湖南省凤凰县华鑫中学高一数学新生入学考试试题

湖南省凤凰县华鑫中学2015年秋高一新生入学考试
数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．若二次根式x -2有意义，则x 的取值范围是
A ．x≥2
B ．x ＞2
C ．x≤2
D ．x ＜2 2．分式方程12
1
x x =
+ 的解为（ ）
A. x = 3
B. x = 2
C. x = 1
D. x = -1
3．下列事件中是不可能事件的是
A ．抛一枚硬币正面朝上
B ．三角形中有两个角为直角
C ．打开电视正在播广告
D ．两实数和为正 4．不等式组⎩⎨
⎧->-≥-7
121
2x x 的解集在数轴上表示正确的是
5．若1x 、
2x 是
0762=--x x 的根，则=⋅21x x
A ．﹣7
B ．7
C ．6
D ．﹣6 6．如图，AB=AC=AD ，若∠BAD=80°，则∠BCD=
A ．80°
B ．100°
C ．140°
D ．160°
7．二次函数c bx ax y ++=2
上有),(11y x A 、),(22y x B ，21x x ≠，21y y =，当21x x x +=时，
=y
A ．c a +
B ．c a -
C ．c -
D ．c
8．已知2)1(1+=
n a n （n=1，2，3，…），我们又定义23)1(211=-=a b ，()()3
4
1122
12=--=a a b ，()()()4
5
11123213=
---=a a a b ，…，根据你观察的规律可推测出=n b A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知Rt△ACB，∠ACB=90°，I 为内心，CI 交AB 于D ，BD=，AD=
，则S △ACB =
A ．12
B ．6
C ．3
D ．7.5
10．如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C 的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最
小值是
A ．2
B ．1
C ．
D ．
11、七年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后，积极践行“节约用水，从我做起”，下表是从七年级400名学生中选出10名学生统计
各自家庭一个月的节水情况： 节水量（m 3
） 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 家庭数（个） 1
2
2
4
1
那么这组数据的众数和平均数分别是
A 、0.4和0.34
B 、0.4和0.3
C 、0.25和0.34
D 、0.25和0.3 12、如图6，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点
E 、B ，E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为
3
2
，则图中阴影部分的面积为
二、填空题（每小题4分，共24分） 13．
﹣
= ．
14．在一个袋子中装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是 ．
15．点P （3，1﹣a ）在y=2x ﹣1上，点Q （b+2，3）在y=2﹣x 上，则a+b= ．
16．甲乙两人在一笔直的公路上，沿同一方向骑自行车同时出发前往A 地，到A 地后停止，他们距A 地的路程ykm 与甲行驶的时间x 小时之间的关系如图所示，则出发 小时甲乙二人相距5km ． 17．如图，过原点的直线与反比例函数y=（x ＞0）、反比例函数y=（x ＞0）的图象分别交于A 、B 两点，过点A 作y 轴的平行线交反比例函数y=（x ＞0）的图象于C 点，以AC 为边在直线AC 的右侧作正方形ACDE ，点B 恰好在边DE 上，则正方形ACDE 的面积为 ．
18．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．
24题题目．（本小题满分12分）已知节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．
（1）该生在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？(注：政府承担出厂价与成本价之间的差价)
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
25题题目：（本小题满分12分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，AD=y
（1）求y与x的函数关系式；（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；
（3）若∠APD=90°，求y的最小值．
26题题目：图见答题卡，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．
2015年高一新生入学第一次模拟考试
数学试卷答题卡
一、选择题（每小题3分，共36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项
二、填空题（每小题4分，共24分）
13、 14、 15、 16、 17、 18、
三、解答题．（共8个小题，共计90分）
19．（本大题共计两小题，每小题5分，共计10分）
（1）解方程：x2﹣5=2（x+1）（2）如图，AD=CB，求证：AB=CD．
20．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4），B（﹣1，2），C（﹣5，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点O逆时针转90°后得到的
△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
21．（本小题满分10分）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到不同颜色球的概率．
22．（本小题满分12分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数在第一象限内的图象的交于点B（2，n），连接BO，若S△AOB=4．
（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；
