广东省广州市天河中学高考数学一轮复习数学归纳法课件

(1)数列{an}的各项均为正数，且 Sn＝12an＋a1n，所以可根据解 方程求出 a1，a2，a3；(2)观察 a1，a2，a3 猜想出{an}的通项公 式 an，然后再证明．
第十九页，共24页。
规范解答 解 (1)S1＝a1＝12a1＋a11得 a12＝1. ∵an>0，∴a1＝1， 由 S2＝a1＋a2＝12a2＋a12， 得 a22＋2a2－1＝0，∴a2＝ 2－1.
第二十二页，共24页。
1．利用数学归纳法可以对不完全归纳的问题进行严格的 证明．
2．利用数学归纳法可以证明与正整数有关的等式问题． 3．利用数学归纳法可以证明与正整数有关的不等式问题． 4．利用数学归纳法可以证明整除问题，在证明时常常利
用凑数、凑多项式等恒等变形． 5．利用数学归纳法可以证明几何问题．
第七页，共24页。
那么当 n＝k＋1 时， 1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2 ＝kk1＋2 1(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2 ＝k＋112k＋2(3k2＋5k＋12k＋24) ＝k＋112k＋2[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]， 由此可知，当 n＝k＋1 时，(*)式也成立． 综上所述，当 a＝3，b＝11，c＝10 时题设的等式对于一切正 整数 n 都成立．
第十六页，共24页。
探究提高
证明整除问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和 因式分解等手段，凑出 n＝k＋1 时的情形，从而利用归纳假设 使问题获证．
第十七页，共24页。
求证：(3n＋1)×7n－1 (n∈N*)能被 9 整除． 证明 (1)当 n＝1 时，(3n＋1)×7n－1＝27，能被 9 整除． (2)假设 n＝k (k∈N*)时命题成立，即(3k＋1)×7k－1 能被 9 整除， 那么当 n＝k＋1 时： [3(k＋1)＋1]×7k＋1－1＝[(3k＋1)＋3]×(1＋6)×7k－1 ＝(3k＋1)×7k－1＋(3k＋1)×6×7k＋21×7k ＝[(3k＋1)×7k－1]＋3k×6×7k＋(6＋21)×7k.
由归纳假设知，以上三项均能被 9 整除． 则由(1)、(2)可知，命题对任意 n∈N*都成立．
第十八页，共24页。
纳、猜想、证明——从特殊(tèshū)到一般的思维能 力
(14 分)在各项为正的数列{an}中，数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn ＝12an＋a1n. (1)求 a1，a2，a3； (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你 的猜想．
2k＋1＋
1 2k＋1
＝2k＋2k1＋＋11＝
2k＋2 2k＋1
＝
4k2＋8k＋4 2k＋1 >
2k＋32k＋1 2k＋1
＝ 2k＋3＝ 2k＋1＋1.
第十三页，共24页。
∴当 n＝k＋1 时，结论成立．
∴an> 2n＋1对一切正整数 n 均成立．
an＋1
(2)解
∵bbn＋n 1＝
na＋n 1＝1＋a1n2·
则当 n＝k＋1 时，ak＋1＝Sk＋1－Sk ＝12ak＋1＋ak1＋1－12ak＋a1k，
[9 分]
即 ak＋1＝12ak＋1＋ak1＋1－12
k－
k－1＋
1
k－ k－1
＝12ak＋1＋ak1＋1－ k，
∴ak2＋1＋2 kak＋1－1＝0，
∴ak＋1＝ k＋1－ k.
[12 分]
即 n＝k＋1 时猜想成立．
令 n＝1，得 4＝16(a＋b＋c)
①
令 n＝2，得 22＝12(4a＋2b＋c)
②
令 n＝3，得 70＝9a＋3b＋c
③
第六页，共24页。
由①②③解得 a＝3，b＝11，c＝10， 于是，对于 n＝1,2,3 都有 1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn1＋2 1(3n2＋11n＋10)(*)式 成立． 下面用数学归纳法证明：对于一切正整数 n，(*)式都成立． (1)当 n＝1 时，由上述知，(*)式成立． (2)假设 n＝k (k∈N*)时，(*)式成立， 即 1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2 ＝kk1＋2 1(3k2＋11k＋10)，
第十一页，共24页。
设数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝an＋a1n (n＝1,2，…)．
(1)证明：an> 2n＋1对一切正整数 n 都成立；
(2)令
bn＝
an n
(n＝1,2，…)，判断
bn 与
bn＋1 的大小，并说明
理由．
(1)证明 方法一 当 n＝1 时，a1＝2> 2×1＋1，不等式 成立． 假设当 n＝k (k∈N*)时，ak> 2k＋1成立． 那么当 n＝k＋1 时， a2k＋1＝a2k＋a12k＋2>2k＋3＋a1k2>2(k＋1)＋1. ∴当 n＝k＋1 时，ak＋1> 2k＋1＋1成立．
第二页，共24页。
[难点正本 疑点清源] 1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与
正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可， 步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算 n＝n0 的 n0 不一定 为 1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步， 证明 n＝k＋1 时命题也成立的过程，一定要用到归纳假 设，否则就不是数学归纳法．
第十二页，共24页。
综上，an> 2n＋1对一切正整数 n 都成立．
方法二 当 n＝1 时，a1＝2> 3＝ 2×1＋1，结论成立．
假设当 n＝k (k∈N*)时结论成立，即 ak> 2k＋1. 那么当 n＝k＋1 时，由函数 f(x)＝x＋1x (x>1)的单调递增性和
归纳假设，
知 ak＋1＝ak＋a1k>
验证n＝1时命题是否成立 → 假设n＝k时命题成立 → 推证n＝k＋1时命题成立 → 得结论
证明 (1)当 n＝1 时， a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1 可被 a2＋a＋1 整除． (2)假设 n＝k (k∈N*)时， ak＋1＋(a＋1)2k－1 能被 a2＋a＋1 整除，
第十五页，共24页。
则当 n＝k＋1 时， ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1 ＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1， 由假设可知 a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被 a2＋a＋1 整除， (a2＋a＋1)(a＋1)2k－1 也能被 a2＋a＋1 整除， ∴ak＋2＋(a＋1)2k＋1 也能被 a2＋a＋1 整除， 即 n＝k＋1 时命题也成立， 由(1)(2)知，对任意 n∈N*原命题成立．
