2017-2018学年安徽省定远重点中学高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2017-2018学年安徽省定远重点中学高二上学期期末考试数
学（理）试题
一、单选题
1．设有下面四个命题：
抛物线的焦点坐标为；
，方程表示圆；
，直线与圆
都相交；
过点
且与抛物线
有且只有一个公共点的直线有条.
那么，下列命题中为真命题的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】对于：由题意可得，命题为真命题； 对于：当
时，方程为
，表示圆，故命题为真命题；
对于：由于直线过定点（3,2），此点在圆外，故直线与圆不一定相交，
所以命题为假命题； 对于：由题意得点
在抛物线上，所以过该点与抛物线有且只有一个公共
点的直线有两条，一条是过该点的切线，一条是过该点且与对称轴平行的直线。

所以命题为真。

综上可得
为真命题，选B 。

2．设集合{|20}A x x =-〉， 2
{|20}B x x x =-〉，则“x ∈A”是“x ∈B”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】求解不等式可得： {}
2A x x =， {}
20B x x x =<或， 据此可得“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件. 本题选择A 选项.
3．以双曲线C ： 22
213
x y a -
=（a ＞0）的一个焦点F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相
切，则该圆的面积为（ ） A. π B. 3π C. 6π D. 9π
【答案】B
【解析】考查一般情况：
对于双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>，以双曲线的一个焦点为圆心的圆与双曲线的渐
近线相切，设双曲线的一个焦点坐标为(),0F c ，一条渐近线方程为0bx ay -=，直线与圆相切，则圆心的直线的距离等于半径，即：
bc
r b c
=
=
=. 则本题中设圆的半径为R ，结合双曲线方程有： 223R b ==， 圆的面积23S R ππ==.
本题选择B 选项. 4．点A 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点A 到图形C 的距离．已知点A （1，0），圆C ：x 2+2x+y 2=0，那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是（ ）
A. 双曲线的一支
B. 椭圆
C. 抛物线
D. 射线 【答案】D
【解析】圆的标准方程为()2
2
11x y ++=，
如图所示，设圆心坐标为'A ，满足题意的点为点P ，由题意有：
'11PA PA --=，则'2'PA PA AA -==，
设()2,0B ，结合几何关系可知满足题意的轨迹为射线AB . 本题选择D 选项
.
5．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）
A.
22
1916x y += B.
22
12516
x y +=
C.
2212516x y +=或 22
11625
x y += D. 以上都不对 【答案】C
【解析】由题意可得： 2222218{26 a b c a b c +===+，解得： 22225
{16 9
a b c ===，
当椭圆焦点位于x 轴时，其标准方程为：
22
12516x y +=， 当椭圆焦点位于y 轴时，其标准方程为：
22
11625
x y +=， 本题选择C 选项.
6．已知圆C ： ()2
2
x 3100y ++=和点B(3,0),P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交
CP 于M 点，则M 点的轨迹方程是（ ）。