（2）若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．
23．（本小题满分12分）如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为弧AD的中点．
（1）求证：OF∥BD；
（2）若=，且⊙O的半径R=6cm．求图中阴影部分（弓形）的面积．
24．（题目见试卷）（本小题满分12分）25．（题目见试卷）（本小题满分12分）
26.（题目见试卷）（本小题满分12分）
湖南省凤凰县华鑫中学2015年秋高一新生入学考试数学答案
1.C
2.C
3.B
4.D
5.A
6.C
7.D
8.B
9.B 10.C 11.A 12.D 13.22 14.5
2
15.-7 16.0.5或1.5 17. 4﹣4 18.10.5
19. x 1=1+2，x 2=1﹣2．(2)略 20. （1）A 1（3，4），（2）A 2（﹣4，﹣3）．
21.1个
6
5
22. y=x+2；2 23. 6π﹣9 24.600；4000；当x=25时，p 有最小值
500．25. x y 2
；2;2 26. y=x+1; 5
18; E （0，1）或（，）或（，
）
参考答案与试题解析 一、选择题 1．若二次根式有意义，则x 的取值范围是（） A ． x≥2 B ． x ＞2
C ． x≤2
D ． x ＜2
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 解答： 解：由题意得，2﹣x≥0， 解得x≤2． 故选C ．
点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 2．C
3．下列事件中是不可能事件的是（） A ． 抛一枚硬币正面朝上 B ． 三角形中有两个角为直角 C ． 打开电视正在播广告 D ． 两实数和为正
考点： 随机事件．
分析：不可能事件就是一定不发生的事件，依据定义即可作出判断．
解答：解：A、是随机事件，故选项错误；
B、是不可能事件，选项正确；
C、是随机事件，选项错误；
D、是随机事件，选项错误．
故选B．
点评：本题考查了必然事件、随机事件以及不可能事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.D
5．若x1、x2是x2﹣6x﹣7=0的根，则x1•x2=（）
A．﹣7 B．7 C．6 D．﹣6
考点：根与系数的关系．
分析：直接根据根与系数的关系求解．
解答：解：∵x1、x2是x2﹣6x﹣7=0的根，
∴x1•x2=﹣7．
故选：A．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
6．如图，AB=AC=AD，若∠BAD=80°，则∠BCD=（）
A．80°B．100°C．140°D．160°
考点：等腰三角形的性质．
分析：先根据已知和四边形的内角和为360°，可求∠B+∠BCD+∠D的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠ACB，∠ACD=∠D，从而得到∠BCD的值．
解答：解：∵∠BAD=80°，
∴∠B+∠BCD+∠D=280°，
∵AB=AC=AD，
∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠D，
∴∠BCD=280°÷2=140゜，
故选C．
点评：考查了四边形的内角和，等腰三角形的两个底角相等的性质．
7．二次函数y=ax2+bx+c上有A（x1，y1）、B（x2，y2），x1≠x2，y1=y2，当x=x1+x2时，y=（）
A．a+c B．a﹣c C．﹣c D．c
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
分析：判断出点A、B关于对称轴对称，再根据二次函数的对称轴表示出x，然后代入二次函数解析式计算即可得解．
解答：解：∵x1≠x2，y1=y2，
∴点A、B关于对称轴对称，
∴x=x1+x2=2×（﹣）=﹣，
代入二次函数解析式得，a×（﹣）2+b×（﹣）+c=c．
故选D．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，判断出A、B关于对称轴对称并表示出x是解题的关键．
8．已知a n=（n=1，2，3，…），我们又定义b1=2（1﹣a1）=，b2=2（1﹣a1）（1﹣a2）=，b3=2（1﹣a1）（1﹣a2）（1﹣a3）=，…，根据你观察的规律可推测出b n=（）
A．B．C．D．
考点：规律型：数字的变化类．
分析：由b1=2（1﹣a1）=，b2=2（1﹣a1）（1﹣a2）=，b3=2（1﹣a1）（1﹣a2）（1﹣a3）=…可以看出第n个数的分子是n+2，分母是n+1，由此得出答案即可．
解答：解：b1=2（1﹣a1）=，
b2=2（1﹣a1）（1﹣a2）=，
b3=2（1﹣a1）（1﹣a2）（1﹣a3）=，
…
b n=．
故选：B．
点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，找出规律，解决问题．
9．已知Rt△ACB，∠ACB=90°，I为内心，CI交AB于D，BD=，AD=，则S△ACB=（）
A．12 B．6 C．3 D．7.5
考点：三角形的内切圆与内心．
专题：计算题．
分析：根据内心的性质得CD平分∠ACB，则根据角平分线定理得到==，于是可设AC=4x，BC=3x，再利用勾股定理得到AB=5x，则有5x=+，解得x=1，所以AC=4，BC=3，然后根据三角形面积公式求解．
解答：解：∵I为内心，
∴CD平分∠ACB，
∴===，
设AC=4x，BC=3x，
∴AB==5x，
∴5x=+，解得x=1，
∴AC=4，BC=3，
∴S△ACB=×4×3=6．
故选B．
点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．灵活应用角平分线定理是解题的关键．
10．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（）
A．2 B．1 C．D．
考点：切线的性质；坐标与图形性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质．
专题：压轴题；动点型．
分析：由于OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙O相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△ADC的面积；易证得△AEO∽△ACD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△AOE的面积，进而可得出△AOB和△AOE的面积差，由此得解．
