弧长和扇形面积

弧长和扇形面积
1. 弧长计算公式
在半径为R 的圆中，因为3600的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以0
n 的圆心角所对的弧长为： 1802360R n R n l ππ=⋅=.即弧长计算公式为：180
R n l π=. 扇形面积的大小与组成扇形的圆心角的大小有关（圆心角越大，扇形的面积越大）；扇形大小还与扇形的半径有关（扇形的半径越长，扇形的面积越大）.
2. 扇形面积计算
如果设圆心角是0
n 的扇形面积为S ，圆的半径为r,那么扇形的面积为：lr r r n r n S 2121803602=⨯==ππ 3. 圆锥的侧面积和全面积
圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径.
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形的面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和.
若圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则它的侧面积为)(,2
r l r r rl S S S rl S +=ππππ＋＝＋＝＝底侧全侧
考点分析与练习
类型1. 利用弧长公式求弧长
例1. 如图，⊙1O 的半径是⊙2O 的直径，C 是⊙1O 上一点，C O 1交⊙2O 于点B.若⊙1O 的半径等于5 cm ，
弧AC 的长等于⊙1O 周长的10
1，则弧AB 的长是 cm. 例2. 如图，已知PA 、PB 是⊙1O 的切线，A 、B 是切点，∠P=600,PA=36,求AB 的长.
例3. 以线段AB 为直径作半圆1O ,以线段1AO 为直径作半圆2O ，半径C O 1交半圆2O 于D 点.试比较弧AC
的长与弧AD 的长的大小.
【拓展提升】
例1.ABC Rt ∆的斜边AB 在直线l 上，AC=1 ,AB=2,将ABC Rt ∆绕点B 在平面内按顺时针方向旋转，使
边BC 落在直线l 上，得到11BC A ∆,再将11BC A ∆绕点1C 在平面内按顺时针方向旋转，使边11C A 落在直线l 上，得到12BC A ∆，则点A 所经过的两条弧弧1AA 、弧21A A 的长度为 .
例2. 已知矩形ABCD 的长AB=4,宽AD=3.按如图所示放置在直线AP 上，然后不滑动地转动，当他转动
一周时（A －E ），顶点A 所经过的路线长等于 .
类型2. 利用扇形面积公式
例1. 如图，圆心角为600的扇形的半径为10cm ，求这个扇形的面积和周长.
变式题：若一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍，且它们的面积相等，则这个扇形的圆心角为 度. 例2. 如图，是某工件形状，圆弧BC 的度数为600，AB=6 cm ，点B 到点C 的距离等于AB ，∠BAC=300，
求工件的面积.
P
A B
.O A B A C B
例3. 如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点A ，直线BC 与⊙O 1切于点B ，与⊙O 2切于点C ，与O 1O 2的方向延长
线交于点P ，已知∠P=300.(1)求⊙O 1与⊙O 2半径的比；（2）若⊙O 1半径为2cm ，求图中阴影部分的
【拓展提升】
例1.用一根很长的钢缆沿地球赤道一圈后，把钢缆放长10m ，此时的钢缆和地球之间的缝隙，是可以让一
头牛通过还是只能让一只老鼠通过？
例2. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是半圆的三等分点，AE 、BD 于点C ，若CE ＝2，则图中阴影部分的面积是（ ） A.
3234-π B. π32 C. 332-π D. π31 例3. 已知：如图，正方形ABCD 的边长为a ，以AB 边中点E 为圆心，a 长为半径化弧MN ，求图中阴
影部分面积.
类型3. 圆锥的侧面积和全面积的计算
例1. （1）圆锥底面圆的半径为5 cm ，母线长为8 cm ，则它的侧面积为 .（用含π的式子表示）
（2）如图，圆锥底面圆的直径为6 cm ，高为4 cm ，则它的全面积为 cm 2.
变式题：（1）已知圆锥的底面半径为40cm ，母线长为90 cm ，则它的侧面展开图的圆心角为 .
（2）亮亮想制作一个圆锥模型，模型的侧面是用一个半径为9 cm ，圆心角为2400的扇形铁皮制
作的，再用一块圆形铁皮做底，请你帮他计算这块铁皮的半径为 cm.
例2. 如图，在ABC Rt ∆中，∠C ＝900，AB=13 cm ，BC=5 cm ，求以AB 为轴旋转一周所得到的几何体
的全面积.
A E
B N
C P
D M C A
例3. 如图，矩形ABCD 中，AB=18 cm ，AD ＝12 cm ，以AB 上一点O 为圆心，OB 长为半径画弧BF 恰与DC 边相切，交AD 于F 点，连结OF.若将这个扇形OBF 围成一个圆锥，求这个圆锥的底面积S.
类型4. 圆锥的侧面积与全面积在实际生活中的应用
例1. 要在如图（1）所示的一个机器零件（尺寸如图（2），单位：mm ）的表面涂上防锈漆，请帮助计算
一下这个零件的表面积.
例2. 如图所示，圆锥的底面圆的半径为3 cm ，母线长为
12 cm ，在底面圆周上有一蜘蛛从点A 出发，
沿圆锥侧面爬行一周回到点A ，求它爬行的最短路线的长.
【拓展提升】
例1. 如图是一纸杯，它的母线AC 和EF 延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图是扇形
例2. 如图，圆锥的轴截面是边长为6cm 的正三角形ABC ，P 是母线AC 的中点
.求在圆锥的侧面上从B
点到P 点的最短路线的长.
F
(1) (2) A
练习： 1.如图，已知在∆ABC 中，∠A ＝450，∠ACB ＝900，AC=2，分别以A 、B 为圆心，AC 为半径画弧交AB 于F ，则弧CF 的长为 ，扇形BCE 的 面积为 ，三角形ABC 的面积为 ，阴影部分的面积为 .
2. 如图，水平位置的圆柱形油桶的截面半径是R ，油面高为
R 2
3，截面上有油的弓形（阴影部分）的面积为 .（结果不取近似值）
3. 如图，有一直径为1 m 的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是900的扇形ABC ，求：（1）被剪
掉阴影部分的面积；（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？（结果用根号表示）
4. 如图，在∆ABC 中，∠C ＝900，AC=4,BC=3,以这个直角三角形的一条边所在的直线为轴旋转一周， 求所得到的几何体的表面积.
5. 如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，若∠APB ＝600，⊙O 半径为3，求阴影部分面积.
6. 一车间要用铁皮加工一批元件，元件由两部分组成，一个圆柱形的铁管，上面有一个圆锥形帽子尺寸如图所示（单位：mm ），问总共需要多少平方厘米的铁皮.
C C B
A 3 5
4
┐
C B F
E
A。