六年级《速算与巧算》教案

六年级《速算与巧算》教案
教学部主管：时间：2016年月日
●运算律回顾：
加法交换律：a+b=b+a 乘法交换律：a×b=b×a
加法结合律：a+b+c=a+(b+c）乘法结合律：a×b×c=a×(b×c)
减法的性质：a－b－c=a－(b+c) 乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c
除法的性质：a÷b÷c=a÷(b×c)
●提取公因数：这个方法等同于课内所学的乘法分配律的逆运算。

一般情况
下；用提取公因数法解决的题目有两个特征。

一、要有“公因数”（共同的因数）；如果是“疑似”公因数（例如38和3.8或者38和19）我们可以借助下面几个方法对它进行加工。

①a×b=(a×10)×(b÷10) ②a
b×c=
c
b×a ③a×b×c=a×(b×c)
二、要有互补数。

●裂项的计算技巧：⎧⎧
⎪⎨
⎨⎩
⎪
⎩
“裂差”型运算分数裂项
“裂和”型运算整数裂项
●知识点一：提公因数法
题型一、直接提取：
例1：计算3×101-6.3
【思路导航】把算式补充完整；6.3×101-6.3×1；学生就很容易看出两个乘法算式中有相同的因数6.3。

省略“1”的写法；同学要看的出。

【解答】原式=6.3×（101-1）
=6.3×100
=630
【随堂练习】13
4
19+86
15
19×0.25+0.625×86
15
19+86
15
19×0.125
例2：计算7.816×1.45+3.14×2.184+1.69×7.816
【思路导航】观察整个算式的过程中；你有没有发现局部的公因数呢？将局部进行提取公数计算；看看会发生什么事情？
【解答】原式=7.816×（1.45+1.69）+3.14×2.184
=7.816×3.14+3.14×2.184 （这里是不是可以继续提取公因数了呢）
=3.14×（7.816+2.184）
=3.14×10
=31.4
总结：在加减乘除混合运算中；先观察有无公因数。

如果没有；有无局部的公因数；有局部公因数的题目往往可以进行二次提取。

【随堂练习】计算81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5
【变式训练】计算8.1×1.3－8÷1.3＋1.9×1.3+11.9÷1.3
题型二、有疑似公因数；变化后再提取：
例3：36.1×6.8+486×0.32
【思路导航】本题直接计算不是好办法。

经验告诉我们；这道题一定可以提取公因数。

可是；公因数在哪呢？这里就需要我们构造！本题中6.8和0.32是不是可以变成“补数”呢？
【解答】原式=36.1×6.8+48.6×3.2
=36.1×6.8+（36.1+12.5）×3.2
=36.1×（6.8+3.2）+12.5×3.2
=361×12.5×8×0.4
=361+40
=401
总结：当题中出现“补数”或某些数可以化为“补数”时；要注意去凑公因数。

【随堂练习】计算33
5×25
2
5+37.9×6
2
5
【变式训练】计算20.11×13+201.1×5.5+2011×0.32
知识点二：计算三大技巧——裂项
常见的裂项一般是将原来的分数分拆成两个分数或多个分数的和或差；使拆分后的项可以前后抵消或凑整。

这种题目看似结构复杂；但一般无需进行复杂的计算。

一般分为分数裂项和整数裂项；其中分数裂项是重要考点。

例4、计算：1661
20÷41
【思路导航】我们如果找到一个数能被41整除；那么想想1661
20中是否包含
这样的一个数呢？显然我们要对1661
20进行拆分。

