高考数学 顺义区2015届高三第一次统练答案(理科)

顺义区2015届高三第一次统练
数学试卷答案（理科）
一、CBAD DCBC 二、
9.
10. 11. -30 12.360 13.4，25
4
14. 12
三、 15.解
解:(I)在ABC ∆中,因为2
B A π
-=
,
所以2
B A π
=+
,即
2
B π
π<<, …….............................................................2分
所以sin sin sin cos 22A B B B ππ⎛
⎫
⎛⎫=-
=--=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
..........................................4分
(
=-== ...........................................5分 由正弦定理,
sin sin a b
A B
=
得sin 3sin b A a B ===. ...........................7分
(II)因为2
B A π
-=
,即2
B A π
=+
,
所以B 为钝角,A 为锐角. 由(I)可知
,sin A =
,
所以cos 3A ===. ...........................................9分
又sin B B =
=, ...........................................10分 所以()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦ ...........................................11分
(12)
分
cos cos sin sin 33333
A B A B =-+⎛⎫=-⨯-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭=
...........................................13分
16.解（I）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为
6元/kg”，
由题意知()0.3,()0.6.
P A P B
==...........................................1分因为利润=产量⨯市场价格-成本
所以X的所有可能的取值为
30068001000,300108002200,
50068002200,500108004200.
(1000)()()0.50.60.3
(2200)()()()()0.50.40.50.6
0.5
(4200)()()0.50.40.2
P X P A P B
P X P A P B P A P B
P X P A P B
⨯-=⨯-=
⨯-=⨯-=
===⨯=
==⋅+⋅=⨯+⨯
=
==⋅=⨯=
...........................................6分所以X的分布列为
...........................................7分（II）
这3年中第二年的利润少于第一年的概率为
(2200)(1000)(4200)(1000)
(4200)(2200)
0.31.
P X P X P X P X
P X P X
=⋅=+=⋅=
+=⋅=
=
...........................................13分
17.
（I）证明：在PAD
∆中，,
PA PD Q
=为AD中点.
所以PQ AD
⊥...........................................1分因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD I底面ABCD AD
=
所以PQ⊥底面ABCD...........................................3分又AB⊂平面ABCD
所以PQ AB
⊥............................................4分（II）解：在直角梯形ABCD中，AD//
1
,,
2
BC BC AD Q
=为AD中点
所以
所以四边形BCDQ为平行四边形
因为AD DC
⊥
所以AD QB ⊥
由（I ）可知PQ ⊥平面ABCD
所以，以Q 为坐标原点，建立空间直角坐标系，.Q xyz -如图.
则(0,0,0),(1,0,0),3),(3,0),Q A P C -
(1,0,0),3,0).D B -
所以3,3),(0,3,0),(1,0,3)PB CD PD =-=-=--u u r u u u r u u u r
(6)
分
设平面PCD 的法向量为(,,),n x y z =r
则
0,0n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u
r 即30,30
x z ⎧=⎪⎨--=⎪⎩亦即0
3y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩ 令1z =，得3,0.x y ==所以(3,0,1)n =r
...........................................8分
设直线PB 与平面PCD 所成角为α，则
2
sin |cos ,|4||||
n PB n PB n PB α⋅=<>==r u u u r
r u u u r r u u u r
所以PB 与平面PCD 2
...........................................10分 （III ）解：如（II ）中建立空间直角坐标系 因为,AQ PQ AQ BQ ⊥⊥ 所以AQ ⊥平面PQB
即QA u u u r 为平面PQB 的法向量，且(1,0,0).QA =u u u r
...........................................11分
因为M 是棱PC 的中点
所以点M 的坐标为133(2-
又3,0)QB =u u u r
设平面MQB 的法向量为(,,).m x y z =u r
则00
m QB m QM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u u r 即30133
0222
x y z =⎨-+
+=⎪⎩ 令1,z =得3,0x y ==
所以(3,0,1)m =u r
........................... ...........................................13分
所以3
cos ,2||||
OA m QA m OA m ⋅<>==
u u u r u r
u u u r u r u u u r 由题知，二面角P QB M --为锐角 所以二面角P QB M --3
................ ...........................................14分 18.
（I ）解：2
2
()ln f x a x ax x =+-
222
121
()2(1)(21)(0)
a x ax f x a x a x x ax ax x x
+-'=+-=
+-=>
............... ...........................................2分
所以，0a >时，()f x 与()f x '的变化情况如下：
因此，函数()f x 的单调递增区间为1
(
,)2a
+∞； 单调递减区间位1
(0,
).
