广西陆川县中学2012届高三上学期理科数学周测(3)

2012届数学周测试题(3）2011年8月23日
一、选择题（每小题5分，共60分)
1．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1，2}，则A ∩B 等于( ）
A ．{1}
B ．∅
C ．∅或{1}
D ．∅或{2}
2．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=x x x f 1123)()0()0(<≥x x ，若a a f >)(，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(－∞，－3)
B ．(－∞，－1）
C ．(1，＋∞）
D ．（0，1)
3。

函数y ＝log 2错误!的图象( ）
A ．关于原点对称
B ．关于直线y ＝－x 对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y ＝x 对称
4．设f (x ）是R 上的奇函数,当x >0时，f (x )＝2x ＋x ，则当x <0时，f (x )＝（ )
A ．－（－错误!）x －x
B ．－(错误!）x ＋x
C ．－2x －x
D ．－2x ＋x
5. 函数f (x ）＝（错误!)x 与函数g (x )＝log 错误!|x |在区间(－∞，0）上的单调性为 （ )
A ．都是增函数
B ．都是减函数
C ．f (x )是增函数,g (x ）是减函数
D ．f (x ）是减函数，g (x )是
增函数
6. 已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调增加，则满足)31()12(f x f <-的x 取值范围是
A ．（错误!，错误!）
B ．[错误!,错误!)
C ．（错误!，错误!）
D ．[错误!，错误!）
7．设函数f (x ）＝－x 2＋4x 在[m ，n ］上的值域是［－5，4］则m ＋n 的取值所组成的集合为（ )
A ．［0,6]
B ．[－1，1]
C ．［1,5]
D ．［1，7]
8. 已知二次函数
f (x )的图象如图所示，则其导函数
f ′(x )的图象的大
致形状是( ）
9．过曲线y ＝错误!(a ≠0)上任意一点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是( )
A ．a 2
B 。

错误!a 2
C ．2a 2
D ．不确定
10．若函数f （x )＝错误!（a 为常数），在（－2,2）内为增函数，则实数a 的取值范围是( ）
A ．（错误!，＋∞）
B ．［错误!，＋∞）
C ．(－∞，错误!)
D ．（－∞，错误!］
11。

若函数)(log )(b x x f a
+=（其中,a b 为常数）的图象如右图所示,则函数b a
x g x +=)( 的大致图象是( )
A B C D
12。

已知函数f （x )＝log 2（a －2x )＋x －2,若f （x )存在零点，则实数a 的取值范围是 ( ）
A. (－∞，－4］∪[4，＋∞)
B. [1，＋∞) C 。

[2,＋∞） D.
［4，＋∞)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13。

已知b a b a 11,1052+==则=_______ 。

14．设a ，b ∈R 且a ≠2,若定义在区间（－b ，b )内的函数f （x ）＝lg 错误!是奇函数，则a ＋b
的取值范围是________．
15. 下列三个命题:
①若函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于y 轴对称,则2
πϕ=； ②若函数2()1ax f x x -=-的图象关于点（1,1)对称，则a=1； ③函数()|||2|f x x x =+-的图象关于直线x=1对称. 其中真命题的序号是_______________.(把真命题的序号都填上)
16. 在R 上的可导函数f (x )满足：f (0）＝0，xf ′(x ）〉0，则①f (－2)
〈f (－1）;②f (x )不可能是奇函数；③函数y ＝xf （x )在R 上为增
函数；④存在区间[a，b］,对任意
x1,x2∈[a，b］，都有f(错误!）≤错误!成立．
其中正确命题的序号为(将所有正确命题的序号都填上) ________.
一、选择题答题卡
二、填空题答题卡
13. 14. 15。

16。

三、解答题（共70分)
17. （本小题10分)已知定义在R上的函数f（x)为奇函数,当x〉0时，f(x）＝x（1＋x），求：
(1)当x<0时，f（x）的解析式；(2）满足f（x）＝1＋x的x值．
18. (本小题12分)设函数f(x）＝ln x,g（x)＝ax＋b
x,函数f(x)的图象与x
轴的交点也在函数g（x)的图象上，且在此点有公切线．
（1)求a、b的值；（2）对任意x>0，试比较f（x）与g（x）的大小．
19. （本小题12分)已知函数f（x）＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，在区间
［2，3]上有最大值5，最小值2。