A. . 26y x =
B.
22
12516x y += C.
22
12516
x y -= D. 2
2
2x y +=
【答案】B
【解析】如图所示，连接BM ，由垂直平分线的性质可知： BM PM =， 故106MC MB MC MP PC BC +=+==>=,
结合椭圆的定义可知M 点的轨迹是以,B C 为焦点， 2PC a =的椭圆， 故210,5a a ==， 26,3c BC c ===
，则4b ==.
椭圆方程为：
22
12516
x y +=. 本题选择B 选项.
点睛：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．
7．椭圆
22
21331
x y a a a +=--的离心率的最小值为
A.
B. 23
C. 13
D. 【答案】A
【解析】方程2221331
x y a a a +=--表示椭圆，则： 2
30{ 310a a a >-->，
据此可得：
a <<
， 很明显2
331a a a >--，即该椭圆表示焦点位于x 轴的椭圆，其离心率为：
3
e =
=
≥=， 当且仅当1a =时等号成立.
综上可得：椭圆222
1331x y a a a +=-- 本题选择A 选项.
点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a
=
； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐
次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．
8．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点离 为4，则k 等于 ( )
A ．4
B ．4或－4
C ．－2
D ．－2或2 【答案】B
【解析】由题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．则抛物线的准线方程为y ＝p
2，由
抛物线的定义知|PF |＝p 2－(－2)＝p
2
＋2＝4，
所以p ＝4，抛物线方程为x 2＝－8y ，将y ＝－2代入，得x 2＝16，∴k ＝x ＝±4
9．若直线y x b =+与曲线2y =b 的取值范围是（ ）
A. 2⎡⎤--⎣⎦
B. (
2⎤--⎦
C. (-
D. 2,⎡⎣
【答案】B
【解析】由2y =整理可得：
()
()2
2
224x y -+-=，且
22y =<，
即2y =()2,2为圆心， 2为半径的圆位于直线2y =下方的部分， 直线y x b =+表示斜率为1的直线系， 如图所示，考查满足题意的临界条件：
当直线经过点()4,2A 时： 24,2b b =+∴=-，
当直线与圆相切时，圆心()2,2到直线0x y b -+=的距离等于半径2，即：
2=，解得： b =±B 时， b =-
结合题中的临界条件可知：实数b 的取值范围是(
2⎤--⎦
.
本题选择B 选项.
10．在平面直角坐标系xOy 中，已知((,0,,A B P 为函数y =上一点，若2PB PA =，则cos APB ∠= （ ）
A.
13 B. C. 34 D. 35 【答案】C
【解析】由y =
得()2211y x y -=≥，所以函数y =图象为双曲线
221y x -=的上支，又点((,0,A B 分别为双曲线的上、下焦点。

由双曲线的定义得2PB PA -=，又2PB PA =，所以4,2PB PA ==。

在APB 中，由余弦定理得(2
22
423
cos 242
4
APB +-∠=
=
⨯⨯。

选C 。

点睛：
双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常涉及到正（余）弦定理、双曲线的定义、三角形的面积公式。

解题中常用到定义式的平方，再结合余弦定理和三角形的面积公式求解。

11．过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于,A B 两点（A 在B 的上方），且l 与准线交于点C ，若3CB BF =
，则
AF BF
= （ ）
A. 2
B. 52
C. 3
D. 9
4
【答案】A
【解析】
如图，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为11,A B ，设,BF m AF n ==。

由11AA BB 得
111
3
BB BF AA BC
BC
AC
=
=
=
，所以133n n m m =++，整理得
2AF n
BF
m
=
=。

选A 。

12．椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点A.关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若
AF BF ⊥，设,ABF α∠=且,124ππα⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）
A. ,12⎫⎪⎪⎣⎭
B. 2⎣⎦
C. ⎫⎪⎪⎣⎭
D. 2⎣⎦
【答案】B
【解析】已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>焦点在x 轴上，
椭圆上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为F 1，
则：连接AF ，AF 1，AF ，BF 所以：四边形AFF 1B 为长方形． 根据椭圆的定义：|AF|+|AF 1|=2a ， ∠ABF=α，则：∠AF 1F=α．
∴2a=2ccosα+2csin α，即a=（cosα+sinα）c ， 由椭圆的离心率e=
c a =1sin αcos α
+
=1
4πα⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭， 由,124ππα⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，, ,432πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
sin （α+
4π）∈
1]，
4πα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
∈
[2，
，
1
4
π
α⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
∈
2
⎣⎦
，
故选：B．
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c 的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
二、填空题
13．若焦点在x轴上的椭圆
22
2
1
45
x y
b
+=上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，则b的取值范围是．
【答案】b0
b≠
【解析】
2
2
y
b
=
设椭圆的焦距为2c，则以原点为圆心，两焦点为端点的线段为直径的圆O的方程为x2+y2=c2
2
2
1
y
b
=上有一点，使它与两焦点的连线互相垂直，只需圆O与椭圆有交
由①②解得：b且0
b≠。

