高中数学选修1-1知识点总结

数学选修1-1知识点总结
导数及其应用
一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是
000()()lim x f x x f x x
∆→+∆-∆， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即
0()f x '=000()()lim x f x x f x x
∆→+∆-∆ 例1． 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t(单位：
s)存在函数关系
2() 4.9 6.510h t t t =-++
运动员在t=2s 时的瞬时速度是多少？
解：根据定义
0(2)(2)(2)lim 13.1x h x h v h x
∆→+∆-'===-∆ 即该运动员在t=2s 是13.1m/s,符号说明方向向下
2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与
曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00
()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即
0000
()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()
y f x =的导函数有时也记作y ',即
0()()()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆ 二.导数的计算
基本初等函数的导数公式:
1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；
2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;
3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=
4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;
5 若()x f x a =,则()ln x
f x a a '=
6 若()x f x e =,则()x f x e '=
7 若()log x a f x =,则1()ln f x x a
'=
8 若()ln f x x =,则1()f x x '= 导数的运算法则
1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±
2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•
3. 2
()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''•-•'= 考点：导数的求导及运算
★1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =
★2、若()sin x f x e x =，则
()'f x = ★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，
4)1(=-'f ，则a=（ ） 3
19.316
.313
.310
.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )4
1,21(的切线的倾斜角是（）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90° ★★5.如果曲线2932
y x =
+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =
三.导数在研究函数中的应用 1.函数单调性： ⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，
如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；
如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数.
求单调性的步骤：
① 确定函数)(x f y =的定义域（不可或缺，否则易致错）；
② 解不等式'()0'()0f x f x ><或；
③ 确定并指出函数的单调区间（区间形式，不要写范围形式），区间之间用“，”★隔开，不能用“”连结。

⑵常数的判定方法；
如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.
2. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）
当函数)(x f 在点0x 处连续时，
①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；
②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.
注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.
②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.
对于可导函数()f x ，在x a =处取得极值，则'()0f a =.
若()f x 在开区间(,)a b 有唯一的极值点，则是最值点。

求极值步骤：
① 确定函数)(x f y =的定义域（不可或缺，否则易致错）；
② 解不等式'()=0f x ；
③ 检验'()=0f x 的根的两侧的'()f x 符号（一般通过列表），判断极大值，极小值，
还是非极值点.
4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤
（1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；
（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个
最大值，最小的是最小值.
恒成立问题 “max ()()f x a f x a <⇔<”和“min ()()f x a f x a >⇔>”，注意参数的取值中“=”能否取到。

一、题型一：导数在切线方程中的运用
★1.曲线3
x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ）
A.（－2，－8）
B.（－1，－1）或（1，1）
C.（2，8）
D.（－21，－81
）
★2.曲线53
123+-=
x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π
43
二、题型二：导数在单调性中的运用
★1.(05广东卷)函数
32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)
★2．关于函数
762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数
C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数
D ．在区间（∞-，0）
),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数
三、导数在最值、极值中的运用：
★1.（05全国卷Ⅰ）函数
93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）
A ．2
B. 3
C. 4
D.5 ★2．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ）
A.5 , - 15
B.5 , 4
C.- 4 , - 15
D.5 , - 16
★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数
)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时)(x f 取得极值－2.
（1）试求a 、c 、d 的值；（2）求)(x f 的单调区间和极大值；。