江西省抚州市临川第一中学2021届高三下学期5月高考模拟考试数学(理)试题含答案

2021年临川一中高三模拟考试试题
理科数学
一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（）
A．∀x∉R，x2≥0B．∀x∈R，x2＜0C．∃x∈R，x2≥0D．∃x∈R，x2＜0 3．已知集合A＝{1，2}，集合B＝{0，2}，设集合C＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则下列结论中正确的是（）
A．A∩C＝∅B．A∪C＝C C．B∩C＝B D．A∪B＝C
4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行
B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交、平行或异面
C．若m⊥α，l∥α，则直线m与n一定垂直
D．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与n一定平行
5．已知向量，满足||＝1，＝（1，﹣2），且|+|＝2，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“b cos A﹣c＜0”是“△ABC为锐角三角形”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，且直线x＝﹣（c是双曲线的半焦距）与抛物线y2＝4x的准线重合，则此双曲线的方程为（）
A．＝1B．＝1
C．＝1D．＝1
8．《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈
L 2h ．用该术可求得圆率π的近似值．现用该术求得π
的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27，则该圆锥体积的近似值为（ ） A ．
B ．3
C ．3
D ．9
9．已知π
π3sin()sin()6
6
αα-=+，则cos2α=
A ．17
B ．17-
C ．1113
D ．1113
-
10.“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼､乐､射､御､书､数”为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识竞赛活动,现有六位同学,每位同学准备了六艺”中的一类相关知识,且各不相同,每位同学随机从这六类知识中抽取不同的一项参加回答,则恰有三位同学抽到自己准备的知识的概率为
1
.
18
A 2.
15
B
1.6
C
1.4
D
11．已知函数2
2
2()131
x
x f x x =-++.若存在(1,4)m ∈使得不等式 2(4)(3)2f ma f m m -++>成立,则实数a 的取值范围是
A ．(,7)-∞
B ．(,7]-∞
C ．(,8)-∞
D ．(,8]-∞ 12．设a ，b ∈R ，函数f （x ）＝若函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b
恰有3个零点，则（ ） A ．a ＜﹣1，b ＜0
B ．a ＜﹣1，b ＞0
C ．a ＞﹣1，b ＜0
D ．a ＞﹣1，b ＞0 二、填空题：（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．二项式（
﹣）6的展开式中，常数项为 ．
14．已知椭圆C 1：＝1与双曲线C 2：＝1（m ＞0，n ＞0）有相同的焦点F 1，
F 2，且两曲线在第一象限的交点为P ，若PF 2⊥F 1F 2，且a ＝2b ，则双曲线C 2的离心率为 ．
15．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）＝x 2，若对任意的x ∈[t ，t +2]，不等式f （x +t ）≥2f （x ）恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 16．一个组合体上部分是一个半球，下部分是一个圆柱，半球的底面与圆柱的上底面重合．若
该组合体的体积为V ，则当圆柱底面半径 r = 时，该组合体的表面积最小．
二、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S n ＝a n +1+2． （Ⅰ）证明：数列{S n ﹣2}为等比数列，并求出S n ； （Ⅱ）求数列{
}的前n 项和T n ．
18． 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是边长为2的等边三角形，平面ABC ⊥平面
11AA B B ，11A A A B =，160A AB ∠=，O 为AB 的中点，M 为11A C 的中点．
（1）求证：OM ∥平面11BB C C ； （2）求二面角11C BA C --的正弦值．
19． 在平面直角坐标系xOy 中，已知动点M 到定点(2,0)F -的距离与到定直线l ：32
x =-
23
（1）求动点M 的轨迹E 的方程；
（2）过点F 作互相垂直的两条直线1l ，2l ，其中1l 交动点M 的轨迹E 于M ，N 两点，2l 交圆D ：22(4)9x y -+=于P ，Q 两点，点R 是P ，Q 的中点，求△RMN 面积的最小值．
20．某中学的一个高二学生社团打算在开学初组织部分同学打扫校园.该社团通知高二同学自愿报名，由于报名的人数多达50人，于是该社团采用了在报名同学中用抽签的方式来
（第18题图）
O M
C
C 1
1
B A 1
确定打扫校园的人员名单．抽签方式如下：将50名同学编号，通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，然后再次通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，两次都被抽取到的同学打扫校园．
（1）设该校高二年级报名打扫校园的甲同学的编号被抽取到的次数为Y，求Y的数学期望；（2）设两次都被抽取到的人数为变量X，则X的可能取值是哪些？其中X取到哪一个值的可能性最大？请说明理由．
21．已知实数a≠0，设函数f（x）＝alnx+，x＞0．
（Ⅰ）当a＝﹣时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对任意x∈[，+∞）均有f（x）≤，求a的取值范围．
注：e＝2.71828…为自然对数的底数．
选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以x 轴的非负半轴为极轴，原点O为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线θ＝和θ＝（ρ∈R）分别与曲线C相交于A、B两点（A，B两点异于坐标原点）．
（1）求曲线C的普通方程与A、B两点的极坐标；
（2）求直线AB的极坐标方程及△ABO的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+2|﹣5．
（1）解不等式：f（x）≥|x﹣1|；
（2）当m≥﹣1时，函数g（x）＝f（x）+|x﹣m|的图象与x轴围成一个三角形，求实数m的取值范围．
2021年临川一中高三模拟考试试题
理科数学答案
DDCCBB DDBACC
13. 60 14. 15. [，+∞） 16.