【考点】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质。

点评：基础题，利用数形结合思想，探求得到椭圆与圆的关系。

14．设抛物线
2
2
{
2
x pt
y pt
=
=
（0
p>）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的
垂线，垂足为B，设
7
,0
2
C p
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，AF与
BC相交于点E，若2
C F A F
=，且A C E
∆
的面积为p的值为__________．
【解析】试题分析：抛物线的普通方程为22y p x =， ,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 7322
p
CF p p =
-=， 又2CF AF =，则32AF p =
，由抛物线的定义得3
2
AB p =，所以A x p =，则
A y =，
由//CF AB 得
EF CF EA AB =，即2EF CF
EA AF
==，
所以2CEF CEA S S == ， ACF AEC CFE S S S =+=
所以
1
32
p ⨯=p ． 【考点】抛物线定义
【名师点睛】1．凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离进行处理．
2．若P （x 0，y 0）为抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x 0＋
2
p
；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则弦长|AB|＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
15．已知椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ，上顶点为A ，点P 是该椭圆上的动点，当PAF ∆的周长最大时， PAF ∆的面积为__________． 【答案】
43
【解析】()12PA PF AF a PA PF a a PF PA
++=++=+-+ (其中F 1为左焦点) 133a PA PF a =+-≤+
14AF a ==A ，F 1，P 三点共线时取等号，此时4133P ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭，，所以 1111144·22233
AFP AFF PFF A P S S S FF y y =+=
-=⨯⨯= ． 16．若圆2
2
4x y +=与圆2
2
2
210x y mx m +-+-=相外切，则实数m =______． 【答案】3±
【解析】圆2
2
4x y +=的圆心为()0,0，半径为2
圆222
210x y mx m +-+-=的标准方程为： ()2
21x m y -+=，
其圆心为(),0m ，半径为1，
两圆外切时，圆心距等于半径之和，即：
12=+，
求解关于实数m 的方程可得： 3m =±. 故答案为： 3±．
三、解答题
17．已知圆()2
2
1:18F x y ++=，圆心为1F ，定点()21
,0F ， P 为圆1F 上一点，线段2PF 上一点N 满足222PF NF = ，直线1PF 上一点Q ，满足20QN PF ⋅=
．
（Ⅰ）求点Q 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）O 为坐标原点， O 是以12F F 为直径的圆，直线:l y kx m =+与O 相切，并
与轨迹C 交于不同的两点,A B ．当OA OB λ⋅= 且满足34,55λ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求OAB ∆面积
S 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）22
12x y
+=；
（Ⅱ）⎣⎦
.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）由题意可得N 为线段2PF 中点， QN 为线段2PF 的中垂线，
则
12F Q QF += Q 的轨迹是以1
2,F F 为焦点，长轴长为得点Q 的轨迹C 的方程为2
212
x y +=. （Ⅱ）直线与圆相切，则22
1m k =+，联立直线方程与椭圆方程可得
()2
2
2
124220k x
k m x m +++-=.满足题意时()
228210k m ∆=-+>，则20k >，
设()11,A x y ， ()22,B x y ，由韦达定理结合弦长公式可得
AB =
=，则△ABO 的面积
112S AB =⋅=，换元令42
k k μ=+，结合二次函数的性质可知4