将它拆分成164+2
1
20；刚好
164能被41整除。

（拆分可以看成简单的裂项）
【解答】原式=（166+21
20）÷41
=164÷41+41
20÷41
=4+21
20 =41
20
【随堂练习】542
5÷17
【变式训练】1998÷19981998
1999
思考：公式推导：
同学们都知道；在计算分数加减法时；两个分母不同的分数相加减；要先通分化成同分母分数后再计算 例如：13×14=1
12；这里分母3、4是相邻的两个自然数；公分母正好是它们的乘积；把这个例题推广到一般情况；就有一个很有用的等式：
111n n 1(+1)(1)n n n n n n +-=-+⨯⨯+
=n 1(1)n
n n +-⨯+
=1
(1)n n ⨯+ 即1111(1)n n n n -=+⨯+或者111(1)1n n n n =-⨯++
下面利用这个等式；巧妙地计算一些分数求和的问题
知识点二：计算技巧之“裂项”
一、分数裂项——“裂差”型运算
题型一：当分母上是两个数乘积的形式；分子可以表示分母上这两个数的差；则可以进行裂项。

例5：计算112⨯+123⨯+134⨯+……+1
99100⨯
【思路导航】分母是相邻两数之和；那么我们可以运用上面所推导的公式进行拆分
【解答】原式=
11111111111=(1)+()()()+()()2233445989999100
11111111111=1++2233445989999100
1=1100
99100-
-+-+-+-+---+-+-+-+--=………… 【随堂练习】计算1111101111121213
4950++++⨯⨯⨯⨯……
【变式训练】计算1111++++1447710
1920⨯⨯⨯⨯……
（提示：每个分数的分子为1；分母是3的两个自然数的乘积；因此可将每个分数拆成两个分数的差；结果扩大三倍；那么我们将这个差缩小三倍才能作恒等变形。

）
总结：将1
()n n d ⨯+分拆成两个数的差时；不要忘记乘以1d
；这样才是恒等变形。

题型二：当分母上是几个数的乘积形式；分子可以表示为头尾两个因数的差；则可以进行裂项。

思考：公式推导：例如将
2234⨯⨯进行恒等变形。

11114226122334234234--=-==⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 分母6和12 分解质因式之后为（2；3）和（2；2；3）那么我们可以将它重新组合成三个相邻数相乘；此时分母扩大了2倍；要想分数的大小不变；则分子也要扩大两倍。

因此112211=23342342342334-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯或 则有公式：2k 11()(2)()()(2)n n k n k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯++⨯+
例6：计算1111+++123234345456⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【思路导航】我们已经学会了将分数为两个数相乘的分数拆分成两个分数相减的形式；同样的道理我们也可以将分母为三个数相乘的分数拆分成两个分数之差；且同样使得一些分数相抵消；从而达到简便计算的效果。

分母是连续的三个自然数相乘；且第一个数与第二个数相差2；而分子是1；必须将分子变为2才能裂项；分子变为2；要使分数大小不变；分数值必须乘
以1 2。

【解答】原式=
111111111 () 12232334344545562 -+-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
=
111 () 2562
-⨯
⨯
=141 302
⨯
=7 30
【随堂练习】
2222
++++ 2342454569899100⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
……
例7：计算1111111
++++++
6122030425672（逆向运用题型）
【思路导航】对于多个不同分数单位相加的计算题；我们一般试着把分母转化成两数相乘的形式；然后尝试用裂项法来解决。

要注意整个过程中都是形式变化而值不变。

【解答】原式=
111111 ++++++ 122334455689⨯⨯⨯⨯⨯⨯
……
=1-111111111111
++ 223344556689 +-+-+-+-+-
……
=1-1 9
=8 9
【随堂练习】111111
+++++ 2460120210336504
二、分数裂项——“裂和”型运算
当分母上是两个数的乘积的形式；分子可表示为分母上这两个乘积的和；则可以进行裂和。

例如：
53+23211 ==+=+ 2323232323⨯⨯⨯⨯
例：计算
1113 5667
-
⨯⨯
1、计算
1111
++++ 135357579111315⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
……
2、计算53.5×35.5+53.5×43.2+78.5×46.5
3、计算36×1.09+1.2×67.3
4、计算
112233 +++++ 122335577101013⨯⨯⨯⨯⨯⨯
计算：365791113
++++++
57612203042
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