最新版精编2019高考数学《导数及其应用》专题考核题(含标准答案)

2019年高中数学单元测试卷
导数及其应用
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是（2013年高考浙江卷（文））
2．
设函数()
x
f x xe
=，则（）
A. 1
x=为()
f x的极大值点 B.1
x=为()
f x的极小值点
C. 1
x=-为()
f x的极大值点 D. 1
x=-为()
f x的极小值点[学
3．曲线
1
2
e x
y=在点2
(4e)
，处的切线与坐标轴所围三角形的面积
为
（）
A．2
9
e
2
Ｂ．2
4e
Ｃ．2
2eＤ．2e
答案D
4．已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是D
D
5．若存在过点(1,0)的直线与曲线3
y x =和215
94
y ax x =+
-都相切，则a 等于 A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．7
4
-或7 （2009江西卷文） 二、填空题
6．曲线x
y e =（其中 2.71828
e =）在1x =处的切线方程为 。

7．已知函数()x f 的导函数为()f x '，且满足()()2
322f x x xf =+'，则()5f '= ．
8．定义在R 上的函数()f x ，其导函数()'f x 满足()'1f x >，且()23f =，则关于x 的不等式()1f x x <+的解集为 ▲ ．
9．已知函数()cos(2)(0)f x x θθπ=+<<，若'()()y f x f x =的图象关于6
x π
=
对称，则
θ= ．
10．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b += ．
11．已知函数x ax x f ln )(+=，其中a 为实常数，设e 为自然对数的底数.若)(x f 在区间
],0(e 上的最大值为3-，则a 的值为
12．曲线3y x =在点3(,)a a (0)a ≠处的切线与x 轴、直线x a =所围成三角形的面积为16
，则a = ▲ ．
13．曲线y=x 3
在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x =2所围成的三角形的面积为__________。

答案 8/3
14．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，
0)
()(2
>-'x
x f x f x ）（0>x ，则
不等式0)(2
>x f x 的解集是 .
15．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和的公式是 ．
三、解答题
16．设函数()()2ln 1f x x b x =++．
（1）若1x =时，函数()f x 取最小值，求实数b 的值；
（2）若函数()f x 在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （3）若1b =-，证明对任意正整数n ，不等式3331
11111...23n
k f k n =⎛⎫
<++++ ⎪⎝⎭
∑
都成立．
17．受金融危机的影响，三峡某旅游公司经济效益出现了一定程度的滑坡．现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x 万元之间满足：[),,122,10ln 50512+∞∈---=
t x x x ax x y 其中t 为大于2
1
的常数．当10=x 时，2.9=y .
(1)求)(x f y =的解析式和投入x 的取值范围； (2)求旅游增加值y 取得最大值时对应的x 的值
18．经销商用一辆J 型卡车将某种水果运送（满载）到相距400km 的水果批发市场。

据测 算，J 型卡车满载行驶时，每100km 所消耗的燃油量u （单位：L ）与速度v （单位：km/h ）
的关系近似地满足2
100
23050
2050
500
v v
u v v ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，除燃油费外，人工工资、车损等
其他费用平均每小时300元。

已知燃油价格为7.5元/L 。

（1）设运送这车水果的费用为y （元）（不计返程费用），将y 表示成速度v 的函数关系式；
（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？（本题满分16分）
19． 已知函数()2
a f x x x
=+，()ln g x x x =+，其中0a >．
(1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；
(2)若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围． .
20．某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为
O ，半径为R (米)的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯
脚三个部件组成，其中圆弧形灯托EA ，EB ，EC ，
ED 所在圆的圆心都是O 、半径都是R (米)、圆弧的圆心
角都是θ(弧度)；灯杆EF 垂直于地面，杆顶E 到地面的距离为h (米)，且h R >；灯脚1FA ，1FB ，1FC ，1FD 是正四棱锥1111F A B C D -的四条侧棱，正方形1111A B C D 的外接圆半径为R (米)，四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ(弧度)．已知灯杆、灯脚的造价都是每米a (元)，
灯托造价是每米3
a
(元)，其中R ，h ，a 都为常数．设该
灯架的总造价为y (元) ．
(1)求y 关于θ的函数关系式；
(2)当θ取何值时，y 取得最小值？(本小题满分16分)
21． 已知函数2
()ln (0,1)x
f x a x x a a a =+->≠.
11
（1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）若函数|()|1y f x t =--有三个零点，求t 的值；
（3）若存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，试求a 的取值范围.
22．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm
（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3
）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