69μ≤≤
，结合反比例函数的性质可得OAB ∆面积S
的取值范围为5⎡⎢⎣⎦
. 试题解析：
（Ⅰ）222PF NF =
，∴N 为线段2PF 中点
∵20QN PF ⋅=
， ∴QN 为线段2PF 的中垂线
∴2QP QF =
∵111
2F P FQ QP FQ QF =+=+=∴由椭圆的定义可知Q 的轨迹是以12,F F
为焦点，长轴长为
设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
则a =
1c =，
∴21b =，
∴点Q 的轨迹C 的方程为2
212
x y +=. （Ⅱ）∵圆O 与直线l 相切，
1=，即221m k =+，
由2
21{2x y y kx m
+==+，消去()222
124220y k x kmx m +++-=整理得.
∵直线l 与椭圆交于两个不同点， ∴()(
)()()
2
2
2
224412228210km k
m
k m ∆=-+-=-+>，
将221m k =+代入上式，可得2
0k >，
设()11,A x y ， ()22,B x y ，
则122412km
x x k +=-+， 2122
2212m x x k -=+，
∴()()1212y y kx m kx m =++= ()22
2
2
12122
212m k k x x km x x m k
-+++=+， ∴
AB =
=
∴λ= OA OB ⋅= 2
12122
112k x x y y k ++=+，
∵
3455λ≤≤，解得21
23
k ≤≤.满足20k >.
又
1
12
AOB
S S AB ∆==⋅=
设42k k μ=+，则4
69
μ
≤≤. ∴S =
=
，
S ≤≤
故
OAB ∆面积S
的取值范围为⎣⎦. 点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元
二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
18．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直
线l
的参数方程为{ x y t =
=-，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.
（1）写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）求直线l 与曲线C 的交点的直角坐标.
【答案】(1)直线l
的直角坐标方程为0y -=；∵曲线C 的普通方程为
2220x x y -+=.
(2) 32
⎛
⎝
⎭， 1,2⎛ ⎝
⎭. 【解析】试题分析：（1）直线l 的参数方程消去参数t 能求出直角坐标方程；曲线C 的极坐标方程化为2
2cos ρρθ=，利用2
2
2
x y ρ=+， cos x ρθ=能求出曲线C 的普通
方程；（2）曲线C 的直角坐标方程为()2
2
11x y -+=，与直线联立方程组，由此能求
出直线l 与曲线C 的交点的直角坐标.
试题解析：
（1）∵直线l
的参数方程为{ x
y t =
=，∴
t y =3
x
=， ∴3
3x =
0y -=.
∴直线l
0y -；
∵曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=. 即2220x x y -+=.
（2）曲线C 的直角坐标方程为()2
2
11x y -+=，
∴()22
0 11y x y --=-+=
，解得32{ 2
x y =
=
或1
2
{ 2x y =
=-. ∴直线l 与曲线C
的交点的直角坐标为32
⎛
⎝⎭，
1,2⎛ ⎝
⎭. 点睛：本题考查直线的直角坐标方程、曲线的普通方程的求法，直线与曲线的交点的直
角坐标的求法，涉及到极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，将极
坐标方程和普通坐标互化主要通过222
{ x y x cos y sin ρρθρθ
=+==来实现，参数方程化为直角坐标方程
主要通过消参法来实现.
19．已知抛物线2:2(0)C x py p =->的焦点到准线的距离为
1
2
，直线:(1)l y a a =<-与抛物线C 交于,A B 两点，过这两点分别作抛物线C 的切线，且这两条切线相交于点
D .
（1）若D 的坐标为()0,2，求a 的值；
（2）设线段AB 的中点为N ，点D 的坐标为()0,a -，过()0,2M a 的直线l '与线段DN 为直径的圆相切，切点为G ，且直线l '与抛物线C 交于,P Q 两点，求PQ MG
的取值范
围.
【答案】（1）2a =-（2
）⎛ ⎝⎭
【解析】试题分析：（1）抛物线的焦点到准线的距离为
12可得1
2
p =，从而得到抛物线的方程，然后设出切线切线AD 的方程为2y kx =+，由0∆=
求得k =±切点在抛物线上可得到2a =-，即为所求。

