广东省韶关市南雄中学2018-2019学年高三数学文期末试题含解析

广东省韶关市南雄中学2018-2019学年高三数学文期末
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 等差数列的前项的和等于前项的和，若，则
（A）3 （B）7 （C）10 （D）4
参考答案：
C
因为，所以，即，于是
，可知答案选C.另解：由已知直接求出.
2. 关于的方程的不等实根的个数为（）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
参考答案：
B
3. 要得到一个奇函数，只需将的图象（）
A、向右平移个单位
B、向右平移个单位
C、向左平移个单位
D、向左平移个单位
参考答案：
C
略
4. 把函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，所得
图象关于直线对称，且f（0）＜f（﹣φ），则φ=（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的值．
【解答】解：把函数f（x）=2sin（x+2φ）的图象向左平移个单位长度之后，
可得y=2sin（x++2φ）=2cos（x+2φ）=g（x）的图象，
根据所得图象关于直线对称，可得g（0）=g（），
即2cos2φ=cos（+2φ）=﹣2sin2φ，即tan2φ=﹣1．
又f（0）＜f（﹣φ），故有2sin2φ＜2sin（+φ）=2cosφ，即sinφ＜，结合所给的选项，
故选：C．
5. 已知x，y都是实数，命题p：|x|＜1；命题q：x2﹣2x﹣3＜0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
参考答案：
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】解出两个不等式，结合充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：命题p：|x|＜1?﹣1＜x＜1，
命题q：x2﹣2x﹣3＜0?﹣1＜x＜3，
故p是q的充分不必要条件，
故选：A
6. 集合，，则A∩B=( )
A. B. C.{1,2}
D. {0,1,2}
参考答案：
C
∵集合
∴集合
∵集合
∴
故选C.
7. 执行如图所示的程序框图，输出的M的值为（）
A.17
B.53
C.161
D.485
参考答案：
C
略
8. 设集合则=
(A) (B)
(C) (D)
参考答案：
C
略
9. △ABC的三个内角，，所对的边分别为，，，
，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
Ａ
10. 在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】HU：解三角形的实际应用；HT：三角形中的几何计算．
【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA．
【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，
∴AB=BC，
由余弦定理得：AC===BC，
故BC?BC=AB?AC?sinA=?BC?BC?sinA，
∴sinA=，
故选：D
【点评】本题考查的知识眯是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则四棱锥的体积是．
参考答案：
【考点】构成空间几何体的基本元素．
【分析】由四棱锥的三视图可知，该四棱锥底面为ABCD为边长为1的正方形，△PAD是边长为1的等边三角形，PO垂直于AD于点O，其中O为AD的中点，即可求出它的体积．【解答】解：由四棱锥的三视图可知，该四棱锥底面为ABCD为边长为1的正方形，
△PAD是边长为1的等边三角形，PO垂直于AD于点O，其中O为AD的中点，
所以四棱锥的体积为V==．
故答案为．
【点评】本题主要考查三视图的识别和应用以及锥体的体积的计算，考查线面垂直的判断，考查学生的推理能力．
12. 若圆的圆心到直线（）的距离为，则
.[来
参考答案：
1
略
13. 若,则 .
参考答案：
14. 若函数的值域为，则实数a的最小值为▲．
参考答案：
2
略
15. 已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：
①若α⊥β，m⊥α，则m∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m∥α，m⊥n，则n⊥α；④若m∥α，mβ，则α∥β．
其中所有真命题的序号是．
参考答案：
16. 等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4= ．
参考答案：
30
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，a4=16，
∴2a1（1+q+q2）=a1（8+3q），=16，
解得a1=q=2．
则S4==30．
故答案为：30．
17. 数列{a n}中，其前n项和为S n且S n＝2a n一2n＋1，则S10＝
参考答案：
9217
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 数列的前项和是，且.
⑴ 求数列的通项公式；
⑵ 记，数列的前项和为，证明：.
参考答案：
解：(1)由题①②
①-②可得，则.
当时，则，则是以为首项，为公比的等比数列，
因此.
(2)，
所以，
略
19. 设命题实数满足，其中；命题实数满足. （1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
参考答案：
（1）由得，又，所以，
当时，，即为真时实数的取值范围是.
为真时等价于，得，
即为真时实数的取值范围是
若为真，则真且真，所以实数的取值范围是
（2）是的充分不必要条件，即，且，等于价，且，
设，，则；
则，且所以实数的取值范围是.
20. 如图，空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，
,.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案：
（1）证明：等腰梯形中
故
在中，
所以平面
(也可以先证明平面)
（2）法一：作于，以为轴建立如图的空间直角坐标系，则
求得平面的法向量为
又
所以
即与平面所成角的正弦值等于
法二：作于，则平面平面，
作于，则平面
所求线面角的正弦值为
本题也可以用体积法求平面外点到平面的距离.
21. 口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（1）甲、乙按以上规则各摸一个球，求事件“甲赢且编号的和为6”发生的概率；
（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．
参考答案：
解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为
（1，5），（2，4）（3，3），（4，2），（5，1）共5个．
又甲、乙二人取出的数字共有5×5=25等可能的结果，
∴．
即编号的和为6的概率为．
（2）这种游戏规则不公平．
设甲胜为事件B，乙胜为事件C，
则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），
（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）．∴甲胜的概率P（B）=，
从而乙胜的概率P（C）=1﹣=．
由于P（B）≠P（C），
∴这种游戏规则不公平．
22. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，点B（0，1）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点(1，]的直线交椭圆C于M，N两点，交直线x=2于点P，设，，求证：λ+μ为定值．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由题意b=1，利用椭圆的离心率即可求得a的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线MN的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可证明λ+μ=0为定值．
【解答】解：（Ⅰ）由点B（0，1）在椭圆C：上，则，即b=1．
又椭圆C的离心率为，则，
由a2=b2+c2，得．
∴椭圆C的方程为…
（Ⅱ）证明：由已知得F（1，0），直线MN的斜率存在．
设直线MN的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1），N （x 2，y2），则P （2，k ）．
由，，得，
∴，．
联立得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．
∴，．
∴==0，∴λ+μ=0为定值…。