2019-2020人教B版数学选修2-1第3章 3.2 3.2.5 距离(选学)课件PPT

22a，
22a－1，
所以|M→N|＝ a2－ 2a＋1.
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(2)由(1)知 MN＝

a－

222＋12，所以，当
a＝
22时，MN＝
22.
即当 a＝ 22时，MN 的长最小，最小值为 22.
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计算两点间的距离的两种方法 (1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求 A，B 两点间的距离， 一般用|AB|＝ |A→B|2＝ A→B·A→B求解． (2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图 形适宜建立空间直角坐标系时．
第三章 空间向量与立体几何
3．2 空间向量在立体几何中的应用 3．2.5 距离(选学)
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学习目标
核心素养
1.掌握向量长度计算公式．(重点) 通过学习空间距离的求解，提
2.会用向量方法求两点间的距离、 升学生的逻辑推理、数学运算素
点到平面重点、难点)
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[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)．
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因为 CM＝BN＝a(0<a< 2)，且四边形 ABCD，ABEF 为正方形，
所以

M
22a，0，1－
22a，N
22a，
22a，0，
所以M→N＝0，
自主预习 探新知
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1．距离的概念
一个图形内的任一点 与另一图形内的任一点 的距离中的 最小值 ，
叫做图形与图形的距离． 2．点到平面的距离
(1)连接平面外一点与平面内任意一点的所有线段中， 垂线 最短． (2)一点到它在一个平面内正射影 的距离，叫做点到这个平面的距离．
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3．直线与它的平行平面的距离 (1)如果一条直线平行于平面 α，则直线上的各点到平面 α 所作 的垂线段 相等，即 各点到α的距离相等． (2)一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做 直线与 这个平面的距离．
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2．如何用向量法求点到直线的距离？ [提示] 设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线，A 是直线 l 外一定 点，向量P→A在向量 s 上的射影的大小为|P→A·s0|，则点 A 到直线 l 的距 离 d＝ |P→A|2－|P→A·s0|2其中s0＝|ss|.
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【例 2】 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1＝1，AB＝4，BC ＝3，∠ABC＝90°，求点 B 到直线 A1C1 的距离．
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3．已知平面 α 的一个法向量 n＝(－2，－2,1)，点 A(－1,3,0)在
α 内，则 P(－2,1,4)到 α 的距离为( )
A．10
B．3
8
10
C.3
D. 3
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D [A→P＝(－1，－2,4)，d＝|A→|Pn·|n|＝130.]
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合作探究 提素养
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空间两点间的距离
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点到直线的距离 [探究问题] 1．如何理解与认识点到直线的距离？
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[提示] 点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直 线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转 化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．
(1)点在直线上时，点到直线的距离为 0. (2)点在直线外时，点到直线的距离即为此点与过此点向直线作 垂线的垂足间的距离．即点到直线的距离可转化为两点间的距离．
内一点，且点 M 到其他三个平面的距离分别是 2,3,6，则点 M 到顶
点 P 的距离是( )
A．7
B．8
C．9
D．10
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A [以 P 为坐标原点，P→A，P→B，P→C的方向分别为 x 轴、y 轴、 z 轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ( 图 略 ) ， 由 题 意 ， 得 |MP| ＝
[思路探究] 建立坐标系，利用向量法求解．
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[解] 以 B 为原点，建立如图所示的空间直角
坐标系，
则 A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以直线 A1C1 的方
向向量为A→1C1＝(－4,3,0)，而B→C1＝(0,3,1)，
所以点 B 到直线 A1C1 的距离
d＝
|B→C1|2－B→C1·|AA→→11CC11|2＝
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4．两个平行平面的距离 (1)和两个平行平面同时 垂直 的直线，叫做两个平面的公垂线， 公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的 公垂线段． (2)两平行平面的 公垂线段 的长度，叫做两平行平面的距离．
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思考：线面距、面面距与点面距有什么关系？ [提示]
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1．在四面体 P-ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，M 是平面 ABC
【例 1】 如图所示，正方形 ABCD，ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD，ABEF 互相垂 直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动， 若 CM＝BN＝a(0<a< 2)．
(1)求 MN 的长． (2)a 为何值时，MN 的长最小？
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[思路探究] 建立坐标系，写出点的坐标，利用两点间距离公式 求解．
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1．如图所示，在 120°的二面角 α-AB-β 中，AC ⊂α，BD⊂β 且 AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为 A，B，已知 AC＝AB＝BD＝6，试求线段 CD 的 长．
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[解] ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴C→A·A→B＝0，B→D·A→B＝0， 又∵二面角 α-AB-β 的平面角为 120°， ∴〈C→A，B→D〉＝60°， ∴|CD|2＝|C→D|2＝(C→A＋A→B＋B→D)2 ＝C→A2＋A→B2＋B→D2＋2(C→A·A→B＋C→A·B→D＋B→D·A→B) ＝3×62＋2×62×cos 60°＝144， ∴CD＝12.
22＋32＋62＝7.]
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2．设 A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则 AB 的中点 M 到点 C 的
距离|CM|等于( )
A.
53 4
B.523
53 C. 2
13 D. 2
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C
[∵M 点 坐 标 为 2，23，3 ， ∴|MC| ＝
2－02＋23－12＋3－02＝ 253.]