（2）由（1）得到以线段ND 为直径的圆为圆2
2
2
:O x y a +=。

由题意只需考虑斜率为正数的直线l '
即可，根据几何知识得
l k '=，故l '的方程
为2y a =+，由弦长公式可
得PQ =，又
MG =，所以
PQ MG
=
==，最后根据
1a <-可得PQ
MG ⎛=
⎝⎭。

试题解析：
（1）由抛物线2:2(0)C x px p =->的焦点到准线的距离为12，得1
2
p =， 则抛物线C 的方程为2x y =-.
设切线AD 的方程为2y kx =+，代入2x y =-得220x kx ++=，
由2
80k ∆=-=得k =±
当k =A 的横坐标为2
k
-=
则(2
2a =-=-，
当k =-2a =-. 综上得2a =-。

（2）由（1）知， ()()0,,0,N a D a -，
所以以线段ND 为直径的圆为圆222:O x y a +=， 根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线l '即可， 因为G 为直线l '与圆O 的切点， 所以OG MG ⊥， 1cos 22
a MOG a
∠=
=
， 所以3
MOG π
∠=
，
所以,l MG k '==，
所以直线l '的方程为2y a +，
由22{
y a x y
=+=-消去y 整理得220x a +=，
因为直线与圆相交，所以380a ∆=->。

设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122,x x x x a +==，
所以PQ ==
所以
PQ MG
=
==
设1
t a
=-
，因为1a <-，所以()0,1t ∈， 所以()2
380,11t t +∈，
所以PQ
MG ⎛=
= ⎝⎭
. 点睛：
（1）求抛物线的切线和弦长问题可用代数法求解，注意联立消元后判别式在解题中的应用。