（1）求a，b的值；（2)若b<1,g（x)＝f(x）－（2m）·x在[2，4]上单调,求m的取值范围．
20。

(本小题12分）已知f（x)＝ax3＋bx2＋cx在区间[0，1]上是增函
数，在区间(－∞,0］与[1,＋∞）上是减函数，且f′(错误!)＝错误!。

(1)求f(x)的解析式；（2）若在区间［0，m]（m>0）上恒有f(x)≤x 成立，求m的取值范围．
21. （本小题12分）已知函数f(x)＝错误!。

(1）确定y＝f（x)在(0，＋∞)上的单调性；
（2)设h(x)＝x·f(x）－x－ax3在(0，2)上有极值，求a的取值范围．
22. （本小题12分）设函数f（x）＝x2＋2,g（x）＝a ln x＋bx，（a>0）．（1)若g(x）在x＝1处的切线方程为2x－y－1＝0，求F（x)＝f(x）－g（x)－2的单调区间；
（2)设G(x)＝f(x)－g（x)有两个不同零点x1，x2，且2x0＝x1＋x2，试探究G′(x0）值的符号．
2012届数学周测（3）答案理
一、选择题
1。

答案：C解析：由已知可得集合A是集合{－错误!，－1,1，错误!}的非空子集，则A∩B＝∅或｛1｝．
2.答案:B解析：当a≥0时，f(a）＝2
3
a－1,则由f(a）〉a得a〈－3，所以这样的a不存在．当a<0时，f（a）＝错误!，则由f(a)〉a得a<－1.综上可知，所求a的取值范围为(－∞，－1)．
3.答案：A解析:∵f（x)＝log2错误!，∴f(－x）＝log2错误!＝－log2错误!.∴f （－x)＝－f（x)．
又∵x∈（－2，2），∴f（x)是奇函数．故选A.
4。

答案：B解析：当x〈0时，则－x>0，∴f（－x）＝2－x－x。

又f(x)为奇函数，∴f(x）＝－f（－x）＝－（错误!)x＋x.故选B.
5。

答案：D解析:f（x)＝（错误!）x在x∈(－∞,0）上为减函数，g（x)
＝log错误!｜x｜在（－∞，0)上为增函数．
6。

答案：A解析：当2x－1≥0,即x≥错误!时，因为f（x）在[0,＋∞)上单调递增,故需满足2x－1<错误!，即x<错误!，所以错误!≤x<错误!。

当2x－1〈0，即x<错误!时，由于f（x)是偶函数,故f(x)在(－∞，0］上单调递减,f（错误!)＝f(－错误!)，此时需满足2x－1>－错误!，所以错误!〈x<错误!，综上可得错误!〈x〈错误!.
7.答案:D解析：由－x2＋4x＝4得x＝2,由－x2＋4x＝－5，解得x＝5或x＝－1，结合二次函数的图象知－1≤m≤2,2≤n≤5，故－1＋2≤m＋n≤2＋5，即1≤m＋n≤7.
8。

答案：C解析:由函数f(x）的图象知：当x∈(－∞，1］时,f(x)为减函数，∴f′(x)≤0；当x∈［1，＋∞）时,f（x）为增函数，∴f′(x）≥0.结合选项知选C.
9。

答案：C解析：设点（x0,y0）在曲线上，求导得曲线的切线方程为:y－错误!＝－错误!(x－x0），∴S＝错误!｜2x0×错误!|＝2a2,选C。

10.答案：A解析：因为f′(x)＝错误!，所以由题意，可得f′（x）＝
错误!≥0在（－2，2)上恒成立，即a≥错误!,当a＝错误!时，f′（x)＝错误!＝0恒成立．即当a＝错误!时，函数f（x）不是单调递增函数,所以a>
1
2。

11.答案：D
12.答案：D解析：据题意令log2(a－2x）＝2－x⇒22－x＝a－2x，令2x
＝t，则原方程等价于4
t＝a－t⇒t2－at＋4＝0有正根即可，根据根与
系数的关系t1t2＝4>0，即若方程有正根，必有两正根，故有错误!⇒a≥4。

二、填空题
13。

答案：1
14。

（－2，－错误!］解析：由f（－x）＋f(x）＝0得错误!＝1，（a2－4)x2＝0，从而a＝－2，∴f（x)＝lg错误!。

从而错误!>0，∴－错误!<x〈错误!,∴（－b，b)⊆(－错误!，错误!），∴0<b≤错误!，故－2<a＋b≤－错误!. 15。

（2）(3）
16。

答案：②③解析：该函数的特点是f（0)＝0，
当x〉0时,f′（x)〉0，即在（0，＋∞）上单调递增，
同理在（－∞，0)上单调递减，所以f（x）≥0。

由于f(x）在（－∞，0)上单调递减,故f(－2）〈f(－1)不正确，故①不正确；
由于奇函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调
性，
故f（x）不可能是奇函数，故②正确；y＝xf(x）的导数为y′＝f（x）＋xf′（x），
而f(x)≥0,故f(x)＋xf′(x）>0，所以③正确;
结合草图（如图）分析知④不正确．
三、解答题
17。

