2020-2021学年广西南宁三中高二(下)月考数学试卷(理科)(解析版)

2020-2021学年广西南宁三中高二（下）月考数学试卷（理科）
（一）
一、单选题（每小题5分）.
1．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，集合B＝{x|x2＜x}，则A∩B＝（）
A．（1，2]B．（0，1）C．[0，1）D．（1，2）
2．设z＝+2i，则|z|＝（）
A．0B．C．1D．
3．下列叙述中正确的是（）
A．对∀x∈R，2x＞x2
B．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
D．命题“对∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R，使x02≥0”
4．已知tanα＝，则sin（﹣2α）的值为（）
A．﹣B．C．2﹣7D．
5．用数学归纳法证明时，从n＝k到n＝k+1，不等式左边需添加的项是（）
A．B．
C．D．
6．由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6
7．已知a＞0，b＞0，a+b＝4，则下列各式中正确的是（）
A．B．1C．2D．1
8．某学校要对如图所示的5个区域进行绿化（种花），现有4种不同颜色的花供选择，要求相邻区域不能种同一种颜色的花，则共有（）种不同的种花方法．
A．24B．36C．48D．72
9．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x（单位：mg）与给药时间t（单位：h）近似满足函数关系式，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg/h）．经测试发现，当t＝23时，，则该药物的消除速率k的值约为（）（ln2≈0.69）
A．B．C．D．
10．已知双曲线左、右焦点分别为F1，F2，过F1作x轴的垂线l交
双曲线C的于A，B两点，若△ABF2的周长为25，则双曲线C的渐近线方程为（）A．3x±4y＝0B．4x±3y＝0C．3x±8y＝0D．8x±3y＝0 11．已知2a＝3b＝6，c＝log a b，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
12．已知函数f（x）＝，若∀x2≤0，∃x1＞0，使f（x1）+f（x2）＝0成立，则a的取值范围为（）
A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．（﹣∞，]二、填空题（每小题5分）.
13．设实数x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为．
14．已知非零向量，满足||＝2||，且（+）⊥，则与的夹角为．15．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f'（x）＞f（x），f（2）＝1008，则不等式e2f（x+1）﹣1008e x+1＞0的解集为．
16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝2，AC＝2，M是
BC中点，则过点M的平面截三棱锥P﹣ABC的外接球所得截面的面积最小值为．
三、解答题（共70分）
17．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；
（2）（i）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；
（ii）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．
18．已知等差数列{a n}满足a n+2a n+1＝3n+5．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）记数列的前n项和为S n．若∀n∈N*，S n＜﹣λ2+4λ（λ为偶数），求λ的值．
19．已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，且5cos B cos C+2＝5sin B sin C+cos2A．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S＝，c＝，求sin B sin C的值．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB＝2AD＝2CD＝4，PC＝2a，E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点P（2，3）．（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上存在两点M，N，使得PM的斜率与PN的斜率之和为﹣1，直线MN是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．
22．已知函数f（x）＝x2+ax﹣alnx．
（1）若函数f（x）在[2，5]上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）当a＝2时，若方程f（x）＝x2+2m有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x2＜1．
参考答案
一、单选题（每小题5分）.
1．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，集合B＝{x|x2＜x}，则A∩B＝（）
A．（1，2]B．（0，1）C．[0，1）D．（1，2）
解：∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜1}，
∴A∩B＝（0，1）．
故选：B．
2．设z＝+2i，则|z|＝（）
A．0B．C．1D．
解：z＝+2i＝+2i＝﹣i+2i＝i，
则|z|＝1．
故选：C．
3．下列叙述中正确的是（）
A．对∀x∈R，2x＞x2
B．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
D．命题“对∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R，使x02≥0”
解：对于A，因为当x＝﹣1时，2x＝2﹣1＝0.5，x2＝（﹣1）2＝1，2x＞x2不成立，所以A 错；
对于B，因为l⊥α，l⊥β，所以α∥β或α＝β，但α，β是两个不同的平面，所以α∥β，于是B对；
对于C，因为当b＝0时，有“a＞c”成立，但“ab2＞cb2”不成立，所以C错；
对于D，“对∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R，使x02＜0”，不是“∃x0∈R，使x02≥0”，所以D错．
故选：B．
4．已知tanα＝，则sin（﹣2α）的值为（）
A．﹣B．C．2﹣7D．
解：因为tanα＝，
所以sin（﹣2α）＝﹣cos2α＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣
