2020年山东省菏泽中考数学试卷附答案解析版

数学试卷 第1页（共6页） 数学试卷 第2页（共6页）
绝密★启用前
2020年山东省菏泽市初中学业水平考试
数 学
注意事项：
1.本试题共24个题，考试时间120分钟.
2.请把答案写在答题卡上，选择题用2B 铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其他区域不得分.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四
个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）
1.（3分）下列各数中，绝对值最小的数是
（ ）
A .5-
B .1
2 C .1-
D 2.（3分）函数y x 的取值范围是
（ ）
A .5x ≠
B .2x ＞且5x ≠
C .2x ≥
D .2x ≥且5x ≠
3.（3分）在平面直角坐标系中，将点()32P -，向右平移3个单位得到点P '，则点P '关于x 轴的对称点的坐标为
（ ）
A .()02-，
B .()02，
C .()62-，
D .()62--，
4.（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为
（ ）
A
B
C
D
5.（3分）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是
（ ）
A .互相平分
B .相等
C .互相垂直
D .互相垂直平分
6.（3分）如图，将ABC △绕点A 顺时针旋转角α，得到ADE △，若点E 恰好在CB 的延长线上，则BED ∠等于
（ ）
A .
2
α
B .2
3
α
C .α
D .°180α-
7.（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程240x x k -+=的两个根，则k 的值为
（ ）
A .3
B .4
C .3或4
D .7
8.（3分）一次函数y acx b =+与二次函数2
y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图
象可能是
（ ）
A
B
C
D
-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无--------------------效------------
---- 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________
________________ _____________
数学试卷 第3页（共6页） 数学试卷 第4页（共6页）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果
填写在答题卡的相应区域内）
9.（3
分）计算
)
4
4的结果是________.
10.（3分）方程
11
1
x x x x -+=-的解是________. 11.（3分）如图，在ABC △中，°90ACB ∠=，点D 为AB 边的中点，连接CD ，若4BC =，
3CD =，则cos DCB ∠的值为________.
12.（3分）从1-，2，3-，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a ，b 的值，得到
反比例函数ab
y x =，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是________.
13.（3分）如图，在菱形OABC 中，OB 是对角线，2OA OB ==，O 与边AB 相切于点D ，则图中阴影部分的面积为________.
14.（3分）如图，矩形ABCD 中，5AB =，12AD =，点P 在对角线BD 上，且BP BA =，连接AP 并延长，交DC 的延长线于点Q ，连接BQ ，则BQ 的长为________.
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内.）
15
.计算：()
2020
2020
11234522-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭
.
16.先化简，再求值：2
1242244a a a a a a -⎛
⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中a 满足2230a a +-=. 17.如图，在ABC △中，°90ACB ∠=，点E 在AC 的延长线上，ED AB ⊥于点D ，若
BC ED =，求证：CE DB =.
18.某兴趣小组为了测量大楼CD 的高度，先沿着斜坡AB 走了52米到达坡顶点B 处，
然后在点B 处测得大楼顶点C 的仰角为53°，已知斜坡AB 的坡度为1:2.4i =，点A 到大楼的距离AD 为72米，求大楼的高度CD .
（参考数据：°4sin 535≈，°3cos535≈，°4
tan533
≈）
19.某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随
机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A ：6070x ≤＜；B ：7080x ≤＜；C ：8090x ≤＜；D ：90100x ≤＜，并绘制出如图不完整的统计图.
（1）求被抽取的学生成绩在C ：8090x ≤＜组的有多少人？
数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）
（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？
（3）若该学校有1 500名学生，估计这次竞赛成绩在A ：6070x ≤＜组的学生有多少
人？
20.如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m
y x
=
的图象相交于()12A ，，()1B n -，两点.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB 交x 轴于点C ，点P 是x 轴上的点，若ACP △的面积是4，求点P 的
坐标.
21.今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材.已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元. （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若
要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案.
22.如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O 与BC 相交于点D ，过点D 作
O 的切线交AC 于点E .
（1）求证：DE AC ⊥；
（2）若O 的半径为5，16BC =，求DE 的长.
23.如图1，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OA OC =，OB OD CD =+.
图1 图2
（1）过点A 作AE DC 交BD 于点E ，求证：AE BE =； （2）如图2，将ABD △沿AB 翻折得到ABD '△. ①求证：BD CD ' ；
②若AD BC ' ，求证：22CD OD BD = . 24.如图，抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，
与y 轴相交于点C ，2OA =，4OB =，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，
BD ，BC ，CD .
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D 在x 轴的下方，当BCD △的面积是
9
2
时，求ABD △的面积； （3）在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点
N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点，以BD 为一边的四边形是平行四边形，
若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.
