2024陕西中考数学二轮专题训练 题型二 小几何压轴题 (含答案)

2024陕西中考数学二轮专题训练题型二小几何压轴题
类型一与线段有关的问题
1.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8.若点E 、F 是BC 边上的两个动点，以EF 为边的等边△EFP 的顶点P 在△ABC 内部或边上，则等边△EFP 的周长的最大
值为________．
第1题图
2.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 、E 分别在AB 、BC 上，且以DE 为直径的圆与AC 相切，则DE 的最小值为________．
第2题图
3.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝AC ＝10,对角线AC 、BD 相交于点O ，点M 在线段AC
上，且AM ＝3，点P 为线段BD 上的一个动点，则MP ＋12
PB 的最小值是__________．
第3题图
4.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝BC ＝3，E 为AB 边的中点，且∠CED ＝120°，则边DC 长度的最大值为________．
第4题图
5.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝9，∠A ＋∠B ＝90°，以CD 为斜边向内作等腰直角△CDE ，使得直角顶点E 在AB 边上，若AE ＝2BE ，则AD ＋CB 的值为________．
第5题图
6.如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠B＝60°，AE⊥CD于点E，点F为AB上一点，且
AB，P为AE上一点，连接PC、PD、PF，则PC与PD之间的数量关系为________，AF＝1
3
PC＋PF的最小值为________．
第6题图
类型二与面积有关的问题
1.如图，在等边△ABC内部有一个半径为2的动圆，则动圆不能覆盖的面积为________.
第1题图
2.如图，已知四边形ABCD内接于半圆O，AB为半圆O的直径，AB＝8，CD＝4，点E 是CD的中点，连接AE、BE，则△ABE面积的最大值为________．
第2题图
3.如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝10，点P是⊙O上一点，连接AP、BP，OE⊥AP于点E，OF⊥BP于点F，则四边形OEPF面积的最大值为________．
第3题图
4.如图，在▱ABCD中，E、F是AD边上的两点，且AE＝DF＝1
4
AD.点G为BC边上一点，
连接EG交BF于点H.若EG平分四边形ABCD的面积，BH＝6，则BF的长为________．
第4题图
5.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝23，点E、F分别是AD、CD 的中点，若四边形ABCD的面积为43，则△BEF的面积为________．
第5题图
6.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在BC、CD边上，且∠EAF＝60°，连接EF.若AB＝4，则△CEF面积的最大值为________．
第6题图
类型三与角度有关的问题
1.如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是正方形边上或对角线上一点，若∠BPC＝60°，则满足条件的点P的个数为________．
第1题图
2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，则点P到点A的距离为________．
第2题图
3.如图，在4×4的正方形网格中，四边形ABCD的顶点都在格点上，则tan∠ACD的值为________.
第3题图
4.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接A C.若AC＝6，则∠ABC的大小为________．
第4题图
5.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点E是AD边上一点，连接BE、CE，过点B作BF⊥CE 于点F，当∠EBF最小时，AE的长为________，BF的长为________．
第5题图
参考答案
类型一
与线段有关的问题
1.63
2.125【解析】如解图，设切点为P ，连接BP ，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，由垂线段最短可知BP ≥BH ，∵DE 是该圆的直径，∴DE ≥BP ≥BH ，即DE 的最小值为BH 的长．∵S △ABC
＝12AB ·BC ＝12AC ·BH ，AC ＝AB 2＋BC 2＝5，∴BH ＝AB ·BC AC ＝125.即DE 的最小值为125.
第2题解图
3.73
2【解析】如解图，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，过点M 作MN ⊥BC 于点N .∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC .∵AB ＝AC ＝10，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB
＝60°，∴∠OBC ＝30°，∴PQ ＝12BP ，∴MP ＋12
PB ＝MP ＋PQ .由两点之间线段最短可知，当M 、P 、Q 三点共线，即点Q 与点N 重合时，MP ＋PQ 取得最小值，最小值为MN 的长．∵AM ＝3，∴CM ＝AC －AM ＝7.∵∠ACB ＝60°，∴MN ＝32CM ＝732，∴MP ＋12PB 的最小值为732
.
