2020年上海交通大学第二附属中学高二数学理上学期期末试题含解析

2020年上海交通大学第二附属中学高二数学理上学期
期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 定义集合运算：A☆B=.设集合，，则集合A☆B的元素之和为（）
A．2 B．1 C．3 D．4
参考答案：
C
2. “a2+b2≠0”的含义为（）
A．a和b都不为0
B．a和b至少有一个为0
C．a和b至少有一个不为0
D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0
参考答案：
C
【考点】逻辑联结词“或”．
【专题】阅读型；探究型．
【分析】对a2+b2≠0进行解释，找出其等价条件，由此等价条件对照四个选项可得正确选项．
【解答】解：a2+b2≠0的等价条件是a≠0或b≠0，即两者中至少有一个不为0，对照四个选项，只有C与此意思同，C正确；
A中a和b都不为0，是a2+b2≠0充分不必要条件；
B中a和b至少有一个为0包括了两个数都是0，故不对；
D中只是两个数仅有一个为0，概括不全面，故不对；
故选C
【点评】本题考查逻辑连接词“或”，求解的关键是对≠的正确理解与逻辑连接词至少有一个、和、或的意义的理解．
3. 函数当x>2 时恒有>1，则a的取值范围
是（）
A． B．0 C． D．
参考答案：
A
4. 已知复数若为实数，则实数m的值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
5. 若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图像上；②
关于原点对称．则称点对是函数的一个“友好对点”（点对与
看作同一个“友好对点”），已知函数，则函数的“友好对点”的个数
为
（）
A．1 B． 2 C．3
D．4
参考答案：
B
6. 命题“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）
A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5
参考答案：
C
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．
【解答】解：命题“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为?x∈[1，2]，a≥x2，恒成立
即只需a≥（x2）max=4，即“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，
而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选C
【点评】本题为找命题一个充分不必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题．
7. 为研究两变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别做了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程m和n，两人计算相同，也相同，则下列说法正确的是（）
A．m与n重合B．m与n平行
C．m与n交于点（，）D．无法判定m与n是否相交
参考答案：
C
【考点】线性回归方程．
【分析】根据回归直线经过样本的中心点，得到直线m和n交于点（，）．
【解答】解：两个人在试验中求出变量x的观测数据的平均值都是，变量y的观测数据的平均值都是，
∴这组数据的样本中心点是（，），
∵回归直线经过样本的中心点，
∴m和n都过（，），
即回归直线m和n交于点（，）．
故选：C．
8. 设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
C
9. 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。

在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A. B. C. D.
参考答案：
A
10. 函数的定义域为（）
A．(－5，＋∞) B．［－5，＋∞C．(－5，0) D ．(－2，0)
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某校从高二年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：
[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如下图所示的频率分布直方图.已知高二年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为_________.
参考答案：
480.
【分析】
根据频率分布直方图计算模块测试成绩不少于60分的学生所占频率，再计算频数.
【详解】由频率分布直方图得模块测试成绩不少于60分的学生所占频率为
，
所以该模块测试成绩不少于60分的学生人数为
12. 15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子（每层三角形边茭草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，…，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数），则本问题中三角垛底层茭草总束数为______．
13. 设x,y满足约束条件，则P=x+y的范围是▲ .
参考答案：
14. 在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积
为 .
参考答案：
216
15. 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是。

参考答案：
试题分析：由三视图判断几何体为半个圆锥，且圆锥的高为2，底面圆的半径为1，
∴几何体的体积V=.
考点：由三视图求面积、体积．
16. 若函数在实数域上有极值，则实数a的取值范围是_____________．
略
17. 若在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分12分）已知椭圆和直线L：y＝bx＋2，椭圆的离心率
e＝，坐标原点到直线L的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在实数k，使得点E在以CD为直径的圆外？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案：
（1）直线l：y＝bx＋2，坐标原点到直线l的距离为．∴b＝1
∵椭圆的离心率e＝，∴，解得a2＝3∴所求椭圆的方程是
；
（2）直线y＝kx＋2代入椭圆方程，消去y可得：（1＋3k2）x2＋12kx＋9＝0
∴△＝36k2﹣36＞0，∴k＞1或k＜﹣1
设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1＋x2＝－，x1x2＝
∵＝（x1＋1，y1），＝（x2＋1，y2），且点E在以CD为直径的圆外。

∴.<0 ∴（x1＋1）（x2＋1）＋y1y2>0
∴（1＋k2）x1x2＋（2k＋1）（x1＋x2）＋5>0
∴（1＋k2）×＋（2k＋1）×（－）＋5>0，解得k<，
综上所述， k＜﹣1或 1<k<
19. 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m的值．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，±），利用抛物线上横坐标为
的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，求出p，即可求抛物线的方程；（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，利用∠AFB=90°，可得FA⊥FB，即?=0，可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，即可求实数m的值．
【解答】解：（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，±），到抛物线顶点的距离的平方为+p，
∵抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，
∴+p=（+）2，
∴p=2
抛物线的方程为：y2=4x．…
（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣24，
∵∠AFB=90°，∴FA⊥FB，即?=0
可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0
∴（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=0
∴﹣24（1+m2）+20m2+25=0，
解得：m=±．
【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20. 已知p: ,q: ,若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围。

参考答案：
解：由p：
略
21. 已知函数，且，．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数的极值．
参考答案：
（Ⅰ）由……………1分
又，解得………………………3分
所以
…………………………… 4分令…………………………5分
…………………………6分
………………………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：的变化情况如下表：
+0-+
极大值
………………………………10分
, 有极大值，且极大值为
，有极小值，且极小值为………………………………12分
22. 已知函数．
（1）当时，如果函数g（x）=f（x）﹣k仅有一个零点，求实数k的取值范围；（2）当a=2时，试比较f（x）与1的大小；
（3）求证：（n∈N*）．
参考答案：
【考点】R6：不等式的证明；51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）利用函数f（x）的导数求出它的单调区间和极值，由题意知 k大于f（x）的极大值，或 k小于f（x）的极小值．
（2）令h（x）=f（x）﹣1，由h′（x）＞0得h（x）在（0，+∞）上是增函数，利用h （1）=0，分x＞1、
0＜x＜1、当x=1三种情况进行讨论．
（3）根据（2）的结论，当x＞1时，，令，有，可得
，由，证得结论．
【解答】解：（1）当时，，定义域是（0，+∞），
求得，令f'（x）=0，得，或x=2．
∵当或x＞2时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，]、（2，+∞）上单调递增，在上单调递减．
∴f（x）的极大值是，极小值是．
∵当x趋于 0时，f（x）趋于﹣∞；当x趋于+∞时，f（x）趋于+∞，
由于当g（x）仅有一个零点时，函数f（x）的图象和直线y=k仅有一个交点，
k的取值范围是{k|k＞3﹣ln2，或}．
（2）当a=2时，，定义域为（0，+∞）．
令，∵，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函数．①当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；
②当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1；③当x=1时，h（x）=h（1）
=0，即f（x）=1．
（3）证明：根据（2）的结论，当x＞1时，，即．
令，则有，∴．
∵，∴．
【点评】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识，属于中档题．。