-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无--------------------效------------
---- 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________
________________ _____________
2020年山东省菏泽市初中学业水平考试
数学答案解析
一、 1.【答案】B
【解析】根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可.
解：55-=∵，
11
22
=，11-=，
1
512∵＞，
∴绝对值最小的数是1
2
.
故选：B .
本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键. 【考点】实数的大小比较 2.【答案】D
【解析】由分式与二次根式有意义的条件得函数自变量的取值范围. 解：由题意得：
20
50
x x -⎧⎨
-≠⎩≥， 解得：2x ≥且5x ≠. 故选D .
本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式与二次根式有意义的条件是解题的关键. 【考点】函数自变量的取值范围 3.【答案】A
【解析】先根据点向右平移3个单位点的坐标特征：横坐标加3，纵坐标不变，得到点P '的坐标，再根据关于x 轴的对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数，得到对称点的坐标即可. 解：∵将点()32P -，向右平移3个单位得到点P '，
∴点P '的坐标是()02，
， ∴点P '关于x 轴的对称点的坐标是()02，-.
故选：A .
本题考查平移时点的坐标特征及关于x 轴的对称点的坐标特征，熟练掌握对应的坐标特征是解题的关键. 【考点】平移时点的坐标特征，关于x 轴的对称点的坐标特征 4.【答案】A
【解析】从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数判断出主视图图形即可.
解：从正面看所得到的图形为.
故选：A .
考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图.掌握以上知识是解题的关键. 【考点】几何体的三视图 5.【答案】C
【解析】由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形.
解：由矩形的性质知，矩形的四角为直角，即每组邻边互相垂直，故原四边形的对角线应互相垂直. 故选：C .
此题主要考查了矩形的判定定理，画出图形进而应用平行四边形的判定以及矩形判定是解决问题的关键. 【考点】矩形的判定定理 6.【答案】D
【解析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360º即可求解. 解：ABC ADE ∠=∠∵，
°180ABC ABE ∠+∠=， °180ABE ADE ∠+∠=∴， °180BAD BED ∠+∠=∵， BAD α∠=∵
°180BED α∠=-∴，
故选：D .
本题考查了旋转的性质、四边形的内角和是360º，熟练掌握旋转的性质是解答的关键. 【考点】旋转的性质，四边形的内角和是360º
7.【答案】C
【解析】分类讨论：当3为等腰三角形的底边，则方程有等根，所以0∆=，求解即可，于是根据根与系数的关系得两腰的和4=，满足三角形三边的关系；当3为等腰三角形的腰，则3x =为方程的解，把3x =代入方程可计算出k 的值即可.
解：当3为腰长时，将3x =代入240x x k -+=，得23430k -⨯+=，解得3k =； 当3为底边长时，关于x 的方程240x x k -+=有两个相等的实数根，
()2
4410k ∆=--⨯⨯=∴，
解得4k =，此时两腰之和为4，43＞，符合题意.
k ∴的值为3或4，
故选：C .
本题考查了一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的解以及根与系数的关系等腰三角形的性质和三角形的三边关系，注意解得k 的值之后要看三边能否组成三角形.
【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系，等腰三角形的性质和三角形的三边关系 8.【答案】B
【解析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y 轴的关系即可得出a 、b 的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论.
【详解】解：A 、由抛物线可知，0a ＞，0b ＜，0c ＞，则0ac ＞，由直线可知，0ac ＞，0b ＞，故本选项错误；
B 、由抛物线可知，0a ＞，0b ＞，0c ＞，则0ac ＞，由直线可知，0ac ＞，0b ＞，故本选项正确；
C 、由抛物线可知，0a ＜，0b ＞，0c ＞，则0ac ＜，由直线可知，0ac ＜，0b ＜，故本选项错误；
D 、由抛物线可知，0a ＜，0b ＜，0c ＞，则0ac ＜，由直线可知，0ac ＞，0b ＞，故本选项错误. 故选：B .
本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a 、b 的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键.
【考点】二次函数的图象，一次函数图象与系数的关系 二、
9.【答案】13-
【解析】根据平方差公式计算即可.
原式2
2431613=
-=-=-.
故答案为13-.
本题考查平方差公式和二次根式计算，关键在于牢记公式. 【考点】平方差公式，二次根式计算 10.【答案】13
x =
【解析】方程两边都乘以()1x x -化分式方程为整式方程，解整式方程得出x 的值，再检验即可得出方程的解. 解：方程
11
1
x x x x -+=-， 去分母得：()()2
11x x x -=+， 整理得：2221x x x x -+=+， 解得：13
x =
， 经检验1
3
x =
是分式方程的解. 故答案为：13
x =
. 本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论. 【考点】解分式方程 11.【答案】
2
3
【解析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DC DB =，DCB B ∠=∠，根据锐角三角函数的定义即可求解.