P
关键字：应用题；翻折问题；求测面积；求体积；求导数；求最值
23．已知函数1()ln(1),01x
f x ax x x
-=++
≥+，其中0a > ()I 若()f x 在x=1处取得极值，求a 的值；
()II 求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围。

解（Ⅰ）222
22
'(),1(1)(1)(1)
a ax a f x ax x ax x +-=-=++++ ∵()f x 在x=1处取得极值，∴2
'(1)0,120,f a a =+-=即解得 1.a =
（Ⅱ）22
2
'(),(1)(1)
ax a f x ax x +-=++ ∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +>
①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞ ②当02a <<时，
由'()0'()0f x x f x x >>
<<解得解得
∴()f x +∞的单调减区间为（0）. （Ⅲ）当2a ≥时，由（Ⅱ）①知，()(0)1;f x f =的最小值为
当02a <<时，由（Ⅱ）②知，()f x 在x =
(0)1,f f <= 综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞
24．设函数0),(,)1(3
1)(223
>∈-++-
=m R x x m x x x f 其中 （Ⅰ）当时，1=m 曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <。

若对任意的
],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立，求m 的取值范围。

答案 ：
当1)1(,2)(,3
1)(1'2/23
=+=+=
=f x x x f x x x f m 故时， 所以曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率为1.
（2）解析 12)(2
2
'
-++-=m x x x f ，令0)('
=x f ，得到m x m x +=-=1,1
因为m m m ->+>11,0所以
当x 变化时，)(),('
x f x f 的变化情况如下表：
)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。

函数)(x f 在m x +=1处取得极大值)1(m f +，且)1(m f +=313223-+m m 函数)(x f 在m x -=1处取得极小值)1(m f -，且)1(m f -=3
1
3223-+-m m
（3）解析 由题设， ))((3
1
)131()(2122x x x x x m x x x x f ---=-++-=
所以方程131
22-++-m x x =0由两个相异的实根21,x x ，故321=+x x ，且
0)1(3412>-+=∆m ，解得2
1
)(21>-<m m ，舍
因为12
3
,32,221221>>=+><x x x x x x 故所以
若0)1)(1(3
1
)1(,12121≥---=<≤x x f x x 则，而0)(1=x f ，不合题意
若,121x x <<则对任意的],[21x x x ∈有,0,021≤-≥-x x x x
则0))((3
1
)(21≥---==x x x x x x f 又0)(1=x f ，所以函数)(x f 在],[21x x x ∈的最小值为0，于是对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立的充要条件是03
1
)1(2<-=m f ,
解得3
333<<-
m 综上，m 的取值范围是)3
3
,
21( 【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。

25．设函数2
2
()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．
(1) 若函数()y f x =图象上的点到直线30x y --=距离的最小值为，求a 的值；
(2) 关于x 的不等式2
(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3) 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”．设
a =
，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
26．已知函数f(x)=
2
1x 2
－ax+(a －1)ln x ，1a >。

（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212
()()
1f x f x x x ->--。

（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）
27．已知函数x ax x f ln )(+=，),1(e x ∈，且)(x f 有极值． (1）求实数a 的取值范围；
(2）求函数)(x f 的值域；
(3）函数2)(3
--=x x x g ，证明：),1(1e x ∈∀，),1(0e x ∈∃，使得)()(10x f x g =成
立．
28．已知函数a ax
x
x x f 其中,1ln )(-+
=为大于零的常数。

(1）若函数),1[)(+∞在区间x f 内调递增，求a 的取值范围； (2）求函数)(x f 在区间[1，2]上的最小值。

(3）求证：对于任意的n
n n N n 1
3121ln ,1,*+++>
>∈ 都有时且成立。

29．设常数0a ≥，函数2
()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞.
(1）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小； (2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；
(3）求证：当1x >时，恒有2
ln 2ln 1x x a x >-+．
30．已知函数c bx x ax x f -+=4
4
ln )((x>0)在x = 1处取得极值c --3，其中a,b,c 为常数。

(1）试确定a,b 的值；
(2）讨论函数f(x)的单调区间；
(3）若对任意x>0，不等式2
2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

（重庆理） 关键字：已知极值；讨论单调性；不等式；恒成立问题；参变分离；求最值。