高考物理复习八章磁场时带电粒子在复合场中的运动学案

第3课时 带电粒子在复合场中的运动
一、带电粒子在复合场中的运动
1.复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。

2.带电粒子在复合场中运动的几种情况
（1）当带电粒子在复合场中所受的合外力为零时，粒子将静止或做匀速直线运动。

（2）当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时，粒子将做直线运动。

（3）当带电粒子所受的合外力充当向心力且大小不变时，粒子将做匀速圆周运动。

（4）当带电粒子所受合外力大小与方向均变化时，粒子将做非匀变速曲线运动，这类问题一般用能量关系来处理。

二、带电粒子在组合场中的运动
（1）组合场：是指电场、磁场、重力场有两种场同时存在，但各位于一定的区域内且不重叠。

（2）对“组合场”问题的处理方法：进行分段处理，注意在两种区域交界处的边界问题与运动的连接条件。

三、带电粒子在复合场中运动实例 1.速度选择器（如图所示）
（1）平行板中电场强度E 和磁感应强度B 互相垂直。

这种装置能把具有一定速度的粒子选择出来，所以叫做速度选择器。

（2）带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是电场力等于洛伦兹力，即v ＝E
B 。

2.回旋加速器
回旋加速器是利用电场对电荷的加速作用和磁场对运动电荷的偏转作用来获得高能粒子的装置。

由于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T ＝2πm qB ，与速率无关，所以只要交变电场的变化周期等于粒子
做圆周运动的周期，就可以使粒子每次通过电场时都能得到加速。

粒子通过D 形金属盒时，由于金属盒的
静电屏蔽作用，盒内空间的电场极弱，所以粒子只受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动，设D 形盒的半径为r ，则粒子获得的最大动能为B 2q 2r
2
2m 。

3.质谱仪
质量为m 、电荷量为q 的粒子，从容器下方的小孔S 1飘入电势差为U 的加速电场，其初速度几乎为零，从S 2射出电场时的速度v ＝
2qU
m
，然后经过S 3沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B 的匀强磁场中，最后打到照相底片D 处，则S 3与D 的距离d ＝
2
B
2mU
q
，跟带电粒子比荷的平方根成反比。

【思考判断】
1.在粒子速度选择器中，只要电场和磁场相互垂直就可以（ × ）
2.利用质谱仪可以测得带电粒子的比荷（ √ ）
3.经过回旋加速器加速的带电粒子的最大动能是由D 形盒的最大半径、磁感应强度B 、加速电压的大小共同决定的（ × ）
考点一 带电粒子在组合场的运动（－/d ） [要点突破]
1.解决带电粒子在组合场中运动的一般思路： （1）明确组合场是由哪些场组合成的。

（2）判断粒子经过组合场时的受力和运动情况，并画出相应的运动轨迹简图。

（3）具体运动问题的思路方法如图
2.区别“电偏转”和“磁偏转”
垂直电场线进入匀强电场（不计重力） 垂直磁感线进入匀强磁场（不计重力）
受力情况
电场力F＝qE，其大小、方向不变，与
速度v无关，F是恒力
洛伦兹力F洛＝qvB，其大小不变，方
向随v而改变，F洛是变力轨迹抛物线圆或圆的一部分
运动轨迹
求解方法
利用类似平抛运动的规律求解：
v x＝v0，x＝v0t，
v y＝
qE
m
·t，
y＝
1
2
·
qE
m
·t2
偏转角φ：
tan φ＝
v y
v x
＝
qEt
mv0
半径：r＝
mv
qB
，
周期：T＝
2πm
qB
偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几
何关系利用圆周运动规律讨论求解运动时间t＝
x
v0
t＝
φ
2π
T＝
φm
qB
动能变化不变
[典例剖析]
【例1】（2020·10月浙江选考）如图所示为水平放置的小型粒子加速器的原理示意图，区域Ⅰ和Ⅱ存在方向垂直纸面向里的匀强磁场B1和B2，长L＝1.0 m的区域Ⅲ存在场强大小E＝5.0×104V/m、方向水平向右的匀强电场。