解：过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，
°90ACB ∠=∵，DE BC ⊥，
DE AC ∴ ，
又∵点D 为AB 边的中点，
1
22
BE EC BC ==
=∴， 在Rt DCE △中，2
cos 3
EC DCB CD ∠=
=，
故答案为：
23
.
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和三角函数的定义是解题的关键.
【考点】直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义 12.【答案】
2
3
【解析】从1-，2，3-，4中任取两个数值作为a ，b 的值，表示出基本事件的总数，再表示出其积为负值的基础事件数，按照概率公式求解即可. 解：画树状图得：
则共有12种等可能的结果，
∵反比例函数ab
y x
=中，图象在二、四象限， 0ab ∴＜，
∴有8种符合条件的结果， P ∴（图象在二、四象限）82123
=
=， 故答案为：
23
. 本题结合反比例函数图象的性质，考查了概率的计算，能准确写出基本事件的总数，和满足条件的基本事件数，是解题的关键.
【考点】反比例函数图象的性质，概率的计算
13.【答案】
【解析】连接OD ，先求出等边三角形OAB 的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积. 解：连接OD ，
∵四边形OABC 为菱形， OA AB =∴, OA OB =∵， OA OB AB ==∴
OAB ∴△是等边三角形， °60A AOB ∠=∠=∴， AB ∵是O 的切线， OD AB ⊥∴，
sin OD OA A == ∴
同理可知，OBC △为等边三角形，
°60BOC ∠=∴，
∴图中阴影部分的面积()
2
1202360
ππ⨯
=-
==-；
故答案为：π-.
本题考查了求不规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确求出等边三角形的面积和扇形的面积.
【考点】求不规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形
14.【答案】
【解析】由矩形的性质求得BD ，进而求得PD ，再由AB CD 得BP AB AB
PD DQ CD CQ
==
+，求得CQ ，然后由勾股定理解得BQ 即可.
解：∵矩形ABCD 中，5AB =，12AD =，
°90BAD BCD ∠=∠=，
13BD ==∴， 5BP BA ==∵，
8PD BD BP =-=∴，
BA BP =∵，
BAP BPA DPQ ∠=∠=∠∴，
AB CD ∵ ， BAP DQP ∠=∠∴， DPQ DQP ∠=∠∴， 8DQ DP ==∴，
853CQ DQ CD DQ AB =-=-=-=∴，
在Rt BCQ △中，根据勾股定理，得
BQ ===.
故答案为：.
本题考查了矩形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，会利用平行线成比例定理列相关比例式是解答的关键.
【考点】矩形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理 三、
15
.【答案】原式2020
1132221
31
2122
⎛⎫=++--⨯ ⎪⎝⎭=++-=.
【解析】根据负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，积的乘方公式的逆向应用进行计算即可. 本题考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，积的乘方公式的逆向应用，熟知以上运算是解题的关键.
【考点】负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，积的乘方公式的逆向应用
16.【答案】解：原式()()()()()
()
2222222241242
2222824
2422
4222224a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
⎛⎫+-=-÷ ⎪+++⎝⎭+-=+--+=+-=+=+=+ . 2230a a +-=∵，
223a a +=∴.
则原式236=⨯=. 【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再代值计算即可求出值.此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键.
【考点】分式的化简求值
17.【答案】证明：ED AB ⊥∵，
°90ADE ACB ∠=∠=∴，
A A ∠=∠，BC DE =，
()ABC AED AAS ∴△≌△，
AE AB =∴，AC AD =，
CE BD =∴.
【解析】利用AAS 证明AED ABC △≌△，根据全等三角形的性质即可得到结论.本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识.
【考点】全等三角形的判定和性质
18.【答案】解：如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，BF CD ⊥于点F ，
CD AD ⊥∵
∴四边形
BEDF 是矩形，
FD BE =∴，FB DE =，
在Rt ABE △中，:1:2.45:12BE AE ==，
设5BE x =，12AE x =，
根据勾股定理，得
13AB x =，
1352x =∴，
解得4x =，
520BE FD x ===∴，
1248AE x ==，
724824DE FB AD AE ==-=-=∴，
∴在Rt CBF △中，4tan 24323
CF FB CBF =⨯∠≈⨯
≈， 203252CD FD CF =+=+=∴（米）.