解答：解：若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；
Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；
由勾股定理，得：AD=2；
∴S△ACD=AD•CD=；
易证得△AOE∽△ADC，
∴=（）2=（）2=，
即S△AOE=S△ADC=；
∴S△ABE=S△AOB﹣S△AOE=×2×2﹣=2﹣；
另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！
故选：C．
点评：此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键．
11.A
12.D
二、填空题
13．﹣=2．
考点：二次根式的加减法．
分析：先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
解答：解：原式=6﹣4
=2．
故答案为：2．
点评：本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
14．在一个袋子中装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是．
考点：概率公式．
分析：让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．
解答：解：∵袋子中共有2+3=5个球，2个红球，
∴从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是．
故答案为：．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
15．点P（3，1﹣a）在y=2x﹣1上，点Q（b+2，3）在y=2﹣x上，则a+b=﹣7．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
分析：把点P（3，1﹣a）代入y=2x﹣1，把点Q（b+2，3）代入y=2﹣x，求出ab的值，进而可得出结论．
解答：解：∵点P（3，1﹣a）在y=2x﹣1上，点Q（b+2，3）在y=2﹣x上，
∴1﹣a=6﹣1，3=2﹣（b+2），
∴a=﹣4，b=﹣3，
∴a+b=﹣7．
故答案为：﹣7．
点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
16．甲乙两人在一笔直的公路上，沿同一方向骑自行车同时出发前往A地，到A地后停止，他们距A地的路程ykm与甲行驶的时间x小时之间的关系如图所示，则出发0.5或1.5小时甲乙二人相距5km．
考点：一次函数的应用．
分析：设y甲=k1x+b1，y乙=k2x+b2，由函数图象的数据求出函数的解析式，当y甲﹣y乙=5或y乙﹣y
甲=5建立方程求出其解即可．
解答：解：设y甲=k1x+b1，y乙=k2x+b2，
由题意，得，，
解得：，，
∴y甲=﹣20x+50，y乙=﹣30x+60，
当y甲﹣y乙=5时
﹣20x+50+30x﹣60=5，
解得：x=1.5
当y乙﹣y甲=5时
﹣30x+60+20x﹣50=5，
解得：x=0.5．
故答案为：0.5或1.5．
点评：本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，
解答是求出函数的解析式是关键．
17如图，过原点的直线与反比例函数y=（x＞0）、反比例函数y=（x＞0）的图象分别交于A、B 两点，过点A作y轴的平行线交反比例函数y=（x＞0）的图象于C点，以AC为边在直线AC的右侧作正方形ACDE，点B恰好在边DE上，则正方形ACDE的面积为4﹣4．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．
分析：设直线AB的解析式为y=kx，A（m，），B（n，），则C（m，），根据直线的解析式求得k==，进而求得n=m，根据AC=AE，求得=﹣1，因为S正方形=AC2=（）2即可求得正方形ACDE的面积；
解答：解：设直线AB的解析式为y=kx，A（m，），B（n，），C（m，）
∴，
∴k==，
∴n=m，
∵AC=AE，即﹣=n﹣m，
∴=﹣m，解得：=﹣1，
∵S正方形=AC2=（）2=4×=4（﹣1）=4﹣4；
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质以及正方形的面积，两个反比例函数相交直线的交点之间的关系是本题的关键．
18．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为10.5．
考点：圆周角定理；三角形中位线定理．
专题：压轴题．
分析：由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF=AB=3.5为定值，则GE+FH=GH ﹣EF=GH﹣3.5，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值14﹣3.5=10.5．
解答：解：当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．
当GH为直径时，E点与O点重合，
∴AC也是直径，AC=14．
∵∠ABC是直径上的圆周角，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=30°，
∴AB=AC=7．
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF=AB=3.5，
∴GE+FH=GH﹣EF=14﹣3.5=10.5．
故答案为：10.5．
点评：本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键．
三、解答题．
19．解方程：x2﹣5=2（x+1）
考点：解一元二次方程-公式法．
分析：方程整理后，利用公式法求出解即可．
解答：解：方程整理得：x2﹣2x﹣7=0，
这里a=1，b=﹣2，c=﹣7，
∵△=4+28=32＞0，
∴x==1±2，
∴x1=1+2，x2=1﹣2．
点评：此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
（2）．如图，AD=CB，求证：AB=CD．
考点：圆心角、弧、弦的关系．
专题：证明题．