．
故选：A．
5．用数学归纳法证明时，从n＝k到n＝k+1，不等式左边需添加的项是（）
A．B．
C．D．
解：n＝k时，左边为，
n＝k+1时，左边为，
所以左边需添加的项是，
故选：B．
6．由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6
解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），
因此曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：
S＝．故选：C．
7．已知a＞0，b＞0，a+b＝4，则下列各式中正确的是（）
A．B．1C．2D．1
解：因为a＞0，b＞0，a+b＝4，
所以＝（）＝（2+）（2+2）＝1，
当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确，A错误；
由基本不等式可知ab＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，
故，C错误；，D错误．
故选：B．
8．某学校要对如图所示的5个区域进行绿化（种花），现有4种不同颜色的花供选择，要求相邻区域不能种同一种颜色的花，则共有（）种不同的种花方法．
A．24B．36C．48D．72
解：①区域2，4同色时，有4×3×2×2＝48种；
②区域2，4不同色时，有4×3×2×1×1＝24种，
由①②可得：一共有72种着色方法．
故选：D．
9．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x（单位：mg）与给药时间t（单位：h）近似满
足函数关系式，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg/h）．经测试发现，当t＝23时，，则该药物的消除速率k的值约为（）（ln2≈0.69）
A．B．C．D．
解：由题可知，将t＝23，x＝代入x＝，
整理可得：，即ln，
解得k＝，
故选：A．
10．已知双曲线左、右焦点分别为F1，F2，过F1作x轴的垂线l交
双曲线C的于A，B两点，若△ABF2的周长为25，则双曲线C的渐近线方程为（）A．3x±4y＝0B．4x±3y＝0C．3x±8y＝0D．8x±3y＝0
解：由双曲线的定义可得|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|＝2a，
∵△ABF2的周长为25，∴|AB|+|AF2|＝，
∵|AB|＝|AF1|+|BF1|＝，∴|AF1|＝＝|AB|，
得|AF2|＝，﹣＝2a，因为a＞3，所以解得a＝4，
又b＝3，且双曲线的焦点在x轴上，
∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即3x±4y＝0．
故选：A．
11．已知2a＝3b＝6，c＝log a b，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
解：，
∵0＜log62＜log63＜1，
∴，即a＞b＞1，
∴c＝log a b＜log a a＝1，
∴c＜b＜a．
故选：C．
12．已知函数f（x）＝，若∀x2≤0，∃x1＞0，使f（x1）+f（x2）＝0成立，则a的取值范围为（）
A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．（﹣∞，]解：∵∀x2≤0，∃x1＞0，使得f（x1）+f（x2）＝0成立，
∴函数y＝﹣f（x2）的值域是函数y＝f（x1）的值域的子集，
当x≤0时，f（x）＝x2+x+＝+1，∴f（x）≥1，∴﹣f（x）≤﹣1，∴y＝﹣f （x）的值域为（﹣∞，﹣1]，
∴当x＞0时，2lnx﹣ax≥﹣1成立，即a≤，
设g（x）＝，则g′（x）＝，
当x∈（0，）时，g（x）单调递增，当x∈（，+∞）时，g（x）单调递减，
∴g（x）max＝g（）＝，∴a≤，即a∈（﹣∞，]，
故选：A．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．设实数x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为15．解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（3，3），
由z＝2x+3y，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为15，
故答案为：15．
14．已知非零向量，满足||＝2||，且（+）⊥，则与的夹角为．解：根据题意，设与的夹角为θ，||＝t，则||＝2t，
若（+）⊥，则（+）•＝2+•＝t2+2t2cosθ＝0，
变形可得：cosθ＝﹣，
又由0≤θ≤π，则θ＝，
故答案为：．
15．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f'（x）＞f（x），f（2）＝1008，则不等式e2f（x+1）﹣1008e x+1＞0的解集为{x|x＞1}．
解：令，则，所以g（x）在R上单调递增．因为，所以不等式e2f（x+1）﹣1008e x+1＞0，
可变形得，即g（x+1）＞g（2），所以x+1＞2，解得x＞1．
故答案为：{x|x＞1}．
16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝2，AC＝2，M是BC中点，则过点M的平面截三棱锥P﹣ABC的外接球所得截面的面积最小值为π．
解：如图，把三棱锥P﹣ABC放置在棱长为2的正方体中，
则正方体的对角线长为三棱锥P﹣ABC的外接球的直径，
设三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R，则2R＝，
∴R＝，
由对称性可知，球心O到过点M的平面距离的最大值为OM＝PB＝，
∴截面最小的圆的半径为，
可得截面的面积最小值为π×12＝π．
故答案为：π．
三、解答题（共70分）
17．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；
（2）（i）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；
（ii）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．
解：（1）平均数
，前三组的频率之和为0.15+0.2+0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设为x，
则（x﹣30）×0.03+0.15+0.2＝0.5，解得x＝35，即中位数为35
（2）（i）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y
则从中选取2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c）（a，d），（a，x），（a，y），（b，c）（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．
