14.2三角形的外角与外角和(第2课时)(教学课件)-七年级数学下册同步精品课堂(沪教版)

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∴相邻角为180°-30°=150°,
∵三角形的底角不能为钝角,
∴150°角为顶角,
∴底角为:(180°-150°)÷2=15°;
∵等腰三角形的一个外角是110°,
∴与这个外角相邻的内角是180°-110°=70°,


①70°角是顶角时,它的底角为: (180°-70°)=55°,
②70°角是底角时,它的底角70°,
讨论:如何说明这个结论的正确性?
已知:△ABC.说明:∠1+∠2+∠3=360°
1
证法2:
因为∠1+ ∠4=180°
∠2+ ∠5=180°
A
B
4
5
3
6
∠3+ ∠6=180° (平角的意义)
2
所以∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4+ ∠5+∠6=540°
又因为∠4+ ∠5+∠6=180° (三角形内角和为180°)
证法1:
因为∠1=∠5+∠6
∠2=∠4+∠6
1
(三角形的一个外 B
5
角等于不相邻பைடு நூலகம்两
∠3=∠4+∠5 个内角之和)
2
所以∠1+ ∠2+ ∠3= 2(∠4+ ∠5+∠6)
A
4
3
6
又因为∠4+ ∠5+∠6=180° (三角形内角和为180°)
所以∠1+ ∠2+ ∠3=360°
C
验 证 三角形的外角和等于360°
所以∠ B=180°- ∠ BAC- ∠ C=180°-70°-40°=70°(等式性质)
概 念 三角形的外角和
从每个内角相邻的
两个外角中分别取
一个,这样的三个外
角相加所得的和,
叫做三角形的外角
和.

1 4
5
B2

6 C
验 证 三角形的外角和等于360°
讨论:如何说明这个结论的正确性?
已知:△ABC.说明:∠1+∠2+∠3=360°
所以∠1+ ∠2+ ∠3=360°
C
课后练习
1.如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角,那么这个三角形为( A )
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.以上都不对
【解析】解:∵三角形的一个外角小于和它相邻的内角,
∴该外角小于90度,与它相邻的内角大于90度,
∴这个三角形为钝角三角形.
故选:A.
,则∠BPC= ______
122° ;
(2)如图2,△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分
线交于点E.其中∠A=α,求∠BEC.(用α表示∠BEC);
(3)如图3,∠CBM、∠BCN为△ABC的外角,∠CBM、∠BCN的平分
线交于点Q,请你写出∠BQC与∠A的数量关系,并说明理由.