分析：同弧所对的圆周角相等，可得出△ADE和△CBE中两组对应角相等，已知两组对应角的夹边相等，可证得△ADE≌△CBE，得AE=CE，DE=BE，从而证得AB=CD．
解答：证明：∵同弧所对对圆周角相等，
∴∠A=∠C，∠D=∠B．
在△ADE和△CBE中，
，
∴△ADE≌△CBE（ASA）．
∴AE=CE，DE=BE，
∴AE+BE=CE+DE，即AB=CD．
点评：本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识的应用能力．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4），B（﹣1，2），C（﹣5，3）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点O逆时针转90°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换．
分析：（1）根据轴对称的性质，找到A、B、C关于y轴对称的△A1、B1、C1，连接各点即可；（2）根据轴对称的性质，找到A、B、C关于y轴对称的△A2、B2、C2，连接各点即可．
解答：解：如图
（1）A1（3，4），
（2）A2（﹣4，﹣3）．
点评：本题考查了作图﹣﹣旋转变换，作图﹣﹣轴对称变换，熟悉轴对称的性质和旋转的性质是解题的关键．
21．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到不同颜色球的概率．
考点：列表法与树状图法．
分析：（1）首先设袋中黄球的个数为x个，由从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为，利用概率公式即可得方程：=，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到不同颜色球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：（1）设袋中黄球的个数为x个，
∵从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为，
∴=，
解得：x=1，
∴袋中黄球的个数为1个；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸到不同颜色球的有10种情况，
∴两次摸到不同颜色球的概率为：P==．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
22．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数在第一象限内的图象的交于点B（2，n），连接BO，若S△AOB=4．
（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；
（2）若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．
考点：反比例函数综合题．
专题：计算题；待定系数法．
分析：（1）先由A（﹣2，0），得OA=2，点B（2，n），S△AOB=4，得OA•n=4，n=4，则点B的坐标是（2，4），把点B（2，4）代入反比例函数的解析式为y=，可得反比例函数的解析式为：y=；再把A（﹣2，0）、B（2，4）代入直线AB的解析式为y=kx+b可得直线AB的解析式为y=x+2．（2）把x=0代入直线AB的解析式y=x+2得y=2，即OC=2，可得S△OCB=OC×2=×2×2=2．
解答：解：（1）由A（﹣2，0），得OA=2；
∵点B（2，n）在第一象限内，S△AOB=4，
∴OA•n=4；
∴n=4；
∴点B的坐标是（2，4）；
设该反比例函数的解析式为y=（a≠0），
将点B的坐标代入，得4=，
∴a=8；
∴反比例函数的解析式为：y=；
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
将点A，B的坐标分别代入，得，
解得；
∴直线AB的解析式为y=x+2；
（2）在y=x+2中，令x=0，得y=2．
∴点C的坐标是（0，2），
∴OC=2；
∴S△OCB=OC×2=×2×2=2．
点评：本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．此题有点难度．
23．（8分）如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC 交于E，F两点，点C为弧AD的中点．
（1）求证：OF∥BD；
（2）若=，且⊙O的半径R=6cm．求图中阴影部分（弓形）的面积．
考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算．
分析：（1）利用垂径定理的推论得出OC⊥AD，进而求出∠BDA=90°，BD⊥AD，进而得出答案；（2）首先得出△ECF∽△EBD，进而得出FC=BD，再得出△AOC为等边三角形，利用S阴影=S扇形AOC﹣S△A OC，求出即可．
解答：（1）证明：∵OC为半径，点C为弧AD的中点，
∴OC⊥AD．
∵AB为直径，
∴∠BDA=90°，BD⊥AD．
∴OF∥BD．
（2）解：∵点O为AB的中点，点F为AD的中点，∴OF=BD．
∵FC∥BD，∴∠FCE=∠DBE．
∵∠FEC=∠DEB，∴△ECF∽△EBD，
∴==，∴FC=BD．
∴FC=FO，即点F为线段OC的中点．
∵FC=FO，OC⊥AD，∴AC=AO，
又∵AO=CO，∴△AOC为等边三角形．
∴根据锐角三角函数定义，得△AOC的高为×6=3．
∴S阴影=﹣×6×3=6π﹣9（cm2）．
答：图中阴影部分（弓形）的面积为（6π﹣9）cm2．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及扇形面积求法等知识，得出△ECF∽△EBD是解题关键．
24已知节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．
（1）该生在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
考点：二次函数的应用．
分析：（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；
（2）由总利润=销售量•每件纯赚利润，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．
解答：解：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，