解：(1）设x〈0，则－x>0，所以f(－x）＝－x(1－x）．因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x(1－x)．（2）因为f（x）＝错误!且f(x）＝1＋x，所以当x≥0时，x（1＋x)＝1＋x,即x2＝1，解得x＝±1，所以x＝1成立；当x<0时，x(1－x）＝1＋x，即－x2＝1，无解．综上x＝1。

18.解:（1）f(x）＝ln x与x轴交于点（1，0），g(1)＝a＋b＝0①
又f′（1)＝g′(1）即a－b＝1②由①，②解得a＝错误!，b＝－错误!.
(2）令F(x）＝f(x）－g(x）＝ln x－错误!(x－错误!）,F′（x）＝－错误!≤0。

∴F（x）在（0，＋∞)上是减函数，又F（1）＝0，
所以，当x＝1时，f（x)＝g(x）；当0〈x〈1时，f（x)>g(x）；当x〉1时，f（x）〈g(x）．
19。

解：(1)f（x）＝a(x－1)2＋2＋b－a.
①当a>0时，f（x）在[2，3］上为增函数．故错误!⇒错误!⇒错误!.
②当a〈0时,f（x)在[2，3]上为减函数，故错误!⇒错误!⇒错误!.
（2)∵b〈1，∴a＝1，b＝0，
即f(x）＝x2－2x＋2，g（x)＝x2－2x＋2－(2m)x＝x2－(2＋2m）x ＋2. 错误!≤2或错误!≥4.
∴2m≤2或2m≥6，即m≤1或m≥log26.
20。

解：（1)由f(x)＝ax3＋bx2＋cx,得f′（x)＝3ax2＋2bx＋c。

又由f(x）在区间[0，1]上是增函数，在区间（－∞，0］与［1,＋∞）上是减函数，可知x＝0和x＝1是f′（x)＝0的解，
∴错误!即错误!解得错误!∴f′(x）＝3ax2－3ax.
又由f′(错误!）＝错误!,得f′(错误!)＝错误!－错误!＝错误!，∴a＝－2，即f(x）＝－2x3＋3x2.
（2）由f（x)≤x，得－2x3＋3x2≤x,即x（2x－1)(x－1）≥0,∴0≤x≤
错误!或x≥1。

又f(x)≤x在区间[0，m］（m〉0）上恒成立，∴0〈m≤错误!. 21.解：（1)由题知f′(x)＝错误!，设g（x)＝错误!－ln（1＋x）（x>0)，则
g′(x）＝
1
x＋12－错误!＝错误!<0在(0，＋∞)上恒成立，
∴g(x）在（0，＋∞)上单调递减，∴g(x）<g(0）＝0，∴f′（x）<0.
因此f(x)在（0，＋∞)上单调递减．
（2)由h（x）＝x·f(x）－x－ax3可得,h′(x）＝错误!－1－3ax2＝错误!，
若a≥0，对任意x∈(0，2)，h′(x)<0，∴h（x)在(0，2）上单调递减，则f（x）在（0，2)上无极值．
若a<0，h(x)＝x·f(x)－x－ax3在（0，2)上有极值的充要条件是φ（x)＝3ax2＋3ax＋1在（0，2）上有零点，又φ（x）在(－错误!，＋∞）上单调，
∴φ（0）·φ(2）〈0，解得a〈－错误!。

综上，a的取值范围是（－∞,－错误!)．
22。

解：(1）由题知，错误!，∴a＝b＝1,
∴F(x)＝f（x)－g（x)－2＝x2－ln x－x，
则F′（x）＝2x－错误!－1＝错误!＝错误!，
∴x∈(0,1）时，F′(x）<0，F（x）为减函数，x∈(1，＋∞)时，
F′(x）>0，F（x）为增函数,
∴F（x）的单调减区间为（0，1），F（x)的单调增区间为（1，＋∞)．
（2)G′（x0)的符号为正，理由为：∵G（x）＝x2＋2－a ln x－bx 有两个不同的零点x1，x2,
则有错误!，两式相减得x22－x12－a（ln x2－ln x1）－b（x2－x1）＝0。

即x1＋x2－b＝错误!，于是G′（x0)＝2x0－错误!－b＝(x1＋x2－b）－错误!
＝错误!－错误!＝错误![ln错误!－错误!］＝错误![ln错误!－错误!]，
①当0〈x1<x2时，令错误!＝t，则t〉1，且G′(x0)＝错误![ln t－错误!］，
故μ(t）＝ln t－错误!(t〉1）,μ′（t）＝错误!－错误!＝错误!>0，则μ(t)在[1,＋∞）上为增函数，
而μ（1)＝0,∴μ(t）>0，即ln t－错误!>0，又a>0，x2－x1>0，∴G′(x0）〉0,
②当0<x2〈x1时,同理可得：G′(x0)>0，
综上所述：G′(x0）值的符号为正．。