∴∠QBC= (∠A+∠ACB),∠QCB= (∠A+∠ABC).
∵∠QBC+∠QCB+∠BQC=180°,
∴∠BQC=180°-∠QBC-∠QCB,




=180°- (∠A+∠ACB)- (∠A+∠ABC),






=180°- ∠A- (∠A+∠ABC+∠ACB),
=180°- ∠A-90°
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
符号语言:
∠ACD=∠A+∠B (三角形的一个外角等于与它不相邻的
两个内角的和).
D
A
B
C
D
三角形的外角与任意一个与它不相邻的内角有怎样的数量关系?
三角形外角的性质2:
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
符号语言:
∠ACD > ∠A(或∠B)
③三角形的任何两边之差小于第三边,正确,故③不符合题意;
④三角形的任一内角不一定小于它的外角,故④符合题意.
∴错误的是②④,
故选:B.
3.如图,在△ABC中,∠BAC=80°,∠B=30°,AD平分
∠BAC,则∠ADC的度数为( C )
A.90°
B.95°
C.70°
D.50°
【解析】解:∵AD平分∠BAC,
【解析】解:∵∠A+∠C=105°,∠A=35°,
∴∠C=105°-35°=70°.
故答案为:70°.
15 度;如果等
8.如果等腰三角形的一个外角是30°,那么它的底角是 ____
55°或70° .
腰三角形的一个外角是110°,那么它的底角是度 ____________
【解析】解:∵等腰三角形的一个外角为30°,
所以∠ACB+∠ABC=90°,
又因为∠1+∠ACB=180°,
∠2+∠ABC=180°,
所以∠1+∠2=270°,
故选:B.
5.如图,一副三角板,如图所示叠放在一起,则图中∠α
的度数是( C )
A.55°
B.65°
C.75°
D.85°
【解析】解:如图,∵∠1=60°,∠2=45°,
∴∠α=180°-45°-60°=75°,
这两个外角大小相等.
对顶角相等.
三角形的外角:
三角形的一边与另一边的延长线
组成的角叫做三角形的外角.
即一个内角的邻补角
A
外角
B
C
D
A
三角形的外角与内角有怎样的位置关系?
相邻和不相邻.
B
三角形的外角与相邻的内角有怎样的数量关系?
三角形的外角与相邻的内角是互补的关系.
即:∠ACD+∠ACB=1800 .
点,且 ∠CAD=∠C,,∠ADB=80°,
A
(1)求∠C的度数.
(2)求∠B的度数.
解 (1)因为 ∠ADB=∠CAD+ ∠ C(三角形的
一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),
又 ∠ CAD= ∠ C, ∠ ADB=80°(已知)
所以 ∠ C+ ∠ C=80°(等量代换)
1
所以 C 80 40(等式性质)
三角形的一个外角与它不相邻的两个内角
有怎样的数量关系?
C
D
A
图形语言:
∵ ∠ACD+∠ACB=1800(邻补角的意义).
∠A+∠B+∠ACB=1800
(三角形的内角和等于1800 ).
B
C
∴∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+∠ACB (等量代换).
∴∠ACD=∠A+∠B
(等式性质).
三角形外角的性质1:
所以,它的底角是55°或70°.
故答案为:15°;55°或70°.
9.如图,E为△ABC的BC边上一点,点D在BA的延长
线上,DE交AC于点F,∠B=46°,∠C=30°,
34° .
∠EFC=70°,则∠D= _____
【解析】解:∵∠B=46°,∠C=30°,
∴∠DAC=∠B+∠C=76°,
∵∠EFC=70°,

=90°+ ∠A


=90 ° + × °

=122°.
故答案为:122°;
(2)∵BE是∠ABD的平分线,CE是∠ACB的平分线,


∴∠ECB= �� ∠ACB,∠EBD= ∠ABD.

∵∠ABD是△ABC的外角,∠EBD是△BCE的外角,
∴∠ABD=∠A+∠ACB,∠EBD=∠ECB+∠BEC,


∠ ABC,∠PCB=


∠ACB(角平分线的定义),
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°(三角形内角和定理),
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)






=180°-( ∠ABC+ ∠ACB)=180°- (∠ABC+∠ACB)


=180°- (180°-∠A)


=180°-90°+ ∠A
(4)如图4,△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q,∠A=64°,
∠CBQ,∠BCQ的平分线交于点P,则∠BPC= _____
119 °,延长BC至点E
,∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R,则∠R=29____ °.
【解析】解:(1)∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠PBC=


=90°- ∠A;




(4)由(3)可知,∠BQC=90°- ∠A=90°- × ° =58°,




由(1)可知∠BPC=90°+ ∠BQC=90°+ × ° =119°;


由(2)可知,∠R= ∠BQC=29°
故答案为119,29.
谢谢
2.下列说法错误的有( B )
①三角形任何两边之和大于第三边
②三角形的一个外角大于任何一个内角
③三角形的任何两边之差小于第三边
④三角形的任一内角都小于它的外角
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】解:①三角形任何两边之和大于第三边,正确,故①
不符合题意;
②三角形的一个外角不一定大于任何一个内角,故②符合题意;
______ +∠C+ ∠CAD
______ .
∴∠BDC=∠B+ ∠BAD
∵∠BAC=51°,∠B=20°,∠C=30°,
101° .
∴∠BDC= ______
【解析】解:∵∠BDE=∠B+∠BAD,
∠CDE=∠C+∠CAD,
∵∠BDC=∠BDE+∠CDE,
∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD.
(三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角).
图中有与∠B、∠C相邻的外角吗?
例题3 已知△ABC中,∠A=30°,∠C=50°,求分别与∠B、
∠C相邻的一个外角的度数.
A
用三个字母表示
解:作CB的延长线BD,
则∠ABD是∠ABC相邻的一个外角.
作BC的延长线CE,
30°

