【配套K12】[学习]浙江省2019年中考数学 第四单元 三角形 课时训练19 直角三角形练习 (新

课时训练(十九) 直角三角形
|夯实基础|
1.以下四个命题正确的是()
A.任意三点可以确定一个圆
B.菱形的对角线相等
C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D.平行四边形的四条边相等
2.已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0,当b<0时必有实数解”,能说明这个命题是假命题的一个反例是()
A.b=-1
B.b=2
C.b=-2
D.b=0
3.如图K19-1,在△ABC中,∠C=45°,点D在AB上,点E在BC上,若AD=DB=DE,AE=1,则AC的长为()
图K19-1
A.B.2
C.D.
4.[2018·凉山州] 如图K19-2,数轴上点A对应的数为2,AB⊥OA于A,且AB=1,以O为圆心,OB长为半径作弧,交数轴于点C,则OC长为()
图K19-2
A.3
B.
C.D.
5.[2017·温州] 四个全等的直角三角形按如图K19-3所示的方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边,AM=2EF,则正方形ABCD的面积为()
图K19-3
A.12S
B.10S
C.9S
D.8S
6.[2018·海南] 如图K19-4,在△ABC中,AB=8,AC=6,∠BAC=30°,将△ABC绕点A逆时针旋转60°,得到△AB1C1,连结BC1,则BC1的长为()
图K19-4
A.6
B.8
C.10
D.12
7.[2017·益阳] 如图K19-5,在△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB边上的中线,则CD= .
图K19-5
8.[2017·泸州] 在△ABC中,已知BD和CE分别是边AC,AB上的中线,且BD⊥CE,垂足为O,若OD=2 cm,OE=4 cm,则线段AO的长度为cm.
9.如图K19-6,△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB'C',若∠BAC=90°,AB=AC=,则图中阴影部分的面积等于.
图K19-6
10.[2018·哈尔滨] 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连结AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为.
11.[2018·庆云县期末] 如图K19-7,△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上,网格中的每个小正方形的边长均为单位1.
(1)求证:△ABC为直角三角形;
(2)求点B到AC的距离.
图K19-7
12.[2017·徐州] 如图K19-8,已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=3,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连结DC,DB.
(1)线段DC= ;
(2)求线段DB的长度.
图K19-8
|拓展提升|
13.[2018·湖州] 在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边,向内作四个全等的直角三角形,使四个直角顶点E,F,G,H都是格点,且四边形EFGH为正方形,我们把这样的图形称为格点弦图.例如,在图K19-9所示的格点弦图中,正方形ABCD的边长为,此时正方形EFGH的面积为5.问:当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时,正方形EFGH的面积的所有可能值是(不包括5).
图K19-9
14.[2016·绍兴] 对于坐标平面内的点A,现将该点向右平移1个单位,再向上平移2个单位,这种点的运动称为点A的斜平移,如点P(2,3)经1次斜平移后的点的坐标为(3,5),已知点A的坐标为(1,0).
(1)分别写出点A经1次,2次斜平移后得到的点的坐标.
(2)如图K19-10,点M是直线l上的一点,点A关于点M的对称点为点B,点B关于直线l的对称点为点C.
①若A,B,C三点不在同一条直线上,判断△ABC是否是直角三角形?请说明理由.
②若点B由点A经n次斜平移后得到,且点C的坐标为(7,6),求出点B的坐标及n的值.
图K19-10
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.D[解析] ∵AB⊥OA于A,∴∠OAB=90°.在Rt△OAB中,由勾股定理得OB===.∴OC=OB=.故选择D.
5.C[解析] 由题意可知,小正方形边长EF=EH=HG=GF=,4个白色的矩形全等,且矩形的长均为,宽为(-),则直角三角形的短直角边长为.由勾股定理得AB===3,所以正方形ABCD的面积为9S.
6.C[解析] 根据旋转的性质,得AC1=AC=6,∠CAC1=60°,∴∠BAC1=∠BAC+∠CAC1=30°+60°=90°.在Rt△ABC1中,BC1==10,故选择C.
7.6.5[解析] 由题意可得AC2+BC2=AB2,再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD的长.因此正确答案是6.5.
8.4[解析] 如图,连结AO,作OF⊥AB于点F.
∵BD,CE是△ABC的中线,
∴OB=2OD=4,
∵OE=4,BD⊥CE,
∴△BOE是等腰直角三角形,
∴AE=BE=4,
∴OF=EF=2,AF=6,
∴AO==4.
9.-1
10.90°或130°[解析] 情况1当∠ADB=90°时,∠ADC=90°;
情况2当∠BAD=90°时,∠ADC=∠BAD+∠B=90°+(180°-100°)÷2=130°.
11.解:(1)证明:由勾股定理得,AB=,BC=2,AC=,
AB2+BC2=65=AC2,
∴△ABC为直角三角形.
(2)作高BD,
由AB·BC=AC·BD,
得××2=××BD,
解得BD=,
∴点B到AC的距离为.
12.[解析] (1)根据旋转的性质,判定△ACD为等边三角形,则DC的长度易求得;
(2)过D作DE⊥BC,分别解Rt△CDE,Rt△BDE即可.
解:(1)4
(2)∵AC=AD,∠CAD=60°,
∴△CAD是等边三角形,
∴CD=AC=4,∠ACD=60°.过点D作DE⊥BC于E.
∵AC⊥BC,∠ACD=60°,
∴∠BCD=30°.
在Rt△CDE中,CD=4,∠BCD=30°,
∴DE=CD=2,CE=2,
∴BE=,
在Rt△DEB中,由勾股定理得DB=.
13.9,13和49[解析] 设图中直角三角形的长直角边为a,短直角边为b,则a2+b2=65.小正方形的面积为(a-b)2.∴只要能把长为a和b的线段在网格中画出来,并且a和b的端点都在格点上即可.∵65可以写作64+1或49+16,所以a,b的值分别为8,1或7,4.此时小正方形的面积为49或9.
另外,∵长为13和5的线段也可以在网格中画出,所以65还可以写成52+13或45+20,此时a,b的值分别为2,和3,2.此时小正方形的面积为13和5.
小正方形的面积为9,13和49对应的图形分别为下图的①②③.故填9,13和49.
14.解:(1)∵点A的坐标为(1,0),
∴点A经1次斜平移后得到的点的坐标为(2,2),
点A经2次斜平移后得到的点的坐标为(3,4).
(2)①△ABC是直角三角形,理由:连结CM,如图:
由中心对称可知AM=BM,
由轴对称可知BM=CM,
∴AM=CM=BM,
∴∠MAC=∠ACM,∠MBC=∠MCB.
∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB=180°,
∴∠ACM+∠MCB=90°,
∴∠ACB=90°,
∴△ABC是直角三角形.
②延长BC交x轴于点E,过C点作CF⊥AE于点F,如图:
∵A(1,0),C(7,6),∴AF=CF=6,
∴△ACF是等腰直角三角形,
由①得∠ACE=90°,
∴∠AEC=45°,∴E点坐标为(13,0).
设直线BE的解析式为y=kx+b,
由点C,E在直线上,
可得
解得
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∴y=-x+13.
∵点B由点A经n次斜平移得到, ∴点B(n+1,2n),由2n=-n-1+13, 解得n=4,∴点B的坐标为(5,8).
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