区域Ⅲ中间上方有一离子源S，水平向左发射动能E k0＝4.0×104 eV的氘核，氘核最终从区域Ⅱ下方的P点水平射出。

S、P两点间的高度差h＝0.10 m。

（氘核质量m＝2×1.67×10－27 kg，电荷量q＝1.60×10－19 C，1 eV＝1.60×10－19 J，
1.67×10－27
1.60×10－19
≈1×10－4）
（1）求氘核经过两次加速后从P点射出时的动能E k2；
（2）若B1＝1.0 T，要使氘核经过两次加速后从P点射出，求区域Ⅰ的最小宽度d；
（3）若B1＝1.0 T，要使氘核经过两次加速后从P点射出，求区域Ⅱ的磁感应强度B2。

解析（1）由动能定理W＝E k2－E k0，
电场力做功W＝qE·2L，
得E k2＝E k0＋qE·2L＝2.24×10－14 J。

（2）洛伦兹力提供向心力qvB＝m v2
R
，
第一次进入B1区域，半径R0＝mv0
qB1
＝0.04 m，
第二次进入B1区域，
1 2mv21＝E k0＋qEL，R2＝
mv1
qB1
＝0.06 m，
故d＝R2＝0.06 m。

（3）氘核运动轨迹如图所示。

由图中几何关系可知
2R2＝h＋（2R1－2R0），
得R1＝0.05 m，
由R1＝mv1 qB2
，
得B2＝mv1
qR1
＝1.2 T。

答案（1）2.24×10－14 J （2）0.06 m （3）1.2 T
【例2】如图所示，平行板电容器两金属板A、B板长L＝32 cm，两板间距离d＝32 cm，A板的电势比B 板高。

电荷量q＝10－10 C、质量m＝10－20kg的带正电的粒子，以初速度v0＝2×106 m/s沿电场中心线垂直电场线飞入电场。

随后，粒子在O点飞出平行板电容器（速度偏转角为37°），并进入磁场方向垂直纸面向里，且边长为CD＝24 cm的正方形匀强磁场区域。

（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，粒子的重力不计）
（1）求A、B两板的电势差；
（2）粒子穿过磁场区域后打在放置于中心线上的荧光屏CD上，求磁感应强度的范围。

解析（1）带电粒子射出电场时在电场方向上的速度为：
v y＝v0tan 37°①
v y＝at②
在电场中，由牛顿第二定律可得：qE＝q U
d
＝ma③
在电场中垂直于电场方向上有：L＝v0t④
联立①②③④可得A、B两板的电势差为：U＝300 V⑤
（2）粒子进入磁场的速度为：v＝
v0
cos 37°
⑥
带电粒子射出电场时在电场方向上的位移为：
y＝1
2
at2⑦
粒子要打在CD上，当磁感应强度最大时，运动轨迹如图线1所示，设此时的磁感应强度为B1，半径为R1，由几何关系可得：y＝R1＋R1cos 37°⑧
由洛伦兹力提供向心力可得：qvB1＝m v2 R1⑨
粒子要打在CD上，当磁感应强度最小时，假设运动轨迹与右边界相切且从CD射出，设此时的半径为R2，由几何关系可得：CD＝R2＋R2sin 37°⑩
解得R2＝15 cm，又由于R2cos 37°＝12 cm＝y，故粒子圆心恰好在CD上，且从D点射出磁场，如图线2所示，假设成立，设此时的磁感应强度为B2
由洛伦兹力提供向心力可得：qvB2＝m v2
R2⑪
联立以上各式并代入数据可得磁感应强度的范围为：
1.7×10－3 T≤B≤3.75×10－3 T。

答案（1）300 V （2）1.7×10－3 T≤B≤3.75×10－3 T
[针对训练]
1.（2020·浙江新高考研究联盟联考）如图所示，平面直角坐标系xOy在第一象限内存在水平向左的匀强电场，第二、四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，第三象限内存在与x轴负方向成30°角斜向上的匀强电场。

一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以一定初速度从y轴上的A点与y轴正方向成60°角垂直磁场方向射入第二象限，粒子从x轴上的C点与x轴正方向成30°角进入第三象限。

