高三江苏专版数学一轮复习课时作业(44)直线与圆、圆与圆的位置关系

课时作业(四十四)[第44讲直线与圆、圆与圆的位置关系]
[时间：45分钟分值：100分]
基础热身
1．下列是关于直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系的四种判断：
①相切；②相交但直线不过圆心；③直线过圆心；④相离．
其中判断正确的是________．
2．半径为13，且与直线2x＋3y－10＝0切于点P(2,2)的圆的方程为____________．3．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是________．
4．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为________．
能力提升
5．直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝________.
6．[2011·广雅金山佛山一中联考] 直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx－4y＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于________．
7．[2010·课标全国卷] 过点A(4,1)的圆C与直线x－y＝1相切于点B(2,1)，则圆C的方程为______________．
8．[2011·苏州模拟] 已知圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0相交，则实数m的取值范围为________．
9．[2011·济南调研] 由直线y＝x＋2上的点向圆(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
10．设集合A＝{(x，y)|(x－a)2＋(y＋1)2＝1}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－a)2＝9}，若A∩B ＝∅，则实数a的取值范围是________．
11．[2012·青岛调研] 已知动点P(x，y)满足x2＋y2－|x|－|y|＝0，O为坐标原点，则PO的取值范围是________．
图K44－1
12．过圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心，作直线分别交x、y轴的正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分(如图K44－1)，若这四部分图形面积满足SⅠ＋SⅣ＝SⅡ＋SⅢ，则直线AB 有________条．
13．(8分)求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，并且圆心在直线x －y－4＝0上的圆的方程．
14．(8分)已知圆C 的方程为：x 2＋y 2－4mx －2y ＋8m －7＝0，(m ∈R )．
(1)试求m 的值，使圆C 的面积最小；
(2)求与满足(1)中条件的圆C 相切，且过点(4，－3)的直线方程．
15．(12分)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，设点B ，C 是直线l ：x －2y ＝0上的两点，它们的
横坐标分别是t ，t ＋4(t ∈R )，点P 在线段BC 上，过P 点作圆M 的切线P A ，切点为A .
(1)若t ＝0，MP ＝5，求直线P A 的方程；
(2)经过A ，P ，M 三点的圆的圆心是D ，求线段DO 长的最小值L (t )．
16．(12分)已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0.
(1)求直线l 斜率的取值范围；
(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12
的两段圆弧？为什么？
课时作业(四十四)
【基础热身】
1．② [解析] 圆心(0,0)到直线y ＝x ＋1即x －y ＋1＝0的距离d ＝12＝22
，而0<22<1，故相交且不过圆心．
2．(x －4)2＋(y －5)2＝13或x 2＋(y ＋1)2＝13 [解析] 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝
13，则⎩
⎪⎨⎪⎧ (2－a )2＋(2－b )2＝13，||2a ＋3b －1013＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝0，
b ＝－1.故所求圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝13或x 2＋(y ＋1)2＝13.
3．相交 [解析] 配方→圆心与半径→探究圆心距与两半径的关系．
圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0的圆心C 1(－1，－4)，半径r 1＝5；
圆C 2：x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的圆心C 2(－2,2)，半径r 2＝3，
圆心距C 1C 2＝d ＝(－1)2＋62＝37，则r 1－r 2<d <r 1＋r 2，所以圆C 1与圆C 2相交．
4．2x －y ＝0 [解析] 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0配方得(x －1)2＋(y －2)2＝1，所以该圆半径为1，圆心M (1,2)．因为直线与圆相交所得弦的长为2，即为该圆的直径，所以该直线的方
程的斜率k ＝2－01－0
＝2，所以该直线的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 【能力提升】 5.3或－33 [解答] 圆的方程(x －1)2＋y 2＝3，圆心(1,0)到直线的距离等于半径，即 |3＋m |3＋1
＝3⇒|3＋m |＝23⇒m ＝3或－3 3. 6．0 [解析] 由题意知直线垂直于y 轴，所以k ＝0.
7．(x －3)2＋y 2＝2 [解析] 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则根据已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ (4－a )2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2，|a －b －1|2＝r ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝0，r 2＝2.
8．(1,121) [解析] 依题意可知圆x 2＋y 2＝m 的圆心坐标是C 1(0,0)，半径为m ，
圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0的圆心坐标是C 2(－3,4)，半径为6，C 1C 2＝5，因为两圆相交，从而有|m －6|<C 1C 2<m ＋6即所以|m －6|<5<m ＋6⇒1<m <121，所以实数m 的取值范围为(1,121)．
9.31 [解析] 圆的圆心为(4，－2)，它到直线y ＝x ＋2的距离为d ＝|4＋2＋2|2
＝42，所以直线y ＝x ＋2上的点到圆心的最短距离为42，所以切线长的最小值为(42)2－12＝31.
