(浙江专版)2018年高中数学课时跟踪检测(十四)复数代数形式的加、减运算及其几何意义新人教A版选修2_2

课时跟踪检测（十四） 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
层级一 学业水平达标
1．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( )
A ．z －1
B ．z ＋1
C ．－10＋18i
D ．10－18i
解析：选C 1－2i －z ＝1－2i －(11－20i)＝－10＋18i.
2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )
A ．－2
B ．4
C ．3
D ．－4
解析：选B z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.
3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选B z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．
4．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R)，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．－1
解析：选D z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.
5．设向量OP ―→，PQ ―→，OQ ―→对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么( )
A ．z 1＋z 2＋z 3＝0
B ．z 1－z 2－z 3＝0
C ．z 1－z 2＋z 3＝0
D ．z 1＋z 2－z 3＝0
解析：选D ∵OP ―→＋PQ ―→＝OQ ―→，∴z 1＋z 2＝z 3，即z 1＋z 2－z 3＝0.
6．(2016·绍兴高三检测)已知x ∈R ，y ∈R ，(x i ＋x )＋(y i ＋4)＝(y －i)－(1－3x i)，则x ＝__________，y ＝__________.
解析：x ＋4＋(x ＋y )i ＝(y －1)＋(3x －1)i
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4＝y －1，x ＋y ＝3x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝11.
答案：6 11
7．在复平面内，AB ―→对应的复数是2＋i ，CB ―→ 对应的复数是－1－3i.则CA ―→对应的复数为________．
解析：∵BA ―→对应复数－2－i ，CB ―→对应复数－1－3i ，
∴CA ―→对应复数－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.
答案：－3－4i
8．已知z 1＝
32
a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33
b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R)，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________.
解析：∵z 1－z 2＝
32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43， 由复数相等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧ 32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.∴a ＋b ＝3.
答案：3
9．计算下列各式．
(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；
(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 015－2 016i)．
解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i ＝－5＋20i.
(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 013－2 014＋2 015)＋(－2＋3－4＋5－…－2 014＋2 015－2 016)i ＝1 008－1 009i.
10．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2.
解：∵z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，
∴z 1＋z 2＝x ＋3＋(2－y )i ＝5－6i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝5，2－y ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝8，
∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，
∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
层级二 应试能力达标
1．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )
A ．0
B ．1 C.22 D.12
解析：选C 由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到
点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离即为22
. 2．复平面内两点Z 1和Z 2分别对应于复数3＋4i 和5－2i ，那么向量Z 1Z 2―→对应的复数为( )
A ．3＋4i
B ．5－2i
C ．－2＋6i
D ．2－6i
解析：选 D Z 1Z 2―→＝OZ 2―→－OZ 1―→，即终点的复数减去起点的复数，∴(5－2i)－(3＋4i)
＝2－6i.
3．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
解析：选A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z 的对应点P 到△ABC 的顶点A ，B ，C 距离相等，∴P 为△ABC 的外心．
4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA ―→，OB ―→对应的复数
分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD ―→对应的复数是( )
A ．2＋4i
B ．－2＋4i
C ．－4＋2i
D ．4－2i
解析：选D 依题意有CD ―→＝BA ―→＝OA ―→－OB ―→.而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，故CD ―→对
应的复数为4－2i ，故选D.
5．若复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面内所对应的点在一条直线上，则实数a ＝________.
解析：三个复数对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )，根据三点共线，可得a ＝5.
答案：5
6．已知z ＝m ＋3＋(2m ＋1)i(－2≤m ≤1)，则|z |的最大值是________．
解析：|z |＝m ＋2＋m ＋2＝m ＋2＋5，
∵－2≤m ≤1，∴m ＝1时，|z |max ＝5.
答案：5
7．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.
(1)求向量AB ―→，AC ―→，BC ―→对应的复数；
(2)判断△ABC 的形状．
(3)求△ABC 的面积．
解：(1) AB ―→对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，
BC ―→对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，
AC ―→对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.
(2)∵|AB ―→|＝2，|BC ―→|＝10，|AC ―→|＝8＝22，
∴|AB ―→|2＋|AC ―→|2＝|BC ―→|2，∴△ABC 为直角三角形．
(3)S △ABC ＝12×2×22＝2.
8．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝33＋i ，又ω＝sin θ－icos θ，求z 的值和|z －ω|的取值范围．
解：∵4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝33＋i ，∴6a ＋2b i ＝33＋i ，
∴⎩⎨⎧ 6a ＝33，2b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝12.∴z ＝32＋12
i ， ∴z －ω＝⎝
⎛⎭⎪⎫32＋12i －(sin θ－icos θ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－sin θ＋⎝
⎛⎭⎪⎫12＋cos θi ∴|z －ω|＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫32－sin θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋cos θ2 ＝ 2－3sin θ＋cos θ
＝ 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝ 2－2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6， ∵－1≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6≤1， ∴0≤2－2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6≤4，∴0≤|z －ω|≤2， 故所求得z ＝32＋12
i ，|z －ω|的取值范围是[0,2]．。