至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．
记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，
故所求概率为．
（ii）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1﹣（18﹣10）×0.015＝0.88，
故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．
18．已知等差数列{a n}满足a n+2a n+1＝3n+5．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）记数列的前n项和为S n．若∀n∈N*，S n＜﹣λ2+4λ（λ为偶数），求λ的值．
解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，因为a n+2a n+1＝3n+5，
所以，即，
解得a1＝2，d＝1，
所以a n＝2+（n﹣1）×1＝n+1，
所以数列{a n}的通项公式为：a n＝n+1；
（2）由（1）得，＝＝﹣，
所以S n＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝﹣＜．
因为∀n∈N*，S n＜﹣λ2+4λ（λ为偶数），
所以﹣λ2+4λ≥，即（λ﹣2）2≤，解得2﹣≤λ≤2+，
又λ为偶数，
所以λ＝2．
19．已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，且5cos B cos C+2＝5sin B sin C+cos2A．（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S＝，c＝，求sin B sin C的值．
解：（1）由于5cos B cos C+2＝5sin B sin C+cos2A，
整理得5cos（B+C）+2＝2cos2A﹣1,
转换为2cos2A+5cos A﹣3＝0，
解得，
由于A∈(0,π)，
所以A＝．
（2）△ABC的面积S＝，
故，
所以bc＝6，由于c＝，
所以b＝2，
利用余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝12+3﹣6＝9，
故a＝3．
则，
利用（2R）2sin C sin B＝6，
解得sin B sin C＝．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB＝2AD＝2CD＝4，PC＝2a，E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．
∵AB＝4，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝2．
∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC．
又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC．
∵AC⊂平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．…
（Ⅱ）如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，﹣2，0）．
设P（0，0，2a）（a＞0），则E（1，﹣1，a），＝（2，2，0），＝（0，0，2a），＝（1，﹣1，a）．
取＝（1，﹣1，0），则•＝•＝0，为面PAC的法向量．
设＝（x，y，z）为面EAC的法向量，则•＝•＝0，
即，取x＝a，y＝﹣a，z＝﹣2，则＝（a，﹣a，﹣2），
依题意，|cos＜，＞|＝＝＝，则a＝2．…
于是n＝（2，﹣2，﹣2），＝（2，2，﹣4）．
设直线PA与平面EAC所成角为θ，
则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…
21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点P（2，3）．（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上存在两点M，N，使得PM的斜率与PN的斜率之和为﹣1，直线MN是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．
解：（1）由题意可知，焦点为（±2，0），
故2a＝+＝8，
所以a2＝16，b2＝12，
所以椭圆的方程为+＝1．
（2）当直线MN的斜率存在时，设方程为y＝kx+m，
代入椭圆的方程，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48＝0，（*），
设点M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2＝﹣，x1x2＝①，
设直线PM的斜率与直线PN的斜率分别为k1，k2，
根据y1＝kx1+m，y2＝kx2+m，
则k1+k2＝+＝﹣1，
所以（1+2k）x1x2+（m﹣2k﹣5）（x1+x2）+16﹣4m＝0，
将①代入，整理化简得16k2+10km﹣24k+m2﹣3m＝0，
即（2k+m﹣3）（8k+m）＝0，
因为P（2，3）不在直线MN上，所以2k+m﹣3≠0，
所以m＝﹣8k，
要使（*）方程判别式大于0，需k∈（﹣，），
于是直线MN的方程为y＝k（x﹣8），k∈（﹣，），
所以直线过定点（8，0），
当直线MN的斜率不存在时，可得M（x1，y1），N（x1，﹣y1），
则由k1+k2＝+＝﹣1，解得x1＝8，不合题意，
综上所述，直线MN过定点（8，0）．
22．已知函数f（x）＝x2+ax﹣alnx．
（1）若函数f（x）在[2，5]上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）当a＝2时，若方程f（x）＝x2+2m有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x2＜1．
解：（1）∵f（x）＝x2+ax﹣alnx在[2，5]上单调递增
∴f′（x）＝2x+a﹣≥0在[2，5]上恒成立
∴在[2，5]上恒成立
令g（x）＝＝﹣2[（x﹣1）++2]在[2，5]上单调递减
∴g（5）≤g（x）≤g（2），即≤g（x）≤﹣8
∴a≥﹣8
（2）当a＝2时，f（x）＝x2+2x﹣2lnx＝x2+2m有两个不等实数根x1，x2，
∴m＝x﹣lnx有两个不等实数根x1，x2，
令h（x）＝x﹣lnx，x＞0
则h′（x）＝1﹣＝，
令h′（x）＞0可得x＞1，h（x）单调递增；令h′（x）＜0可得0＜x＜1，h（x）单调递减
当x＝1时，函数取得极小值，也即是最小值h（1）＝1
∴m＞1且0＜x1＜1＜x2
∵x2﹣lnx2＝m＞1
∴x2＞1+lnx2＞1，
∴，
∴x1﹣x2＝lnx1﹣lnx2，
∵＝＝
令F（x）＝，x∈（1，+∞），
则F′（x）＝＝≥0，
∴F（x）在（0，1）上单调递增，F（x）＜F（1）＝0即h（x1）＜h（）
∴x1＜
∴x1x2＜1．。