第3题解图
4.9【解析】如解图，分别作点A 关于DE 的对称点A ′，点B 关于CE 的对称点B ′，连接A ′D ，A ′E ，B ′C ，B ′E ，A ′B ′，则A ′D ＝AD ＝3，A ′E ＝AE ＝3，B ′C ＝BC ＝3，B ′E ＝BE ＝3，∠A ′ED ＝∠AED ，∠B ′EC ＝∠BEC ，∵∠CED ＝120°，∴∠AED ＋∠BEC ＝180°－∠CED ＝60°，∴∠A ′ED ＋∠B ′EC ＝60°，∴∠A ′EB ′＝∠DEC －(∠A ′ED ＋∠B ′EC )＝60°.∵A ′E ＝B ′E ＝3，∴△A ′EB ′是等边三角形，∴A ′B ′＝A ′E ＝3.由两点之间线段最短可得DC ≤A ′D ＋A ′B ′＋B ′C ＝9，∴DC 长度的最大值为9.
第4题解图
5.35【解析】∵AB ＝9，AE ＝2BE ，∴AE ＝6，BE ＝3.∵ED ＝EC ，∠DEC ＝90°，∴如解图，将△ECB 绕点E 逆时针旋转90°得到△EDF ，∴EF ＝EB ＝3，DF ＝BC ，∠EDF ＝∠ECB .∵∠A ＋∠B ＝90°，∠EDC ＝∠ECD ＝45°，∴∠ADE ＋∠ECB ＝180°，∴∠ADE ＋∠EDF ＝180°，∴A 、D 、F 三点共线，∴AD ＋CB ＝AD ＋DF ＝AF .在Rt △AEF 中，AF ＝AE 2＋EF 2＝35，∴AD ＋CB 的值为3 5.
第5题解图
6.PC ＝PD ，413【解析】如解图，连接AC ，FD ，∵四边形ABCD 为菱形，∠B ＝60°，∴△ADC 为等边三角形．∵AE ⊥CD ，∴点C 关于PE 的对称点为点D ，∴PC ＝PD ，∴PC ＋PF ＝PD ＋PF ≥FD ，∴当F ，P ，D 三点共线时，PC ＋PF 的值最小，最小值为FD 的长．过
点F 作FH ⊥DA 交DA 的延长线于点H ，∵∠B ＝60°，∴∠HAF ＝60°.∵AB ＝12，AF ＝13
AB ，∴AF ＝4，∴AH ＝2，FH ＝23，∴DH ＝14.在Rt △DHF 中，FD ＝FH 2＋DH 2＝（23）2＋142＝413，∴PC ＋PF 的最小值为413.
第6题解图
类型二
与面积有关的问题1.123－4π【解析】如解图，图中阴影部分面积即为动圆不能覆盖的面积，由题意知⊙O 与AC ，AB 两边相切，切点分别为点E ，F ，连接OE ，OF ，AO ，则∠EAO ＝∠FAO ＝
30°，∠EOF ＝120°，∴在Rt △AOE 中，AE ＝3OE ＝23，∴S △AOE ＝12×2×23＝2 3.∵S 扇形EOF ＝120π×22360＝4π3，∴动圆不能覆盖的面积＝3(2×23－4π3
)＝123－4π.
第1题解图
2.83【解析】如解图，连接OC 、OE ，∵点E 为CD 的中点，∴CE ＝12
CD ＝2，OE ⊥CD .∵OC ＝12
AB ＝4，∴OE ＝OC 2－CE 2＝2 3.过点E 作EH ⊥AB 于点H ，则S △ABE ＝12AB ·EH ＝4EH .∵EH ≤OE ，∴当EH ＝OE ，即当OE ⊥AB 时，△ABE 的面积最大，最大值为8 3.
第2题解图
3.252
【解析】如解图，连接OP ，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°.∵OE ⊥AP ，OF ⊥BP ，∴四边形OEPF 为矩形，AE ＝PE ＝12AP ，BF ＝PF ＝12
BP ，∴S 四边形OEPF ＝PE ·PF ＝12AP ·12BP ＝14AP ·BP ＝14AB ·PH ＝14×10PH ＝52
PH .∴当PH 最大时，四边形OEPF 的面积最大，∵PH ≤OP ，∴当PH ＝OP ，即当OP ⊥AB 时，四边形OEPF 的
面积最大，此时PH ＝OP ＝12AB ＝5，S 四边形OEPF 最大＝52PH 最大＝252，即四边形OEPF 面积的最大值为252
.
