2019届吉林省实验中学高三上学期期中考试数学(理)试卷(教师版)
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2019届吉林省实验中学
高三上学期期中考试数学(理)试卷
数学
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1.已知全集 集合 ,则 用区间可表示为 A . ,
B . ,
C .
, D .
, 2.已知向量()2,3a =, (),1b x =,若a b ⊥,则实数x
的值为 A .
B .
C .
D . 3
- 3.等差数列{a n }中,a 1+a 5=14,a 4=10,则数列{a n }的公差为 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
4.若
,且为第二象限角,则
A .
B .
C .
D .
5.在正项等比数列{a n }中,若a 1=2,a 3=8,数列{a n }的前n 项和为 ,则S 6的值为 A . 62 B . 64 C . 126 D . 128 6.函数
的零点个数为
A . 0个
B . 1个
C . 2个
D . 3个
7.设可导函数 在R 上图像连续且存在唯一极值,若在x =2处,f(x)存在极大值,则下列判断正确的是
A . 当 时 当 时 .
B . 当 时 当 时 .
C . 当 时 当 时 .
D . 当 时 当 时 .
8.设函数
,则使得 成立的 的取值范围是
A .
B . ) (
, C . D . 9.函数
的最小正周期为
A .
B .
C .
D .
10.在 中,若 , , ,则 的值为( ) A . B . C . D .
11.设偶函数 满足 ,且当 时,
,则 在 上的单调性
为
A . 递增
B . 递减
C . 先增后减
D . 先减后增
12.设函数 是定义在 上的函数,其中 的导函数为 ,满足对于 恒成立,则下列各式恒成立的是
A .
B .
C .
D .
二、填空题
13.已知向量 ,则 与 的夹角余弦值为________. 14.在△ABC 中,若
,则
=______.
15.若f(x)=
x 3-f′(1)x 2+x + ,则在(1,f(1))处曲线 的切线方程是______ 16.关于函数 有如下命题:
是 图像的一条对称轴;
(
)是 图像的一个对称中心
( )将 的图像向左平移
,可得到一个奇函数图象. 其中真命题的序号为 ___
三、解答题
17.已知等差数列 满足 。
此
卷
只
装
订不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
(1)求通项;
(2)设是首项为2,公比为2的等比数列,求数列通项公式及前n项和.
18.若向量其中
记且最小正周期为,
(1)求的表达式;
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后得到y=g(x)的图象,求在上的值域.19.设数列的前项和为,满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设.求数列前项和.
20.设函数.
(1)求函数的极小值;
(2)若关于的方程在区间上有唯一实数解,求实数的取值范围.
21.在中,角的对边的边长为,且。
(1)求的大小;
(2)若,且,求边长的值。
22.已知函数f(x)=lnx﹣ax,其中a为实数.
(1)求出f(x)的单调区间;
(2)在a<1时,是否存在m>1,使得对任意的x∈(1,m),恒有f(x)+a>0,并说明理由.
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高三上学期期中考试数学(理)试卷
数学 答 案
参考答案 1.C 【解析】 【分析】
先化简集合A 和B ,再根据交集运算的定义求解。
【详解】
集合 = , = 或
所以
, ,答案选C 。
【点睛】
在进行集合运算时,当集合没有化简,要先化简集合;当集合是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元素进行运算,也可借助Venn 图运算;当集合为无限集时,可借助数轴进行运算。
集合的交、并、补运算口诀如下:交集元素仔细找,属于A 且属于B ;并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;全集U 是大范围,去掉U 中A 元素,剩余元素成补集。
2.B
【解析】∵向量()2,3a =, (),1b x =,由a b ⊥,得230
x +=,解得: B. 3.C 【解析】 【分析】
利用等差数列的性质,a 1+a 5=14可化为 ,可求 ,再运用公差计算公式
即
可求出结果。
【详解】
因为{a n }为等差数列, 所以 = = 而a 4=10, 所以 ,
所以公差
=3。
答案选C 。
【点睛】
本题考查了等差数列的性质及公差计算公式,属于基础题。