第五页，共24页。
是否存在常数 a，b，c 使得等式 1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝ nn1＋2 1(an2＋bn＋c)对于一切正整数 n 都成立？并证明你的
结论．
解 假设存在符合题意的常数 a，b，c，
在等式 1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn1＋2 1(an2＋bn＋c)中，
第十页，共24页。
探究提高
(1)用数学归纳法证明与 n 有关的不等式一般有两种具体形 式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个 式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对 n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后 猜出从某个 n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明． (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由 n＝k 时成立得 n＝k ＋1 时成立，主要方法有：①放缩法；②利用基本不等式； ③作差比较法等．
数学(shùxué)归纳法
第一页，共24页。
忆一忆知识要点
数学归纳法 一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们可以用数 学归纳法：如果 (1)当 n 取第一个值 n0 (n0∈N*)时，结论正确； (2)假设当 n＝k (k∈N*，且 n≥n0)时结论正确，证明当 n＝k ＋1 时结论也正确． 那么，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都成立．
第八页，共24页。
用数学(shùxué)归纳法证明不等 例 2 用数学归纳法证式明：
1＋n2≤1＋12＋13＋…＋21n≤12＋n (n∈N*)．
利用假设后，要注意不等式的放大和缩小． 证明 (1)当 n＝1 时，左边＝1＋12，右边＝12＋1， ∴32≤1＋12≤32，即命题成立． (2)假设当 n＝k (k∈N*)时命题成立，即 1＋k2≤1＋12＋13＋…＋21k≤12＋k，
n n＋1
n
<1＋2n1＋1· n＋n 1＝22n＋n＋11n＋n 1
＝2 2nn＋n＋1 1＝
nn＋＋12122－14<1.
故 bn＋1<bn.
第十四页，共24页。
用数学归纳法证明(zhèngmíng)整除 例 3 用数学归纳法问证题明 an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被 a2＋a
＋1 整除．
第二十三页，共24页。
1．数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题． 2．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的
验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验 证；初始值的验证是归纳假设的基础． 3．注意 n＝k＋1 时命题的正确性． 4．在进行 n＝k＋1 命题证明时，一定要用 n＝k 时的命题， 没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．
第二十四页，共24页。
第九页，共24页。
则当 n＝k＋1 时， 1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k >1＋k2＋2k·2k＋1 2k＝1＋k＋2 1. 又 1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k <12＋k＋2k·21k＝12＋(k＋1)， 即 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，命题对所有 n∈N*都成立．
所以当 n＝k＋1 时，等式仍然成立．
由(1Байду номын сангаас、(2)可知，对于∀n∈N*等式恒成立．
第四页，共24页。
用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值 n0 的取值并验 证 n＝n0 时命题的真假(必不可少)．“假设 n＝k (k∈N*，且 k≥n0)时命题正确”并写出命题形式分析“n＝k＋1 时”命 题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端 应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用 的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之： 两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉．
第三页，共24页。
用数学归纳法证明(zhèngmíng) 等式
例 1 求证：12＋22＋…＋n2＝nn＋162n＋1. 证明 (1)当 n＝1 时，左边＝1， 右边＝1·1＋162＋1＝1，左边＝右边，等式成立； (2)假设 n＝k (k∈N*)时，等式成立， 即则当12＋n＝22k＋＋…1＋时k，2＝kk＋162k＋1， 12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝kk＋162k＋1＋(k＋1)2 ＝k＋1[k＋1＋6 1][2k＋1＋1]
[1 分] [2 分]
又由 S3＝a1＋a2＋a3＝12a3＋a13 得 a32＋2 2a3－1＝0，∴a3＝ 3－ 2.
[3 分]
(2)猜想 an＝ n－ n－1 (n∈N*)
[5 分]
证明：①当 n＝1 时，a1＝1＝ 1－ 0，猜想成立． [7 分]
第二十页，共24页。
②假设当 n＝k (k∈N*)时猜想成立， 即 ak＝ k－ k－1，
由①②知，an＝ n－ n－1 (n∈N*)．
[14 分]
第二十一页，共24页。
(1)本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思 维方式去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是 非常重要的一种思维能力． (2)本题易错原因是，第(1)问求 a1，a2，a3 的值时，易计算错 误或归纳不出 an 的一般表达式．第(2)问想不到再次利用解方 程的方法求解，找不到解决问题的突破口．