析因的进一步分析2

析因的进一步分析
关于析因，有很多需要学习;本章仅涵盖了一小部分而已,包括处理不平衡数据、析因的权力和样本量以及双因素析因设计的的特殊方法。

10.4双因素析因设计
双因素析因设计中,所有的因素正好都有两个水平
双因素析因设计中,所有的因素都有两个水平。

相对于k因素,我们称之为2K设计,因为所有的因素有2 k 种不同的因素-水平组合。

同样,与k因素设计相似,三因素设计的每个因素都有三个的水平，并用3K来表示。

双因素析因设计有些特别,因为它们是k因素设计中最小的设计。

筛选很多因素时双因素析因设计使用频繁。

高水平与低水平
由于双因素析因设计非常普遍,它们有特定的符号及相关的技术。

每个因素的两个水平通常被称为低和高。

如果是定量的因素,这些条款有明确的含义。

即使是一些非定量的因素，也通常被用作标签。

值得注意的是“关闭”和“在”都一样好用,但是低和高是普通术语。

低水平字母表示高水平因素不要把bc与BC相混淆
有两种方法来表示双因素设计中的因素水平组合设计。

第一个方法是利用字母且这种方法比一般方法常见。

通过一系列的小写字母来表示因素水平组合设计:例如,bcd。

我们一直在使用这些小写字母表示不同的因素中的水平数量,但双因素析因设计中所有的因素都有两个水平,故不应该有混乱。

那些与因素对应的字母是高水平,而那些与因素不对应的字母是低水平。

因此ac表示因素A和C在高水平时的结合，而其他因素在较低的水平。

使用符号(1)来表示所有因素在较低的水平的结合。

以y为下标来表示给定的因素水平组合设计的平均响应,例如yab。

不要把因素水平组合设计中的bc与交互作用BC相混合;前者是单一处理,后者是不同处理间的对比。

二进制数字 0表示因素处于低水平 1代表因素在高水平
第二种方法使用数字并且这也推广到三因素析因和高阶析因分析。

因素水平组合设计用k二进制数字来表示,一个数字表示每个因素的水平:0表示该因素处于低水平,1代表此因素在高水平。

因此000表示所有因素都在低水平,同(1),011表示因素B和C处于高水平,与bc所代表的含义相同。

这通过使用更多的位数而推广到其他析因分析。

例如,我们使用的是数字0,1,2来表示三因素析因分析的的三个水平。

用标准顺序来描述因素水平组合列表的模式
按照习惯以标准的顺序来安排双因素析因设计中因素水平组合设计。

当我们后来需要修改双因素析因设计时，标准的顺序将帮助我们跟踪因素水平组合。

从历史上看,标准顺序对耶茨算法非常有用(参见下一节)。

双因素析因设计的标准顺序从(1)开始,然后通过因素水平组合的余数来进行，因素A变化最快,然后因素B,等等。

在标准顺序中,因素A将重复低,高的模式;因素B会重复低,低,高,高的模式;因素C会重复低,低,低,低,高,高,高,高的模式,其它的因素也同样的。

一般来说,jth因素会重复2j−1次低频及2j−1次高频模式。

对于24，标准顺序如(1),a、b、ab,c,ac,bc,abc,d,ad,abd bd,cd,acd,bcd和abcd。

表10.2：23设计的加与减
表中的加与减
双因素析因设计的有几个基本的设计，我们稍后将会讨论,我们将利用加减表作为一个工具。

对于一个2 k设计，将建立一个2k行和k列的表。

这些行按因素水平组合中的标准顺序来标记,而列用k因素来标记。

原则上,表的主体包含+1’和-1’，+1表示一个因素在高水平,而−1表示因素处于低水平。

实践中,我们只使用加减号来表示因素的水平。

表10.2显示了23的设计。

10.4.1 对照
双因素析因设计的一个好处是,每一个主效应和交互作用均是单一自由度,所以我们可以通过单一对照代表任何一个主效应或交互作用。

例如,因素A的主效应有23个，可以表示为
在八处理手段中加号表示A处于高水平和负号表示A处于低水平，这形成对照。

同样,A的平方和可
被写为
wA对比度的系数的平方和中+1代表A是高水平，-1表示A是高水平(就像25和-25、−17.321和17.321 平方和不受对比系数的非零乘数的影响)。

值得注意的是,wA对比度与表10.2中因素的列栏中加减号是完全相同的模式。

总效应
但因素A的总效应不同。

总效应是高水平因素A的平均响应高,减去低水平因素A的平均响应,所以我们也可以通过重新调节2k设计中除数4被2k-1所替代的wA对比度来获得因素A的总效应。

表10.2的列栏给我们了展示了主效应的对照。

双因素析因设计中的交互作用也是单一自由度,所以它们之间必须有鲜明对比。

我们通过主效应对照的元素智能产品来获得交互作用的对照。

例如,BC交互作用的对照系数是B和C对照系数的产物。

三方交互作用对照是三个主效应对照的产物,等等。

这是最容易通过引用表10.2的列栏,+和-可被解释为+1和-1。

表10.3显示了23设计中的这些对照。

表10.3 23设计的所有的对照
耶茨算法是双因素析因设计中效应的精算的一种方法。

它可经过改良后在三因素析因设计和一般的析因设计中应用,但我们仅讨论其在双因素析因设计中的应用。

耶茨算法
始于标准顺序的处理方法并在标准顺序中用最少的计算产生总平均值和析因效应。

如表10.3,我们看到有2 k的影响(添加列
所有的总体平均值)的列每个涉及2 k的添加,删除工作,
或乘法共有22 k操作。

耶茨的算法
允许我们得到同样的结果与k2k操作,节省一笔可观的费用
手工计算和值得考虑的计算机软件。