4.A 【解析】
【分析】
先由诱导公式得
,再求出
,最后根据定义求 。
【详解】
因为
,
所以
,
又因为 为第二象限角,所以 ,
所以
=。
答案选A
【点睛】
本题考查了诱导公式,同解三角函数关系及三角函数在各象限内的符号等知识点,都属于基本知识,比较容易,但在求三角函数的值时,较容易出现符号错误,需要注意。
5.C 【解析】
【分析】
根据a 1=2,a 3=8先求出公比为2,再代入{a n }的前n 项和公式计算即可。
【详解】
因为{a n }是正项等比数列,所以
,即 ,
所以{a n }的前6项和为 为
=
=126,答案选C
【点睛】
本题考查了等比数的公比计算公式及前n 项和公式,属于基础题。
6.C 【解析】 【分析】
函数的零点个数问题等价于方程解的个数问题,考查函数和函数的图像交点个数,即可。
【详解】
作出函数和函数的图像如下:
由图像可知,函数和函数的图像有两个交点,即方程有2个解,所以函数的零点有2个,答案选C。
【点睛】
本题考查了函数与方程的关系,涉及函数数零点的问题可化为方程根的个数问题讨论,而方程解的个数问题又可化为函数的零点问题进行讨论,而数形结合是解决这类问题最主要的方法。
7.A
【解析】
【分析】
根据函数极值的判定方法,极大值点左侧导函数值为正,右侧为负,即可判断。
【详解】
由题意知,x=2为导函数的极大值点,
所以,当)时,;当时,。
故答案选A。
【点睛】
本题考查函数极值的判定方法,属于基础题。
8.B
【解析】
【分析】
首先判断为定义域上的偶函数,再讨论当和时的单调性,最后将不等式化为,即
,求解即可。
【详解】
易知为定义域上的偶函数,
当时,,
因为和均为减函数,所以在时为减函数。
根据偶函数的性质可得,在时为增函数。
所以不等式等价于或
解得)(,。
答案选B。
【点睛】
本题主要考查了利用函数的单调性和奇偶性求解不等式问题,其中根据函数的解析式得到函数的定义域和单调性、奇偶性转化不等式是解题关键,着重考查了转化能力以及推理计算能力,综合性较强,属于中档题。
9.D
【解析】
【分析】
利用二倍角公式把函数化为,再运用辅助角公式把函数化为,最后求最小正周期
【详解】
=
=,
所以最小正周期。
答案选D。
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换,三角函数的最小正周期的求法,此类问题通常要先对所给函数式进行恒等变换,最终化为的形式,再利用正弦函数的性质进行求单调区间,最值或值域,对称轴或对称中心,周期则要用公式计算。
10.A
【解析】
【详解】
在中,
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所以
==
==27。
所以,答案选A。
11.D
【解析】
【分析】
由函数满足,可得函数的周期为4,且为偶函数,另外,当时,是增函数,可推测在,)上单调减,运用周期性即可推断在上的单调性。
【详解】
因为满足,
所以函数的周期为4。
又当时,,
所以,且当时,有,所以在上单调增。
另外,因为函数是R上的偶函数,
所以在,)上单调减,
所以在,上先减后增;
所以在上的单调性为先减后增。
答案选D。
【点睛】
本题主要考查函数的单调性的判断,根据函数的奇偶性,周期性和单调性的关系是解决问题的关键。
本题是一道综合性较强的中档题。
12.B
【解析】
【分析】
构造函数,求出,得到该函数为R上的增函数,故得,,从而可得到结论。
【详解】
设,()
所以=因为对于,所以,
所以是R上的增函数,
所以,
即,,
整理得和)。
故答案选B。
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性,导数的运算法则的应用,属于中档题。
13.-
【解析】
【分析】
将条件代入向量夹角计算公式即可。
【详解】
设与的夹角为,则
==-。
【点睛】
本题考查平面向夹角的计算,属于基础题。
14.2
【解析】
【分析】
由正弦定理,将式子中的边化为角,代入即可。
【详解】
因为
所以,,
所以
====2。
【点睛】
本题主要考查正弦定理的变形运用,属于基础题。
15.2x-3y+1=0
【解析】
【分析】
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首先对函数求导得,把代入可求,把代入函数
可求,用点斜式方程写出切线并化简即可。
【详解】
因为f(x)=x3-f′(1)x2+x+,
所以
把代入,则,
所以=-++,
把代入,则
所以过点(1,f(1))处曲线的切线方程
整理得。
【点睛】
本题考查了导数的几何意义,属于基础题。
16.(2)(3)
【解析】
【分析】
运用二倍角、辅助角公式将函数化为,分别求其对称轴,对称中心,并进行图像平移,讨论三个结论即可。
【详解】
函数可化为,
所以,
所以函数的对称轴为,故命题(1)错误;
函数的对称中心为,取时,对称中心为,命题(2)正确;
函数向左平移个单位,得==,为奇函数,命题(3)正确。