3
53π
V 17.【解答】（Ⅰ）证明：由题意，当n ＝1时，S 1＝a 2+2＝×4+2＝4， 根据已知条件，S n ＝a n +1+2＝（S n +1﹣S n ）+2， 整理，得S n +1＝3S n ﹣4，
两边同时减去2，可得S n +1﹣2＝3S n ﹣4﹣2＝3（S n ﹣2），
∵S 1﹣2＝4﹣2＝2，∴数列{S n ﹣2}是以2为首项，3为公比的等比数列，
∴S n ﹣2＝2•3n ﹣1，∴S n ＝2•3n ﹣
1+2，n ∈N *．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2•3n ﹣1+2﹣2•3n ﹣2﹣2＝4•3n ﹣2，
故a n ＝，∴＝，
当n ＝1时，T 1＝＝， 当n ≥2时，T n ＝
+
+
+…+
＝++•（）1+…++•（）n ﹣2
＝+＝﹣，
∵当n ＝1时，T 1＝， ∴T n ＝﹣
，n ∈N *．
18．（1）证明：取11B C 中点E ，连接BE ， ∵11A M C M =，∴111
2
ME A B =
，ME ∥11A B ， ∵三棱柱111ABC A B C -，O 为AB 的中点，∴111
2
OB A B =
，OB ∥11A B ，
1
∴,OB ME OB =∥ME ，∴四边形OMEB 为平行四边形， ∴OM ∥BE ．…………………………………………………………………3分 ∵OM ⊄平面11BB C C ，BE ⊂平面11BB C C ，
∴OM ∥平面11BB C C ．……………………………………………………5分 （2）∵CA CB =，AO OB =，∴CO AB ⊥， ∵平面ABC ⊥平面11AA B B ，平面ABC
平面11AA B B AB =，
CO ⊂平面CAB ，∴CO ⊥平面11AA B B ，……………………………7分
∵11A A A B =，160A AB ∠=， ∴1AA B ∆为等边三角形， ∵AO OB =，∴1OA AB ⊥， ∴1,,OA OA OC 两两垂直，
以{}
1,
,OA OA OC 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -
，
∴(1,0,0)
A ，1
3,0)A ，(1,0,0)B -，C ，1(
C -．
∴BC =，1(1,BA =．
设平面1A BC 的一个法向量为1111(,,)
n x y z =，
∴111111100n BC x n BA x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==
⎪⎩，，
取1x =
111,1y z =-=-． ∴平面1A BC 的一个法向量为1(3,1,1)n =--，……………………………9分
1BA
=，1BC =．
设平面11A BC 的一个法向量2222(,,)n x y z =，
21222122030
n BA x n BC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，
，
取21y =，得221x z ==-．
∴平面11A BC 的一个法向量为2(1)n =-，……………………………11分 ∴121212
3
cos ,53n n n n n n ⋅<>=
=
=-
，
∴124sin ,5n n <>=
，即二面角11C BA C --的正弦值为4
5
．………………12分 19．解：（1）设M （x ，y ）
=……………2分 即2
2
2
43(2)()32
x y x ++=+，化简得E ：2213x y -=．……………………4分
（2）①若1l 的斜率不存在，则MN =(4,0)R ，
所以△RMN
面积为162S =
=………………………………5分 ②若1l 的斜率存在，且不为0，设为1k ，则11:(2)l y k x =+，
代入2
2:13
x E y -=中并化简得：2222111(13)121230k x k x k ----=，
设11(,)M x y ，22(,)N x y
，则1MN x x =-=，……7分
211
:(2)l y x k =-+，即120x k y ++=
，所以FR
3<，得213k >，………………………………………………9分
所以△RMN
面积为112S =…………………………10分 令2131(8,)k t -=∈+∞
，则S =
=，所以S 的最
小值为，即△RMN
面积的取值范围为．…………12分
20．解：（1）因为甲同学在第一次被抽到的概率是
303
505
=，……………………1分 第二次被抽到的概率也是35，且两次相互独立，所以3
~(2,)5
Y B ，………3分
所以36
()255
E Y =⨯=．……………………………………………………4分
（2）设两次都被抽到的人数的个数为随机变量X ，
则1030X ≤≤（X *∈N ），…………………………………………………6分
则3030505020
3030
5050
()n n n
n C C C P X n C C ---⋅⋅==⋅，…………………………………………８分 令3030505020
50!(50)!20!