另外，解决解析几何问题还要注意平面几何知识的应用。

（2）圆锥曲线中的范围问题，解决时可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用基本不等式求出参数的取值范围；
③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
20．已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线与
x 轴所成的夹角为30︒，且双曲线的焦距为
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设12,F F 分别为椭圆C 的左，右焦点，过2F 作直线l (与x 轴不重合)交椭圆于A ，
B 两点，线段AB 的中点为E ，记直线1F E 的斜率为k ，求k 的取值范围.
【答案】（1）22162x y +=；（2）⎡⎢⎣⎦
.
【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于a 、b 、c 的方程组，
结合性质222
a b c =+ ， 求出a 、b 、c ，即可得结果；（2）设()11,A x y ， ()22,B x y ，设直线AB 的方程为
2x ty =+ ，直线与曲线联立，根据韦达定理，将k 斜率 用t 表示，利用基本不等
式即可得结果.
试题解析：(1)一条渐近线与x 轴所成的夹角为30︒知
tan303
b a =︒=
，即22
3a b =，
又c =228a b +=，解得26a =， 2
2b =，
所以椭圆C 的方程为22
162
x y +=. (2)由(1)知()22,0F ，设()11,A x y ， ()22,B x y ，设直线AB 的方程为2x ty =+.
联立22
162
2x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得()22
3420t y ty ++-=， 由12243t y y t -+=+得122
12
3
x x t +=+， ∴22
62,33t E t t -⎛⎫
⎪++⎝⎭
， 又()12,0F -，所以直线1F E 的斜率22
236623
t
t t k t t -+==+--+. ①当0t =时， 0k =；
②当0t ≠时，
2166t
k t t t
==≤++
，即k ⎛∈ ⎝⎦
. 综合①②可知，直线1F E 的斜率k
的取值范围是⎡⎢⎣⎦
. 21．如图，抛物线1C ： 2
2y px =与椭圆2C ：
2211612
x y +=在第一象限的交点为B ， O 为坐标原点， A 为椭圆的右顶点， OAB ∆
.
（Ⅰ）求抛物线1C 的方程；
（Ⅱ）过A 点作直线l 交1C 于C 、D 两点，射线OC 、OD 分别交2C 于E 、F 两点，记OEF ∆和OCD ∆的面积分别为1S 和2S ，问是否存在直线l ，使得12:3:77S S =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）28y x = ；（Ⅱ）存在直线:1140l x y ±-=符合条件 【解析】试题分析：（1）设(),4B B B x y OA a == ，因为OAB ∆
，求
得43B ⎛
⎝⎭
，代入抛物线即可求p ，则抛物线方程可求；（2）211
sin 2
1sin 2
OC OD COD OC OD
S S OE OF OE OF EOF ∠==
∠ ，则设法求出OC OD 与OE OF 的表达式，并找到它们之间的联系.为此，设直线l 的方程为4x my =+.与28y x =联立，设()11,C x y ，
()22,D x y ，可知128y y m +=， 1232y y =-.直线OC 的方程为1
8
y x y =，与2211612
x y +=联立并整理得22
2
3625612148E F y y m ⨯=+，则m 可求，直线方程可得. 试题解析：（1）因为O A B ∆的面积
为
，设(),4B B B x y OA a == ，所
以B y =
代入椭圆方程得43B ⎛
⎝⎭
，抛物线的方程是： 2
8y x =. （2）存在直线:1140l x y ±-=符合条件. 显然直线l 不垂直于y 轴，故直线l 的方程可设为4x my =+.与2
8y x =联立，设()11,C x y ， ()22,D x y
理由：显然直线l 不垂直于y 轴，故直线l 的方程可设为4x my =+， 与2
8y x =联立得2
8320y my --=.
设()11,C x y ， ()22,D x y ，则128y y m +=， 1232y y =-，
∴12211
sin 32
21sin 2
E F E F OC OD COD OC OD y y S S OE OF y y y y OE OF EOF ∠====
∠. 由直线OC 的斜率为
1118y x y =，故直线OC 的方程为1
8
y x y =，与2211612x y +
=联立得
22111641612E
y y ⎛⎫+= ⎪⨯⎝⎭，同理， 2
2211641612F y y ⎛⎫+= ⎪⨯⎝⎭， 所以22
2212111641612641612E
F
y y y y ⎛⎫⎛⎫
++= ⎪⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭
.
可得22
2
36256
12148E F y y m ⨯=
+，
要使2177
3S S =
，只需()222321214877362563m +⎛⎫= ⎪⨯⎝⎭
， 即21214849121m +=⨯，解得11m =±， 所以存在直线:1140l x y ±-=符合条件. 【考点】直线与圆锥曲线综合问题
【思路点睛】（1）通过三角形OAB ∆
的面积，求出3
B y =
，然后求出横坐标，代入抛物线的方程，求出p ，即可得到抛物线方程．（2）关键在于
211
sin 2
1sin 2
OC OD COD OC OD
S S OE OF OE OF EOF ∠==
∠ 即12:S S 得表达式，所以这里应该成为本题的切入点
22．己知在平面直角坐标系xOy 中,圆M
的参数方程为2:{
7
22
x cos C y sin θθ=
+=+ (θ为参数)以Ox 轴为极轴， O 为极点建立极坐标系,在该极坐标系下,圆N 是以点
3π⎫⎪⎭，为圆心,且过点22π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，的圆心. (1)求圆M 及圆N 在平而直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； (2)求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点之间距离的最小值.
【答案】（1）圆M ：
2
2
742x y ⎛⎛⎫
+-= ⎪ ⎝
⎭⎝⎭圆N ：
2
2
312x y ⎛⎛⎫
+-= ⎪ ⎝
⎭⎝⎭；（2）1.
【解析】试题分析：
（1）将圆M 的参数方程消去参数可得直角坐标方程；把点232ππ⎫
⎛⎫
⎪ ⎪⎭
⎝
⎭
，和点，化为
直角坐标可得圆N 的圆心和圆N 上的一点，从而可得半径，进而可求得圆的方程。

（2）由于两圆相离，故两圆上的两点间的距离的最小值为圆心距减去两半径之和。

试题解析：
（1
）将方程2{ 722
x cos y sin θθ=
+=+消去参数θ
可得22742x y ⎛⎛⎫+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 所以圆M
的方程为2
2
742x y ⎛⎛⎫
-+-= ⎪ ⎝
⎭⎝⎭。

点232ππ⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎭⎝⎭，和点，
的直角坐标分别为()3,0,22⎫⎪⎪⎝⎭
，
所以圆N
的圆心为32⎫
⎪⎪⎝⎭
，半径为1
r =
=， 故圆N
的方程为2
2
3122x y ⎛⎫⎛⎫
-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭。

（2）由（1）得圆M,N 的圆心距为
3MN ==，
所以圆M 上任一点P 与圆N 上任一点之间距离的最小值为
min 3431d MN =-=-=。