2a
............... ...........................................6分 （II ）证明：2
2
()()ln g x a x f x x ax =-=-
1
()g x a x
'=
- 所以(1)1g a '=- 所以l 的斜率为1l k a =-
............... ...........................................7分
因为l '//l ，且l '在y 轴上的截距为1
所以直线l '的方程为(1)1y a x =-+ ............... ...........................................8分 令()()[(1)1]ln 1
(0)h x g x a x x x x =--+=-->
则无论a 取任何实数，函数()g x 的图象恒在直线l '的下方，等价于()0h x <
(,0)a R x ∀∈∀> ............... ...........................................9分
而11()1x
h x x x -'=
-=
............... ...........................................10分 当(0,1)x ∈时，()0h x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<
所以函数()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减 从而当1x =时，()h x 取得最大值(1)2h =-
即在(0,)+∞上，()h x 取得最大值(1)2h =- ............... ...........................................12分 所以()20(,0)h x a R x ≤-<∀∈∀>
因此，无论a 取任何实数，函数()g x 的图象恒在直线l '的下方. ......................................13分
19.解：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为22
1.43
x y += 所以22
4,3,a b ==从而222 1.c a b =-= 因此，2, 1.a c ==
故椭圆C 的离心率1
.
2c e a ==
..... ...........................................4分 （II ）由题意可知，点P 的坐标为3
(1,).2
-
设1l 的方程为3(1).2y k x =++
则2l 的方程为3
(1).2
y k x =-++........................................5分
由223(1)23412y k x x y ⎧
=++⎪⎨⎪+=⎩
得2222(43)(812)41230.k x k k x k k +++++-= 由于1x =-是此方程的一个解.
所以此方程的另一解224123
43
A k k x k +-=-+
同理22
4123
43B k k x k --=-+
............... ...........................................7分
故直线AB 的斜率为33
(1)(1)22B A B A AB
B A B A
k x k x y y k x x x x -++-+-
-==-- 222
86(2)
143.24243
k k k k k -+-++==-+ ........... ...........................................9分
设直线AB 的方程为1
.2
y x m =-
+ 由2212
3412y x m x y ⎧
=-+⎪⎨⎪+=⎩
得2230x mx m -+-=
所以||AB ==
又原点O 到直线AB
的距离为d = 所以OAB ∆
的面积12OAB S ∆=
=
22(4)
2
m m +-≤= 当且仅当22
4m m =-，即22,2m m ==±时.
OAB ∆的面积达到最大.
............... ...........................................13分 由题意可知，四边形ABMN 为平行四边形,
所以，四边形ABMN
的面积4OAB S S ∆=≤故四边形ABMN
面积的最大值为 ............... ...........................................14分
20.解（I ）由题意可知211()(1).33
f x x =+- 所以221112
(1)().
3333n S n n n n N *=
+-=+∈
............... ...........................................1分 当2n ≥时，221121221
[(1)(1)].33333
n n n n a S S n n n n -+=-=
+--+-= 当1n =时111a S ==适合上式 所以，数列{}n a 的通项公式为21
()3
n n a n N *+=
∈................ ...........................................4分 （II ）因为1cos(1),()n n n b a a n n N π*+=+∈ 所以12n n T b b b =+++L
1
122334451(1)n n n a a a a a a a a a a -+=-+-++-L
由（I ）可知，数列{}n a 是以1为首项，公差为2
3
的等差数列. ① 当2,n m m N *
=∈时，
21212233445221(1)m n m m m T T a a a a a a a a a a -+==-+-++-L
213435221212224222()()()
44()33211
(812)(26).
99
m m m m m a a a a a a a a a a a a a a m m m n n -+=-+-++-+=-
+++=-⨯⨯=-+=-+L L
② 当21,n m m N *
=-∈时，
21212221(1)m n m m m m T T T a a --+==--
222211
(812)(16163)
9911
(843)(267).99
m m m m m m n n =-++++=++=++
所以2
21(26),9
1(267),9
n n n n T n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪++⎪⎩
............... ...........................................7分
要使2
n T tn ≥对n N *∈恒成立，
只要使221(26)(9
n n tn n -+≥为正偶数）恒成立. 即使16(2)9t n
-+≥对n 为正偶数恒成立， 故实数t 的取值范围是5
(,].9-∞-
............... ...........................................9分
（III ）由21
3
n n a +=
知，数列{}n a 中每一项都不可能是偶数. ① 如存在以1a 为首项，公比q 为2或4的数列{},k n a k N *
∈，此时{}k n a 中每一项除第一
项外都是偶数，故不存在以1a 为首项，公比为偶数的数列{}k n a . ② 当1q =时，显然不存在这样的数列{}k n a .
当3q =时，若存在以1a 为首项，公比为3的数列{},k n a k N *
∈，则11,n a =
1
121311,3
,.32
k k k k n k n n a n -+-====
所以存在满足条件的数列{}k n a ，且31
().2
k k n k N *-=∈ ............... ...........................................13分。