江苏省扬州中学2019-2020学年高二数学12月月考试题

江苏省扬州中学2019—2020学年度第一学期月考
高二数学
（试题满分：150分 考试时间：120分钟） 2019.12
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑. 1．等差数列{a n }中，a 3=−6，a 7=a 5+4，则a 1=（ ） A ．−10 B ．2− C ．2 D ．10
2．方程
x 2
m−2
+y 2
3−m =1表示焦点在x 轴上的椭圆的一个必要不充分条件是（ ） A ．2＜m ＜3 B ．2＜m ＜5
2 C ．5
2＜m ＜3 D ．11
4＜m ＜3
3．数列2，4
3，8
5，16
7，32
9…的一个通项公式a n 等于（ ） A ．2n
2n−1
B ．2n
n
C ．
2n
2n−1
D ．
2n
2n+1
4．已知△ABC 为等腰直角三角形，其顶点为,,A B C ，若双曲线E 以A,B 焦点，并经过顶点C ，该双曲线E 的离心率是（ ）
A ．√2−1
B ．√22
C ．√2
D ．√2+1
5．《趣味数学·屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？” （ ） A ．5×230
B ．5×229
C ．230−1
D ．5×(230−1)
6．如图所示，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，设AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，N 是BC 的中点，试用a ，b ⃗ ，c 表示A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．−a +b ⃗ +12
c
B ．−a +b ⃗ +c
C ．−a −b ⃗ +12
c
D ．a −b ⃗ +12
c
7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n +16a n +3
的最小值为（ ） A ．4
B ．3
C ．2√3−2
D ．2
8．已知F 是双曲线C:x 2−y 28
=1的右焦点，P 是C 左支上一点，A(0,6√6)，当ΔAPF 周长最小时，该三角形
的面积为（ ） A
．B ．4√6 C ．12√6
D ．8√6
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是 正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求 涂黑.
9．下列说法中正确的是（ ）
A ．“|x |=2019”是“x =2019”的充分条件
B ．“x =−1”的充分不必要条件是“x 2−2x −3=0”
C ．“m 是实数”的充分必要条件是“m 是有理数”
D ．若b <a <0，则1a <1
b 10．已知等比数列{a n }中，满足a 1=1,q =2，则（ ） A ．数列{a 2n }是等比数列 B ．数列{1
a n
}是递增数列
C ．数列{log 2a n }是等差数列
D ．数列{a n }中，S 10,S 20,S 30仍成等比数列
11．已知三个数1,a,9成等比数列，则圆锥曲线
x 2a
+
y 22
=1的离心率为（ ）
A ．√5
B ．√33
C ．
2
D ．√3
12．已知点F 是抛物线()2
20y px p =>的焦点，AB,CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD ，AB 的斜率为k ，且k >0，C,A 两点在x 轴上方.则下列结论中一定成立的是（ ） A ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−34p 2 B ．四边形ACBD 面积最小值为16p 2
C ．1
|AB |+1
|CD |=1
2p D ．若|AF |⋅|BF |=4p 2，则直线CD 的斜率为−√3
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题 卡相应位置．
13．已知空间向量a =(−√32
,12
,1)b ⃗ =(−√32
,12
,0),若空间单位向量c 满足:c ⋅a =c ⋅b
⃗ =0，则c =______. 14．己知命题p ：∃m ∈[−1,1]，a 2−5a −3<m +2，且p 是假命题，则实数a 的取值范围是______． 15．已知数列{a n }的通项公式是a n =2n +3(n ∈N ∗)，数列{b n }满足b n+1=a b n (n ∈N ∗)且b 1=a 1，则数列{b n }的通项公式b n =________．
16．抛物线x 2=2py(p >0)上一点A(√3,m)(m >1)到抛物线准线的距离为13
4，点A 关于y 轴的对称点为B ，O 为坐标原点，ΔOAB 的内切圆与OA 切于点M ，点N 为内切圆上任意一点，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为_______． 四、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
(1)已知x >2，求3x +1x−2的最小值; (2) 已知a >0,b >0,且1a +2
b =2，求a +b 的最小值.
已知数列{a n}前n项和S n满足S n=2n+1−2(n∈N∗), {b n}是等差数列,且a3=b4−2b1,b6=a4．
（1）求{a n}和{b n}的通项公式；
（2）求数列{(−1)n b n2}的前2n项和2n
T．
19.（本小题满分12分）
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，边长为2，利用综合法完成以下问题：
（1）求点A1到平面ACB1的距离；（2）求二面角A−B1C−A1的余弦值.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD,AB=2,BC=1，PC=PD=√2，E为PB中点．利用空间向量方法完成以下问题：
（1）求二面角E−AC−D的余弦值；
（2）在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求PM
PD
的值；若
不存在，说明理由．
C1
已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+a n-2．
（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2n(n−1)
na n
（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n;
（3）是否存在实数λ使得T n+2＞λ•S n对n∈N+恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在说明理由．22.（本小题满分12分）
已知椭圆C:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)，与x轴负半轴交于A(−2,0)，离心率e=1
2
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，连接AM，AN并延长交直线x=4于
E(x3,y3)，F(x4,y4)两点，若1
y1+1
y2
=1
y3
+1
y4
，直线MN是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不
是，请说明理由.。