40
f x dx 3
=
⎰
. 【点睛】
本题考查了定积分的计算和分类讨论的思想，关键是由题意讨论k 的范围得到不同的定积分．属于中档题.
26．（1）1m ≤-；（2）4a ≤. 【解析】
试题分析：(1)求导，利用导数对t 的范围进行分类讨论求最值.
(2)本小题实质是22ln 3x x x ax ≥-+-在()0,x ∈+∞上恒成立，进一步转化为
3 2ln a x x x ≤++
在()0,x ∈+∞上恒成立,然后构造函数()3
2ln (0)h x x x x x
=++>利用导数研究h(x)的最小值即可.注意不要忽略x>0的条件,导致求导数的方程时产生增根. 试题
（1）()f x 定义域为()0,+∞，()()ln 1f x x m '=++，
因为()f x 在()1,+∞上为单调函数，则方程()ln 10x m ++=在()1,+∞上无实根. 故10m +≥，则1m ≤-.
（2）22ln 3x x x ax ≥-+-，则3
2ln a x x x
≤++，对一切()0,x ∈+∞恒成立. 设()32ln (0)h x x x x x =++
>，则()()()2
31'x x h x x +-=， 当()()()0,1,'0,x h x h x ∈<单调递减， 当()()()1,,'0,x h x h x ∈+∞>单调递增.
()h x 在()0,+∞上，有唯一极小值()1h ，即为最小值.
所以()()min 14h x h ==，因为对任意()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成成立， 故4a ≤.
点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f (x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.
(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.。