人教A版高中数学必修五：2.3等差数列的前n项和+教案

等差数列的前n 项和
一、课型：新授课 二、课时：2课时
三、教学目标 知识与能力：（1）掌握等差数列前n 项和公式,理解公式的推导方法；（2）能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。

过程与方法：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

情感态度价值观：通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

四、教学重点：等差数列前n 项和公式及简单应用。

五、教学难点：获得等差数列前n 项和公式推导的思路。

六、教学方法：问题引导法 七、教具：PPT 、教案 八、教学过程 1．目标解读：
（1）掌握等差数列的前n 项和公式，并能进行简单计算； （2）经历并理解等差数列前n 项和公式的发现和推导过程。

2．复习回顾：
（1）等差数列的通项公式：
（2）等差数列的性质：n m l k N n m l k +=+∈+,,,,时，有：
3．问题导学：上节课我们已经学习了有关等差数列的一些基本性质,那么这节课我们就来探讨一下等差数列的前n 项和公式.
问题一: 古算书<<张邱建算经>>中卷有一道题:今有与人钱,初一人与一钱；次一人与二钱;次一人与三钱；以次为之,转多一钱,共有百人。

问:共与几钱?
教师：题目中我们可以得到哪些信息?要解决的问题是什么?
学生：第一人得一钱, 第二人得二钱, 第三人得三钱,以后每个人都比前一个人多得一钱,共有100人,问共给了多少钱?
教师：很好,问题已经呈现出来了,你能用数学语言表示吗?
学生:用n a 表示第n 个人所得的钱数,由题意得: 1a =1, 2a =2, 3a =3,……, 100a =100.只要求出1+2+3+……+100即可.
教师：高斯在他10岁的时候就神速的算出了结果,他的算法很高明,请问他是如何算的? 学生: 1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101⨯50=5050.
教师: 上述问题我们可以看成是等差数列1,2,3,……,100,……的前100项和，即
100321100a a a a S ++++= ， 根据等差数列的特点，首尾配对求和的确是一种巧妙
的方法.
问题二：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个梯形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有8层(见下图)，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
4.问题探究 问题三:
n m l k {}?
n n a n 如何求等差数列的前项和S
12321n n n n S a a a a a a --=+++
+++ 把项的次序倒过来，n S 又可以写成：
12321
n n n n S a a a a a a --=+++
+++，
两
式
左
右
分
别
相
加
，
()()()()()()
12132231212n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a ----=++++++
++++++得到: ()12n n n a a S +=
① ( 倒序相加法)
教师：公式①与初中学过的什么公式相似？ 学生：梯形的面积公式2
)
(b a h S +=
． 教师：如果已知等差数列的首项1a ，公差d 和项数n 能否求出n S ？
分析：把2
)
(1n n a a n S +=
中的n a 用d n a )1(1-+表示． 学生：将通项公式d n a a n )1(1-+=，代入到上面的公式①式，得到
2)1(1d
n n na S n -+
=．②
5．例题讲解
例1：求正整数中前n 个奇数的和．
解法1：设正整数中的奇数列为{}n a ，则首项为1a =1，公差为12,2-==n a d n ，
212
)]
12(1[2)(n n n a a n S n n =-+=+=
∴ 解法2：3,121==a a 2=∴d 222
)
1(1n n n n S n =⨯-⨯+
⨯=∴ 例2:等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54 ？
解:本例题已知公差为4，首相为－10，前n 项和为54，欲求项数n ，于是变用公式2。

又因为项数不能为负数，所以－3舍去，一共有9项
练习1．在等差数列{}n a 中，已知155,291010==S a ,求1a 。

解：由已知得：
1552
10
)29(1=⨯+a ，
解得：1a =2．
(1)45410392
n n n n n -+=-＝－解得：或＝
练习2．在等差数列{}n a 中，已知10156=+a a ，求20S ．
解法1：
10156=+a a ，
1014511=+++∴d a d a ，
即
101921=+d a ．
()22020120a a S +=
∴[]2)19(2011d a a ++=()100
10102192201=⨯=+=d a ．
解法2：
1001010)192(1021920201120=⨯=+=⨯+
=d a d
a S ．
解法3：
2)(2020120a a S +=
()220156a a +=
100210
20=⨯=．
6．课堂小结：
两个公式
2)(1n n a a n S +=
①； 2)1(1d
n n na S n -+
= ②．
注意：当0=d 时，1na S n
=，
7．布置作业：
必做题：课本46页，习题A １（1）、２； 选做题：课本46页，习题A,1（3）、（4） 九、板书
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。