()(50)!!(30)!20!(30)!(10)!
n n n
n n f n C C C n n n n n ----=⋅⋅=⋅⋅
---- 250!
[(30)!]!(10)!
n n n =
--，
所以22(1)50![(30)!]!(10)!
()[(29)!](1)!(9)!50!
f n n n n f n n n n +--=⨯
-+- 2
(30)(1)(9)
n n n -=+-，
若2(30)(1)(9)909520n n n n --+-=->，则17n ≤，…………………11分 所以当17n ≤时，(1)()f n f n +>；当18n ≥时，(1)()f n f n +<， 所以当18n =时，()f n 最大，即(18)P X =最大，
所以参加打扫图书馆的人数最有可能是18人.…………………………12分
21解：（1）当a＝﹣时，f（x）＝﹣，x＞0，
f′（x）＝﹣＝，
∴函数f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．
（2）由f（1）≤，得0＜a≤，
当0＜a≤时，f（x）≤，等价于﹣﹣2lnx≥0，
令t＝，则t≥2，设g（t）＝t2﹣2t﹣2lnx，t≥2，
则g（t）＝（t﹣）2﹣﹣2lnx，
（i）当x∈[，+∞）时，≤2，则g（x）≥g（2）＝8﹣2lnx，记p（x）＝4﹣2﹣lnx，x≥，
则p′（x）＝﹣＝
＝，
列表讨论：
x（，1）1（1，+∞）p′（x）﹣0+
P（x）p（）单调递减极小值p（1）单调递增
∴p（x）≥p（1）＝0，∴g（t）≥g（2＝2p（x）≥0．
（ii）当x∈[）时，g（t）≥g（）＝，
令q（x）＝2lnx+（x+1），x∈[，]，则q′（x）＝+1＞0，
故q（x）在[，]上单调递增，∴q（x）≤q（），
由（i）得q（）＝﹣p（）＜﹣p（1）＝0，
∴q（x）＜0，∴g（t）≥g（）＝﹣＞0，
由（i）（ii）知对任意x∈[，+∞），t∈[2，+∞），g（t）≥0，
即对任意x∈[，+∞），均有f（x）≤，
综上所述，所求的a的取值范围是（0，]．
22解：（1）曲线C和参数方程为，
∴消去参数α得曲线C的普通方程为x2+y2﹣2y＝0，
∴曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
将直线θ＝和θ＝代入圆的极坐标方程得ρ1＝，ρ2＝1，
∴A、B两点的极坐标分别为A（），B（1，）．
（2）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得A（，），B（﹣，），
根据两点式方程得直线AB的方程为y＝x+1，
∴AB的极坐标方程为．
∴直线AB恰好经过圆的圆心，故△ABO为直角三角形，且|OA|＝，|OB|＝1，∴S△ABO＝＝．
23解：（1）由题意知，原不等式等价于
或或,解得x≤﹣8或ϕ或x≥2，综上所述，不等式f（x）≥|x﹣1|的解集为（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）．
（2）当m＝﹣1时，则g（x）＝|2x+2|﹣5+|x+1|＝3|x+1|﹣5，
此时g（x）的图象与x轴围成一个三角形，满足题意；
当m＞﹣1时，，
则函数g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，
要使函数g（x）的图象与x轴围成一个三角形，
则，解得；
综上所述，实数m的取值范围为．。