答：大楼的高度CD 为52米. 【解析】过点B 作BE AD ⊥于点E ，作BF CD ⊥于点F ，在Rt ABE △中，根据坡度1:2.4i =及勾股定理求出BE 和AE 的长，进而由三个角是直角的四边形是矩形判断四边形BEDF 是矩形，得到BF 和FD 的长，再在Rt BCF △中，根据CBF ∠的正切函数解直角三角形，得到CF 的长，由CD CF FD =+得解.本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握仰角的定义，准确确定合适的直角三角形并且根据勾股定理或三角函数列出方程是解题的关键.
【考点】直角三角形的实际应用
19.【答案】（1）本次抽取的学生有：1220%60÷=（人），
C 组学生有：606121824---=（人），
即被抽取的学生成绩在C ：8090x ≤＜组的有24人；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在C ：8090x ≤＜这一组内；
（3）6150015060
⨯=（人） 答：这次竞赛成绩在A ：6070x ≤＜组的学生有150人.
【解析】（1）根据扇形统计图的B 组所占比例，条形统计图得B 在人数，用总人数减去A ，B ，D 人数，可得C 组人数；
（2）根据总人数多少，结合中位数的概念确定即可；
（3）根据样本中A 组所占比例，用总人数乘以比例，即可得到答案.
本题考查了条件统计图与扇形统计图的信息读取，以及总数，频数与频率之间的转化计算，熟知以上知识是解题的关键.
【考点】条件统计图与扇形统计图的信息读取，总数，频数与频率之间的转化计算
20.【答案】（1）将点()12A ，代入m y x
=，得：2m =， 2y x
=∴， 当1y =-时，2x =-，
()21B --∴，，
将()12A ，、()21B --，代入y kx b =+，
得221k b k b +=⎧⎨+=-⎩
， 解得11k b =⎧⎨=⎩
， 1y x =+∴；
∴一次函数解析式为1y x =+，反比例函数解析式为2y x
=
； （2）在1y x =+中，当0y =时，10x +=
解得1x =-， ()10C -∴，，
设()0P m ，， 则1PC m =--，
142
A ACP S PC y == △∵， 11242
m ⨯--⨯=∴， 解得3m =或5m =-，
∴点P 的坐标为()30，或()50-，.
【解析】（1）将点A 坐标代入m y x
=中求得m ，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B 坐标，再根据A 、B 两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点()0P x ，
，由题意解得PC 的长，进而可得点P 坐标.
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
21.【答案】（1）设购买一根跳绳需要x 元，购买一个毽子需要y 元，
依题意，得：25324336
x y x y +=⎧⎨+=⎩，
解得：64
x y =⎧⎨=⎩，
答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元.
（2）设购买m 根跳绳，则购买()54m -个毽子，
依题意，得：()645426020m m m ⎧+-⎪⎨⎪⎩
≤＞， 解得：2022m ＜≤，
又m ∵为正整数，
m ∴可以为21，22.
∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子.
【解析】（1）设购买一根跳绳需要x 元，一个毽子需要y 元，依题意列出二元一次方程组解之即可；
（2）设学校购进跳绳m 根，则购进毽子()54m -根，根据题意列出不等式解之得m 的范围，进而可判断购买方案.
本题考查二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程式及不等式是解答的关键.
【考点】二元一次方程组，一元一次不等式的应用
22.【答案】（1）证明：连接AD 、OD .
AB ∵是圆O 的直径，
°90ADB ∠=∴.
°90ADO ODB ∠+∠=∴.
DE ∵是圆O 的切线，
OD DE ⊥∴.
°90EDA ADO ∠+∠=∴.
EDA ODB ∠=∠∴.
OD OB =∵，
ODB OBD ∠=∠∴.
EDA OBD ∠=∠∴.
AC AB =∵，AD BC ⊥，
CAD BAD ∠=∠∴.
°90DBA DAB ∠+∠=∵，
°90EAD EDA ∠+∠=∴.
°90DEA ∠=∴.
DE AC ⊥∴.
（2）解：°90ADB ∠=∵，AB AC =，
BD CD =∴，
O ∵的半径为5，16BC =，
10AC =∴，8CD =，
6AD ==∴，
1122
ADC S AD DC AC DE == △∵， 6824105
AD DC DE AC ⨯=== ∴. 【解析】（1）连接OD ，由AB AC =，OB OD =，则B ODB C ∠=∠=∠，则OD AC ，由DE 为切线，即可得到结论成立；
（2）连接AD ，则有AD BC ⊥，得到8BD CD ==，求出6AD =，利用三角形的面积公式，即可求出DE 的长度.
本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的求出边的长度.