粒子到达y轴上的D点（没画出）时速度刚好减半，经第四象限磁场偏转后又能垂直x轴进入第一象限内，最后恰好回到A点。

已知OA＝3a，第二象限内匀强磁场的磁感应强度为B。

粒子重力不计，求：
（1）粒子初速度v 0；
（2）第四象限内匀强磁场的磁感应强度B 1的大小； （3）粒子在第一、三象限内运行时间的比值t 1：t 3。

解析 （1）粒子在第二象限内运动正好完成半个圆周，则 2R 1cos 30°＝OA 解得R 1＝a 而Bqv 0＝
m v 2
0R 1解得v 0＝Bqa
m
（2）粒子在第三象限中运动时有CD ＝2R 1tan 30°＝23
3
a 粒子在第四象限中运动时有R 2＝CDtan 30°＝2
3a
而B 1qv 1＝m v 2
1R 2，v 1＝1
2v 0
解得B 1＝3
4
B
（3）粒子在第一象限内：t 1＝
OA v 1＝OA v 02＝3a qBa 2m
＝23ma qBa
粒子在第三象限内：t 3＝
CD
v 0＋v 022
＝23a 33qBa
4m ＝83ma 9qBa ，
所以t 1t 3＝9
4。

答案 （1）Bqa m （2）34B （3）9
4
2.（2020·金华模拟）如图所示，半径为R 的半圆形区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，半圆的左边垂直x 轴放置一粒子发射装置，在－R≤y≤R 的区间内各处均沿x 轴正方向同时发射出一个带正电粒子，粒子质量均为m ，电荷量均为q ，粒子在发射装置内从静止被电场加速至某速度，不计
粒子间的相互作用，且粒子重力忽略不计，所有粒子均能穿过磁场到达y 轴，且沿x 轴射入的粒子刚好经过y 轴上y ＝R 位置，求
（1）发射装置中加速电压U 的大小；
（2）最后到达y 轴的粒子与最先到达y 轴的粒子的时间差Δt ；
（3）把粒子发射装置的发射区间改成－R 2≤y ≤R
2，求y 轴上有粒子到达的区间。

解析 （1）由qU ＝12mv 2，解得U ＝mv
2
2q
由条件可知，粒子在磁场中运动的半径为r ＝R ，根据qvB ＝m v 2
r ，解得v ＝qBR
m
联立解得U ＝qB 2R
2
2m
（2）从x ＝－R 处开始计时，最先到达y 轴的是不经过磁场直接到达的粒子，其运动时间为 t 1＝R v
最后到达y 轴的是磁场中运动圆弧弧长最长的粒子，即沿x 轴入射的粒子， 其运动时间为t 2＝πm 2qB ，故时间差为Δt ＝πm 2qB －R
v
（3）由几何关系可得0≤y≤R 2的粒子全部打在y ＝R 位置，－R
2≤y ≤0的粒子依次分布在y 轴上，
其中y ＝－R
2的粒子刚好经过原点O ，故y 轴上有粒子到达的区间为y ＝0到y ＝R 。

答案 （1）qB 2R 22m （2）πm 2qB －R
v （3）0～R
考点二 带电粒子在复合场中的运动（－/d ） [要点突破]
1.弄清复合场的组成，如磁场、电场的复合，磁场、重力场的复合，磁场、电场、重力场三者的复合等。

2.正确受力分析，除重力、弹力、摩擦力外要特别注意静电力和磁场力的分析。

3.确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合。

4.对于粒子连续通过几个不同区域、不同种类的场时，要分阶段进行处理。

5.画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。

（1）当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解。

（2）当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，应用牛顿定律结合圆周运动规律求解。

（3）当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。

6.对于临界问题，注意挖掘隐含条件。

[典例剖析]
【例1】 如图所示，已知一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始经电压U 加速后，水平进入互相垂直的匀强电场（场强为E ）和匀强磁场（磁感应强度为B ）的复合场中，小球在此空间的竖直面内做匀速圆周运动，则（ ）
A.小球可能带正电
B.小球做匀速圆周运动的半径r ＝1B 2UE
g
C.小球做匀速圆周运动的周期T ＝
πE Bg
D.若电压U 增大，则小球做匀速圆周运动的周期增加
解析 小球在复合场中做匀速圆周运动，则小球受的电场力和重力大小相等，方向相反，则小球带负电，A 错误；由牛顿第二定律和动能定理可得：qvB ＝mv 2
r ，qU ＝12mv 2
，联立mg ＝qE 可得：小球做匀速圆周运动
的半径r ＝
1
B 2UE g ，由T ＝2πr v 可以得出T ＝2πE
Bg
，所以B 正确，C 、D 错误。