300×（12﹣10）=300×2=600，即政府这个月为他承担的总差价为600元．
（2）依题意得，
w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000
∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000．
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．
（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，解得：x1=20，x2=40．
∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3000．又∵x≤25，
∴当20≤x≤25时，w≥3000．设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．
∵k=﹣20＜0．∴p随x的增大而减小，
∴当x=25时，p有最小值500．
即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
点评：本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．
25．（10分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，AD=y
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；
（3）若∠APD=90°，求y的最小值．
考点：相似形综合题．
专题：综合题；压轴题．
分析：（1）如图1，过A作AE垂直于BC，在直角三角形ABE中，由∠B=45°，AB=x，利用锐角三角函数定义表示出AE，三角形PAD的面积以AD为底，AE为高，利用三角形面积公式表示出，根据已知的面积即可列出y与x的函数关系式；
（2）根据∠APC=∠APD+∠CPD，以及∠APC为三角形ABP的外角，利用外角性质得到关系式，等量代换得到∠BAP=∠CPD，再由四边形ABCD为等腰梯形，得到一对底角相等及AB=CD，可得出三角形ABP与三角形PDC相似，由相似得比例，将CD换为AB，由y的值求出x的值，即为AB的值，即可求出PB•PC的值；
（3）取AD的中点F，过P作PH垂直于AD，由直角三角形PF大于等于PH，当PF=PH时，PF最小，此时F与H重合，由三角形APD为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PF等于AD的一半，表示出PF即为PH，三角形APD面积以AD为底，PH为高，利用三角形面积公式表示出三角形APD面积，由已知的面积求出y的值，即为最小值．
解答：解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=x，
∴AE=AB•sinB=x，
∵S△APD=AD•AE=，
∴•y•x=，
则y=；
（2）∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP，∠APD=∠B=45°，∴∠BAP=∠CPD，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
∴=，
∴PB•PC=AB•DC=AB2，
当y=1时，x=，即AB=，
则PB•PC=（）2=2；
（3）如图2，取AD的中点F，连接PF，
过P作PH⊥AD，可得PF≥PH，
当PF=PH时，PF有最小值，
又∵∠APD=90°，
∴PF=AD=y，
∴PH=y，
∵S△APD=•AD•PH=，
∴•y•y≥，即y2≥2，
∵y＞0，
∴当取“=“时，y取最小值，
则y的最小值为．
点评：此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：等腰梯形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
26．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
专题：综合题．
分析：（1）将点A、C的坐标代入抛物线解析式可得出b、c的值，继而得出抛物线解析式，利用待定系数法可求出AC的函数解析式；
（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到N点关于直线x=3的对称点N′，连接N'D，N'D与直线x=3的交点即是点M的位置，继而求出m的值．
（3）设出点E的坐标，分情况讨论，①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质表示出F的坐标，将点F的坐标代入抛物线解析式可得出x的值，继而求出点E的坐标．
解答：解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3），可得：，
解得：，
故抛物线为y=﹣x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+n，将点A（﹣1，0）、C（2，3）代入得：，解得：，
故直线AC为y=x+1．
（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
可求出直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，
当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
则m=﹣×3+=．
（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）
点E在直线AC上，设E（x，x+1），
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3=﹣x2+2x+3
解得，x=0或x=1（舍去），
则点E的坐标为：（0，1）．
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），
∵点F在抛物线上，
∴x﹣1=﹣x2+2x+3，
解得x=或x=，
即点E的坐标为：（，）或（，）
综上可得满足条件的点E为E（0，1）或（，）或（，）．
点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、轴对称求最短路径及平行四边形的性质，同学们注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通．。