第3题解图
4.10【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ＝BC .∵AE ＝DF ＝14AD ，∴EF ＝12
AD .∵EG 平分▱ABCD 的面积，∴AE ＝CG ＝14AD .∴BG ＝34AD .∵AD ∥BC ，∴BH FH ＝BG EF ＝32，∴BH BF
＝35
.∵BH ＝6，∴BF ＝10.5.332
【解析】如解图，连接BD ，在△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝23，∴
S △ABC ＝12
×2×23＝2 3.∵四边形ABCD 的面积为43，∴S △ADC ＝2 3.∵E 为AD 的中点，F 为DC 的中点，∴S △ABE ＝S △DBE ，S △CFB ＝S △DFB ，∴S 四边形EBFD ＝S △EBD ＋S △FBD ＝12
S 四边形ABCD ＝2 3.∵E 、F 分别为AD 、CD 的中点，∴EF ＝12AC ，EF ∥AC ，∴S △DEF S △DAC ＝(EF AC )2＝(12)2＝14.∵S △DAC ＝23，∴S △DEF ＝14×23＝32，∴S △BEF ＝S 四边形EBFD －S △DEF ＝23－32＝332
.
第5题解图
6.3【解析】∵四边形ABCD 是菱形，且∠EAF ＝∠B ＝60°，∴∠BAC ＝∠ACF ＝∠B ＝60°，AB ＝BC ，∴∠BAE ＋∠EAC ＝∠EAC ＋∠CAF ＝60°，△ABC 是等边三角形，∴∠BAE ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△ABE ≌△ACF ，∴AE ＝AF ，S △ACF ＝S △ABE ，∴△AEF 是等边三角形，S 四边形AECF ＝S △ABC ，∴S △CEF ＝S △ABC －S △AEF .∵AB ＝4，△ABC 是等边三角形，∴S △ABC ＝34×42＝43，∴当S △AEF 最小时，S △CEF 最大．∵当AE ⊥BC 时，AE ＝4sin60°＝23，S △AEF 最小，∴S △AEF 最小＝
34
×(23)2＝33，∴S △CEF 最大＝43－33＝3，即△CEF 面积的最大值为3.类型三
与角度有关的问题1.4个【解析】如解图，在正方形内部作∠M ＝120°，且BM ＝MC ，以点M 为圆心，BM 为半径画圆，⊙M 与正方形ABCD 各边及对角线的交点即为满足条件的点P ，共4个．
第1题解图
2.2或8【解析】如解图，∵BC ＝10，∠BPC ＝90°.∴取BC 的中点O ，则OB ＞AB .∴以点O 为圆心，OB 长为半径作半圆O ，半圆O 一定与AD 相交于P 1、P 2两点，连接P 1B 、P 1O 、
P 1C .∵∠BPC ＝90°，点P 不能在矩形外，∴△BPC 的顶点P 在BP ︵1或CP ︵2上．显然，当顶
点P 在P 1或P 2位置时，△BPC 的面积最大．过点P 1作P 1E ⊥BC ，垂足为E ，则P 1E ＝4，∴OE ＝52－42＝3，∴AP 1＝BE ＝OB －OE ＝5－3＝2.由对称性，得AP 2＝8；综上所述，点
P 到点A 的距离为2或
8.
第2题解图
3.1
3【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可知：AC ＝32＋32＝32，BD ＝12＋12＝2，AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝22＋12＝5，∴四边
形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，在Rt △OCD 中，tan ∠OCD ＝OD OC ＝12BD 12AC ＝12×212×32＝1
3，∴tan ∠ACD ＝13
.第3题解图
4.60°【解析】如解图，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°，使得AD 与AB 重合，得到△ABE ，则∠ABE ＝∠ADC ，∠DAC ＝∠EAB ，AC ＝AE .∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∠EAC ＝∠BAD ＝90°，∴∠ABE ＋∠ABC ＝180°，∴C 、B 、E 三点共线．过点A 作AF ⊥CE 于点F ，在Rt △ACE 中，∵AE ＝AC ＝6，∴∠E ＝45°，∴AF ＝ 3.在Rt △ABF 中，∵AB ＝2，AF
＝3，∴∠ABC ＝60°.
第4题解图5.4，165
5【解析】在Rt △BEF 中，要求∠EBF 最小时，BF 的长，即求∠BEF 最大时，BF 的长．如解图，过点B 、C 作⊙O ，与AD 相切于点E ，此时∠BEF 最大．连接EO 并延
长，交BC 于点G ，则EG 垂直平分BC ，∴AE ＝12AD ＝4，CG ＝12
BC ＝4，∴CE ＝42＋82＝
45，∴12×8×8＝12×45×BF ，解得BF ＝1655
.
第5题解图。