【考点】切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理
23.【答案】（1）证明：AE DC ∵ ，
CDO AEO ∠=∠∴，EAO DCO ∠=∠，
又OA OC =∵，
()AOE COD AAS ∴△≌△，
CD AE =∴，OD OE =，
OB OE BE =+∵，OB OD CD =+，
BE CD =∴，
AE BE =∴；
（2）①证明：如图1，过点A 作AE DC 交BD 于点E ，
由（1）可知AOE COD △≌△，AE BE =，
ABE AEB ∠=∠∴，
∵将ABD △沿AB 翻折得到ABD '△，
ABD ABD '∠=∠∴，
ABD BAE '∠=∠∴，
BD AE '∴ ，
又AE CD ∵ ，
BD CD '∴ .
②证明：如图2，过点A 作AE DC 交BD 于点E ，延长AE 交BC 于点F ，
AD BC '∵ ，BD AE ' ，
∴四边形AD BF '为平行四边形.
D AFB '∠=∠∴，
∵将ABD △沿AB 翻折得到ABD '△
D ADB '∠=∠∴，
AFB ADB ∠=∠∴，
又AED BEF ∠=∠∵，
AED BEF ∴△∽△，
AE BE DE EF
=∴， AE CD =∵，
CD BE DE EF
=∴， EF CD ∵ ，
BEF BDC ∴△∽△，
BE BD EF DC
=∴， CD BD DE CD =∴
， 2CD DE BD = ∴，
AOE COD ∵△≌△，
OD OE =∴，
2DE OD =∴，
22CD OD BD = ∴.
【解析】1）连接CE ，根据全等证得AE CD =，进而AECD 为平行四边形，由OB OD CD =+进行等边代换，即可得到AE BE =；
（2）①过A 作AE CD 交BD 于E ，交BC 于F ，连接CE ，AE BE =，得ABE BAE ∠=∠，利用翻折的性质得到D BA BAE '∠=∠，即可证明；②证BEF CDE △≌△，从而得BFE CED ∠=∠，进而得CED BCD ∠=∠，且CDE BDC ∠=∠，得到BCD CDE △∽△，得CD DE BD CD
=，即可证明. 本题考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定和性质，考查等腰三角形的判定与性质综合，熟练掌握各图形的性质并灵活运用是解题的关键.
【考点】相似三角形的判定，性质以及平行四边形的判定和性质
24.【答案】解：（1）2OA =∵，4OB =，
()20A -∴，，()40B ，，
把()20A -，，()40B ，代入抛物线26y ax bx =+-中得：426016460a b a b --=⎧⎨+-=⎩
， ∴抛物线的解析式为：233642
y x x =--； （2）如图1，过D 作DG x ⊥轴于G ，交BC 于H ，
当0x =时，6y =-，
()06C -∴，，
设BC 的解析式为：y kx b =+，
则640b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：3
26
k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
BC ∴的解析式为：3
62y x =-， 设23
3622D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，则362H x x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，，
223333
6632424DH x x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭∴，
BCD ∵△的面积是9
2，
19
22DH OB = ∴，
21
3
9
43242x x ⎛⎫⨯⨯-+= ⎪⎝⎭∴，
解得：1x =或3，
∵点D 在直线l 右侧的抛物线上，
1534D ⎛⎫
- ⎪⎝⎭∴，
ABD ∴△的面积11
1545
62244AB DG ==⨯⨯= ；
（3）分两种情况：
①如图2，N 在x 轴的上方时，四边形MNBD 是平行四边形，
()40B ∵，，1534D ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，，且M 在x 轴上， N ∴的纵坐标为154
， 当154y =时，即233156424
x x --=，
解得：1x =或1
1514N ⎛⎫ ⎪⎝
⎭∴，或1514⎛⎫+ ⎪⎝⎭，； ②如图3，点N 在x 轴的下方时，四边形BDNM 是平行四边形，此时M 与O 重合，
1514N ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭∴，；
综上，点N 的坐标为：1514⎛⎫ ⎪⎝
⎭，或1514⎛⎫+ ⎪⎝⎭，或1514⎛⎫- ⎪⎝⎭，-. 【解析】（1）直接利用待定系数法可求得函数解析式；
（2）先求出函数的对称轴和直线BC 的函数表达式，过D 作DE OB ⊥交OB 于点F ，交BC 于点E ，用式子表示出BCD △的面积从而求出D 的坐标，进一步可得ABD △的面积；
（3）根据平行四边形的性质得到MB ND ，MB ND =，结合对称轴和点D 坐标易得点N 的坐标.
本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题.
【考点】二次函数的综合。