故答案为(2)(3)。
【点睛】
本题主要通过对多个命题真假的判断,主要综合考查三角函数的对称性、三角函数的图像平移,属于中档题.这种题型综合性较强,也是高考的命题热点,同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”,因此做这类题目更要细心、多读题,尽量挖掘出题目中的隐含条件,另外,要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手,然后集中精力突破较难的命题
17.(1);(2),。
【解析】
【分析】
(1)根据等差数列通项公式,结合条件建立关于首项与公差的方程组,求解即可;(2)可先求出的通项,再解出数列通项公式,求其前n项和则运用分组求和的方法求解即可。
【详解】
(1)由题意得,
解得,
(2)
,
-1,
∴。
【点睛】
本题考查了等差数列、等比数列通项公式及分组求和法,比较基础,难度不大,关键是掌握基本公式即可。
18.(1);(2),。
【解析】
【分析】
(1)运用向量的数量积计算公式代入,并对函数式进行三角恒等变换,可得的表达式;(2)先根据图像平移得到,再结合图像与性质求值域。
【详解】
(1)由向量其中
记得
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由得,,
所以。
(2)将图像向右平移个单位,可得,
当时,,
所以,
故,
即的值域为,。
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换及三角函数的值域,属于中档题。
形如,
的函数求值域,分两步:(1)求出的范围;(2)由的范围结合正弦函数的单调性求出,从而可求出函数的值域。
19.(1);(2)。
【解析】
【分析】
(1)根据数列的前n项和与数列的通项的关系,可求通项;(2)先由(1)的结论求出数列和的通项公式,再运用裂项法求其前n项和。
【详解】
(1)当时,
∵①
∴②
①-②得;
即
又;得:,
∴数列是以为首项,2为公比的等比数列
∴
(2)∵,,
∴,
∴.
【点睛】
本题考查数列的前n项和与数列的通项的关系及裂项法求和,属于中档题。
在运用数列的前n 项和与数列的通项的关系求数列的通项时,比较容易忘记关系式中的条件,即求出通项后,一定要验证n=1 时,通项公式是否也成立。
20.(1)函数的极小值为;(2),。
【解析】
【分析】
(1)对函数求导并求导函数的零点,讨论函数单调性,确定极小值点,并求得极值。
(2)结合(1)的结果“方程在区间上有唯一实数解”即为,解不等式即可。
【详解】
(1)依题意知的定义域为。
令解得或
当或时,当时,
所以的增区间为和减区间为,
所以函数的极小值为。
(2)由(1)得在上为增函数
所以要使方程在区间上有唯一实数解,
只需,
所以,。
即取值范围为,。
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值及讨论方程问题,属于中档题。
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21.(1);(2)。
【解析】
【分析】
(1)运用正弦定理将条件中的边化为角,进行三角恒等变形,可得;(2)运用余弦定理,三角形的面积公式。
结合条件,即求。
【详解】
(1)由正弦定理得
又因为在三角形中,
∴,
可得,
又,
所以.
由及余弦定理得:
∵,
,即
【点睛】
本题主要考查三角形正弦定理、余弦定理和三角函数的恒等变换公式,及三角形面积。
属于中档题。
22.(1)答案见解析;(2)在a<1时,存在m>1,使得对任意x∈(1,m)恒有f(x)+a >0。
理由见解析。
【解析】
【分析】
(1)对函数求导,并分a≤0和a>0两种情况讨论。
可求出结果;(2)结合(1)将a<1分为a≤0和两种情况进行讨论即可。
【详解】
(1)∵f(x)=lnx﹣ax,
∴,
当a≤0时,f'(x)>0恒成立,
函数f(x)在定义域(0,+∞)递增;无减区间
当a>0时,令f'(x)=0,则x=,
当x∈(0,)时,f'(x)>0,函数为增函数,
当x∈(,+∞)时,f'(x)<0,函数为减函数。
综上可得,当时增区间为,,无减区间
当时增区间为减区间为
(2)在a<1时,存在m>1,使得对任意的x∈(1,m)恒有f(x)+a>0。
理由如下:
由(1)得
当a≤0时,函数f(x)在(1,m)递增,
此时,即,
当时增区间为减区间为,
而
即f(x)+a>0。
综上可得:在a<1时,存在m>1,使得对任意x∈(1,m)恒有f(x)+a>0。
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性及恒成立问题,着重考查了转化思想,分类讨论思想,及学生的运算能力、推理能力。
属于中档题。
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