答案 B
【例2】 如图所示，两块水平放置、相距为2d 的金属板接在电压可调的直流电源上，金属板长为2d ，两板间存在方向垂直纸面向里、宽度为d 的匀强磁场。

现有一质量为m 、电量为q 的带负电颗粒以v 0的水平速度沿中心线进入两板之间，调节电源电压，使带电颗粒在电场区域恰好沿水平方向做匀速直线运动，经过电场和磁场共存区域后从P 点射出，已知P 点距下极板为d
2
，重力加速度为g 。

（1）判断上极板所带电荷的种类，并求两极板间的电势差； （2）求匀强磁场的磁感应强度大小。

解析 （1）电场力方向向上，电场强度方向向下，所以，上极板带正电荷； 设两极板电势差为U ，电场力与重力平衡，则 由：q U
2d
＝mg
得：U ＝2mgd
q
（2）颗粒在电场和磁场区域内做匀速圆周运动，设半径为R ，由几何关系可知
R 2＝d 2
＋（R －d 2）2
得：R ＝5
4d
由Bqv 0＝m v 2
R
则磁感应强度：B ＝4mv 0
5dq
答案 （1）正电荷 2mgd q （2）4mv 0
5dq
[针对训练]
1.（2020·全国Ⅰ）如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上（与纸面平行），磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒a 、b 、c 电荷量相等，质量分别为m a 、m b 、m c ，已知在该区域内，a 在纸面内做匀速圆周运动，b 在纸面内向右做匀速直线运动，c 在纸面内向左做匀速直线运动。

下列选项正确的是（ ）
A.m a ＞m b ＞m c
B.m b ＞m a ＞m c
C.m c ＞m a ＞m b
D.m c ＞m b ＞m a
解析 由题意知，三个带电微粒受力情况：m a g ＝qE ，m b g ＝qE ＋Bqv ，m c g ＋Bqv ＝qE ，所以m b >m a >m c ，故B 正确，A 、C 、D 错误。

答案 B
2.如图所示，在互相垂直的匀强电场和匀强磁场中，电荷量为q 的液滴在竖直面内做半径为R 的匀速圆周运动，已知电场强度为E ，磁感应强度为B ，则液滴的质量和环绕速度分别为（ ）
A.qE
g
，
E
B
B.
B2qR
E
，
E
B
C.B qR
g
，qgR D.
qE
g
，
BgR
E
解析液滴要在这种叠加场中做匀速圆周运动，从受力的角度来看，一是要满足恒力的合力为零，即qE
＝mg，有m＝qE
g
；二是洛伦兹力提供向心力Bqv＝
mv2
R
，则可得v＝
BgR
E
，选项D正确。

答案 D
考点三带电粒子在复合场中运动的实际应用（－/d）
[要点突破]
粒子速度选择器、质谱仪、回旋加速器等实际应用问题要重视物理模型意识的培养，善于把握模型的本质，理解原理，学会变通。

[典例剖析]
【例1】 1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示。

这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，半径均为R，其间留有空隙，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，高频交流电的电压为U，下列说法正确的是（）
A.粒子由加速器的中心附近进入加速器
B.粒子由加速器的边缘进入加速器
C.粒子从磁场中获得能量
D.粒子获得的最大动能由电压U决定
解析粒子由加速器的中心附近进入加速器，从电场中获取能量，最后从加速器边缘离开加速器，选项A
正确，B、C错误；由qvB＝mv2
R
得，E km＝
q2B2R2
2m
，可知粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径R
决定，与电压U无关，D错误。

答案 A
【例2】如图所示，一块长度为a、宽度为b、厚度为d的金属导体，当加有与侧面垂直的匀强磁场B，且通以图示方向的电流I时，用电压表测得导体上、下表面M、N间电压为U，已知自由电子的电荷量为e。