50°

D
B
C
E
则∠ACE是∠ACB相邻的一个外角.
∵∠BAC=51°,∠B=20°,∠C=30°,
∴∠BDC=101°.
故答案为:∠BAD,∠CAD,∠BAD,∠CAD,101°.
12.某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三
个内角的数量关系”进行了探究.
(1)如图1,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,∠A=64°
∵∠ACE+∠ACB=1800 (邻补角的意义),
(已知),
又∵∠ACB =50°
(等式性质).
∴∠ACE=130°
∵∠ABD=∠A+∠ACB (三角形的一个外角等于与它不相
邻的两个内角的和).
(已知),
又∵∠A=30°
∴∠ABD=80°
(等式性质).
例题4 如图,已知∠BAC=70° D是△ABC的边BC上的一




∴∠BAD= ∠BAC= ×80°=40°,
又∵∠ADC是△ABD的外角,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=30°+40°=70°.
故选:C.
4.如图,已知在△ABC中,∠A=90°,∠1+∠2的
度数是( B )
A.180°
B.270°
C.360°
D.无法确定
【解析】解:在△ABC中,∠A=90°,
2023-2024学年沪教版七年级下册数学课件
14.2三角形的外角与外
角和(第2课时)
如图所示, ∠ACD 与∠ACB 有什么位置关系?
∠ACD与∠ACB 互为邻补角
A
我们把三角形一个内角的邻补角称为
三角形的一个外角.
B
D
C
E
在三角形中,与一个内角相邻的外角
有几个?
与一个内角相邻的外角有两个.
这两个的外角的大小关系如何?为什么?
∴∠AFD=70°,
∴∠D=180°-∠DAC-∠AFD=34°,
故答案为:34°.
10.已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD平分外角∠EAC,AD与
BC的位置有何关系?并说明理由.
【解析】解:AD∥BC.
∵∠EAC=∠B+∠C,∠B=∠C,
∴∠EAC=2∠B.
又∵AD平分外角∠EAC,
∴∠EAC=2∠EAD,
∴∠B=∠EAD,
∴AD∥BC.
11.如图,∠A=51°,∠B=20°,∠C=30°,求∠BDC的度
数.
分析:连接AD并延长至点E,
要求∠BDC的度数,只需求∠BDE+∠CDE即可,
______ ,
解:∵∠BDE=∠B+ ∠BAD
______ ,
∠CDE=∠C+ ∠CAD
∵∠BDC=∠BDE+∠CDE,




∴∠EBD= ∠ABD= (∠A+∠ACB)=∠BEC+∠ECB,即
∠A+∠ECB=∠ECB+∠BEC,


∴∠BEC= ∠A=








(3)结论:∠BQC=90°- ∠A.
理由如下:∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角,
∴∠CBM=∠A+∠ACB,∠BCN=∠A+∠ABC,
∵BQ,CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线,
2
B
D
C
例题4 如图,已知∠BAC=70° D是△ABC的边BC上的一
点,且 ∠CAD=∠C,,∠ADB=80°,
A
(1)求∠C的度数.
(2)求∠B的度数.
B
D
C
(2)因为 ∠BAC+ ∠ B+ ∠ C=180°(三角形的内角和等于180°) .
又 ∠ BAC=70°(已知),
所以 70°+ ∠ B+ 40°=180°(等量代换)
故选:C.
直角 三角
6.如果三角形的一个内角等于它的外角,那么这个三角形是 _____
形.
【解析】解:不妨设∠A+∠B=∠C,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形,
故答案为:直角.
70° .
7.在△ABC中,∠A=35°,∠B的外角等于105°,那么∠C= _____
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