人教A版选修4-5 1.1.2基本不等式 作业

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我夯基我达标
1.log a b+log b a ≥2成立的必要条件是（ ）
Aa>1,b>1 Ba>0,0<b<1
C(a-1)(b-1)>0 D 以上都不对
思路解析：因为log a b 与log b a 互为倒数，符合基本不等式的结构.但两个数应是正数,所以a,b 同时大于1或a,b 都属于区间(0,1).
答案:C
2.下列命题中:①x+x 1最小值是2;②1222++x x 的最小值是2;③4
522++x x 的最小值是2;④2-3x-x
4的最小值是2.其中正确命题的个数是（ ） A1个 B2个 C3个 D4个 思路解析:当x<0时,x+
x 1无最小值,故①错误; 当x=0时,12
22++x x 的最小值是2,②正确; 当44
1
22+=+x x 时,4522++x x 取得最小值2. 但此时x 2=-3,所以45
22++x x 取不到最小值2,故③错误;
当x>0时,2-3x-x
4<0,故④错误. 答案:A
3.设x,y ∈R +,且满足x+4y=40,则lgx+lgy 的最大值是（ ）
A40 B10 C4 D2
思路解析：因为x,y ∈R +,∴244y x xy +≤
. ∴4
4y x xy +≤=10.∴xy ≤100. ∴lgx+lgy=lgxy ≤lg100=2.
答案：D
4.设x,y ∈R +，且xy-(x+y)=1,则（ ）
Ax+y ≥2(2+1) Bx ·y ≤2+1
Cx+y ≤(2+1)2 Dx ·y ≥2(2+1)
思路解析：因为xy-(x+y)=1,
∴x+y+1=xy ≤(2
y x +)2
所以(x+y)2-4(x+y)-4≥0.
所以x+y ≥2
16164++=2+22, 或x+y ≤2-22(舍去).
答案：A
5.若a>b>1，P=b a lg lg •，Q=2
1（lga+lgb ）,R=lg(2b a +),则（ ） AR<P<Q BP<Q<R
CQ<P<R DP<R<Q
思路解析：∵a>b>1⇒lga>0,lgb>0,
∴Q=12(lga+lgb)>b a lg lg •=P, R>ab lg =2
1(lga+lgb)=Q ⇒R>Q>P. 答案：B
6.设x,y ∈R ,且x+y=5,则3x +3y 的最小值是 ……（ ） A10 B63 C 64 D183
思路解析：3x +3y ≥31832323325===•+y x y x . 答案：D
7.已知lgx+lgy=2,则x 1+y
1的最小值为__________. 思路解析：∵lgx+lgy=2,
∴lgxy=2,xy=102. ∴5
11001002211==≥+=+xy xy xy y x y x . 答案：15
8.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=__________吨.
思路解析：设一年总费用为y 万元，则y=4×x 400+4x=x
1600+4x ≥x x 416002⨯=160. 当且仅当x
1600=4x,即x=20时，等号成立. 答案：20
9.（1）求函数y=
3
1-x +x(x>3)的最小值; (2)设x>-1，求函数y=1)2)(5(+++x x x 的最小值.
解：（1）∵x>3,
∴y=1x-3+x=1x-3+(x-3)+3≥5（当且仅当x-3=1x-3，即x=4时，即“=”号）.
∴y min =5.
(2)因为x>-1,所以x+1>0,
设x+1=t>0,则x=t-1，
把x=t-1代入y=t
t t t t x x x 45451)2)(5(2++=++=+++. =5+(t+t
4)≥5+t t 42⨯=5+4=9. 当且仅当t=2即x=1时上式等号成立.
所以当x=1时函数y 有最小值9.
我综合我发展
10.若关于x 的不等式（1+k 2）x ≤k 4+4的解集是M ，则对任意常数k ，总有（ ）
A2∈M,0∈M B2∉M,0∉M
C2∈M,0∉M D2∉M,0∈M
思路解析：由(1+k 2)x ≤k 4
+4,得x ≤2414k k ++, 令f(k)=2414k
k ++,再令k 2+1=t(t ≥1),则k 2=t-1, f(k)=t t t t t 524)1(22+-=+-=t+t
5-2≥52-2>4-2=2.(当且仅当t=5t,即t=5时“=”成立).
所以2∈M,0∈M.
答案：A
11.已知不等式（x+y ）(x 1+y
a )≥9对任意正实数x,y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A2 B4 C6 D8
思路解析：（x+y ）(y
a x +1)=1+a+x y y ax +≥1+a+a 2 =(a +1)2(当且仅当x
y =a 时取等号). ∵(x+y)(x 1+y
a )≥9对任意正实数x,y 恒成立. ∴需(a +1)2≥9.∴a ≥4.
答案：B
12.若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c 的最小值为（ ） A 3-1 B 3+1 C23+2 D23-2
思路解析：由a(a+b+c)+bc=4-32,
得(a+b)(a+c)=4-32.
∵a,b,c>0,
∴(a+c)(a+b)≤(22c
b a ++)2(当且仅当a+c=b+a,即b=
c 时取“=”号).
∴2a+b+c ≥3242-=2(3-1)=32-2.
答案：D
13.已知a>0,b>0,a,b 的等差中项是21
，且α=a+a 1,β=b+b 1
,则α+β的最小值是（
）
A3 B4 C5 D6
思路解析：由题意，知a+b=1,则α+β=a+a 1+b+b 1=1+ab 1≥1+
2
)2(1
b a +=5.
答案：C
14.a>0,b>0,给出下列四个不等式：
①a+b+ab 1
≥22;
②(a+b)(a 1+b 1
)≥4; ③ab b a 2
2+≥a+b;
④a+41
+a ≥-2.
其中正确的不等式有__________（只填序号）.
思路解析：①正确.∵a>0,b>0,
∴a+b+ab 1≥ab 2+ab 1
≥2·ab 2·ab 1=22;
②正确.(a+b)(a 1+b 1
)≥ab 4×ab 1
=4;
③正确.∵2222b
a b a +≥+,
∴a 2+b 2≥2(2b a +)2=(a+b)2
)(b a +≥(a+b)ab , ∴ab b a 2
2+≥a+b;
④a+41+a =(a+4)+4
1+a -4≥41)4(2+•+a a -4=2-4=-2. 当且仅当a+4=4
1+a ,即(a+4)2=1时等号成立. 而a>0,∴(a+4)2≠1,∴等号不能取得.
综上可知①②③正确.
答案：①②③
15.某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年产量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系式为Q=1
13++x x (x ≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.
(1)试将利润y （万元）表示为年广告费x(万元)的函数.如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
（注： ①“年平均每件成本”中不计广告费支出；②假定每年生产的产品当年全部售出） 解：（1）利润=年收入-年成本-年广告费，售价=
Q Q 323+×150%+Q
x ×50%， 收入=（3+32Q ）×150%+50%x,
∴y=(3+32Q)×150%+50%x-(3+32Q)-x =
2
1(32Q+3-x) =21(32×1
13++x x +3-x) =2
1［32×(3-2x+1)+3-x ］ =50-21(1
64+x +x+1). 当x=100时,y=50-12(10164+101)<0, ∴此时企业亏损.
(2)∵64x+1+x+1≥642=16,
∴y=50-
21(1
64+x +x+1)≤50-8=42. 当且仅当164+x =x+1,即x=7时取等号.
故当广告投入7万元时，企业年利润最大. y max=42.。