10．(－∞，－7)∪(－1,1)∪(7，＋∞) [解析] 集合A 表示圆心为(a ，－1)，半径为1的圆；集合B 表示圆心为(1，a )，半径为3的圆，因为A ∩B ＝∅，所以两圆内含或两圆外离，从而求得实数a 的取值范围是(－∞，－7)∪(－1,1)∪(7，＋∞)．
11．{0}∪[1，2] [解析] 方程x 2＋y 2－|x |－|y |＝0可化为⎝
⎛⎭⎫|x |－122＋⎝⎛⎭⎫|y |－122＝12. 所以动点P (x ，y )的轨迹如图：为原点和四段圆弧，故PO 的取值范围是{0}∪[1，2]．
12．1 [解析] 由已知，得S Ⅳ－ⅡⅢⅠS Ⅳ－S Ⅱ
为定值，即S Ⅲ－S Ⅰ为定值，当直线AB 绕着圆心C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB 只有一条．
13．[解答] 设所求圆的方程为x 2＋2＋6x －4)＝0，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2
＋6λx ＋6y －28－4λ＝0，则所求圆的圆心为⎝⎛⎭
⎫－3λ1＋λ，－31＋λ. ∵圆心在直线x －y －4＝0上，∴－3λ1＋λ＋31＋λ
－4＝0，解得λ＝－17. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.
14．[解答] 配方得圆的方程为(x －2m )2＋(y －1)2＝4(m －1)2＋4.
(1)当m ＝1时，圆的半径最小，此时圆的面积最小．
(2)当m ＝1时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.
当斜率存在时设所求直线方程为y ＋3＝k (x －4)，
即kx －y －4k －3＝0. 由直线与圆相切，所以||2k －1－4k －3k 2＋1＝2， 解得k ＝－34
. 所以切线方程为y ＋3＝－34
(x －4)，即3x ＋4y ＝0. 又过(4，－3)点，且与x 轴垂直的直线x ＝4，也与圆相切．
所以所求直线方程为3x ＋4y ＝0及x ＝4.
15．[解答] (1)设P (2a ，a )(0≤a ≤2)．
∵M (0,2)，MP ＝5，∴(2a )2＋(a －2)2＝ 5.
解得a ＝1或a ＝－15
(舍去)．∴P (2,1)． 由题意知切线P A 的斜率存在，设斜率为k .
所以直线P A 的方程为y －1＝k (x －2)，
即kx －y －2k ＋1＝0. ∵直线P A 与圆M 相切，∴|－2－2k ＋1|1＋k 2
＝1， 解得k ＝0或k ＝－43
. ∴直线P A 的方程是y ＝1或4x ＋3y －11＝0.
(2)∵P A 与圆M 相切于点A ，∴P A ⊥MA .
∴经过A ，P ，M 三点的圆的圆心D 是线段MP 的中点． ∵M (0,2)，∴D 的坐标是⎝⎛⎭⎫a ，a 2＋1，t 2≤a ≤t 2
＋2.
设DO 2＝f (a )．∴f (a )＝a 2＋⎝⎛⎭⎫a 2＋12＝54a 2＋a ＋1＝54⎝⎛⎭⎫a ＋252＋45⎝⎛⎭⎫t 2
≤a ≤t 2＋2. 当t 2>－25，即t >－45
时， f (a )min ＝f ⎝⎛⎭⎫t 2＝516t 2＋t 2＋1；
当t 2≤－25≤t 2＋2，即－245≤t ≤－45
时， f (a )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－25＝45
； 当t 2＋2<－25，即t <－245
时， f (a )min ＝f ⎝⎛⎭⎫t 2＋2＝54⎝⎛⎭⎫t 2＋22＋⎝⎛⎭⎫t 2＋2＋1＝516
t 2＋3t ＋8. 则L (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 145t 2＋8t ＋16，t >－45，255，－245≤t ≤－45
，145t 2＋48t ＋128，t <－245.
16．[解答] (1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4m m 2＋1，此时斜率k ＝m m 2＋1
. 因为||m ≤12()m 2＋1，所以||k ＝||m m 2＋1≤12
，当且仅当||m ＝1时等号成立．所以斜率k 的取值范围是⎣⎡⎦
⎤－12，12. (2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k ()x －4，其中||k ≤12
. 圆C 的圆心为C ()4，－2，半径r ＝2；圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k 2
. 由||k ≤12，得d ≥45
>1，即d >r 2，从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3，所以直线l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12
的两段弧．。