下列说法中正确的是（）
A.导体的M面比N面电势高
B.导体单位体积内自由电子数越多，电压表的示数越大
C.导体中自由电子定向移动的速度为v ＝2U
Bd
D.导体单位体积内的自由电子数为BI
eUb
解析 由于自由电子带负电，根据左手定则可知，M 板电势比N 板电势低，选项A 错误；当上、下表面电压稳定时，有q U d ＝qvB ，得U ＝Bdv 或v ＝U
Bd ，与单位体积内自由电子数无关，选项B 、C 错误；再根据I
＝neSv ，可知选项D 正确。

答案 D [针对训练]
1.（2020·舟山模拟）一质子以速度v 穿过互相垂直的电场和磁场区域（如图所示）而没有发生偏转，则（ ）
A.若电子以相同速度v 射入该区域，将会发生偏转
B.无论何种带电粒子（不计重力），只要以相同速度v 射入都不会发生偏转
C.若质子的速度v′<v，它将向下偏转而做类平抛运动
D.若质子的速度v′>v，它将向上偏转而做类平抛运动
解析 质子穿过互相垂直的电场和磁场区域而没有发生偏转，则qvB ＝qE ，v ＝E
B ，无论何种带电粒子（不
计重力）只要v ＝E
B ，均不会发生偏转，故选项A 错误，B 正确；当v ′<v 或v′>v 时qvB≠qE，电场力做
功，速度大小、方向发生变化，则洛伦兹力时刻改变，其运动轨迹既不是圆弧也不是抛物线，选项C 、D 错误。

答案 B
2.（2020·湖州模拟）质谱仪是一种研究带电粒子的重要工具，它的构造原理如图所示。

粒子源S 产生的带正电的粒子首先经M 、N 两带电金属板间的匀强电场加速，然后沿直线从缝隙O 垂直于磁场方向进入磁感应强度为B 的匀强磁场，在磁场中经过半个圆周打在照相底片上的P 点。

已知M 、N 两板间的距离为d ，电场强度为E 。

设带正电的粒子进入电场时的速度、所受重力及粒子间的相互作用均可忽略。

（1）若粒子源产生的带正电的粒子质量为m 、电荷量为q ，求这些带电粒子离开电场时的速度大小； （2）若粒子源产生的带正电的粒子质量为m 、电荷量为q ，其打在照相底片上的P 点与缝隙O 的距离为y ，请推导y 与m 的关系式；
（3）若粒子源S 产生的带正电的粒子电荷量相同而质量不同，这些带电粒子经过电场加速和磁场偏转后，将打在照相底片上的不同点。

现要使这些点的间距尽量大一些，请写出至少两项可行的措施。

解析 （1）设带电粒子离开电场时的速度大小为v ， 根据动能定理qEd ＝12mv 2
，
解得v ＝
2qEd
m
（2）设带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R ， 根据牛顿第二定律qvB ＝m v
2
R
由几何关系可知，y ＝2R ， 解得y ＝
2B
2Edm
q
（3）可行的措施：①增加电场强度，保持其它条件不变；②减小磁感应强度，保持其它条件不变。

答案 （1）
2qEd m （2）y ＝2
B
2Edm
q
（3）见解析
1.在如图所示的匀强电场和匀强磁场共存的区域内（不计重力），电子可能沿水平方向向右做直线运动的是（ ）
解析 若电子水平向右运动，在A 图中电场力水平向左，洛伦兹力竖直向下，故不可能；在B 图中，电场力水平向左，洛伦兹力为零，故电子可能水平向右做匀减速直线运动；在C 图中电场力竖直向下，洛伦兹力竖直向下，电子不可能向右做直线运动；在D 图中电场力竖直向上，洛伦兹力竖直向上，故电子不可能
做水平向右的直线运动，因此只有选项B 正确。

答案 B
2.设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，已知一离子在电场力和洛伦兹力的作用下，从静止开始自A 点沿曲线ACB 运动，到达B 点时速度为零，C 点是运动的最低点，忽略重力，以下说法正确的是（ ）
A.该离子带负电荷
B.A 点和B 点位于不同高度
C.离子在C 点时速度最大
D.离子到达B 点时，将沿原曲线返回A 点
解析 因为离子由A 运动到了B ，由运动轨迹可判断离子带正电，选项A 错误；到达B 点时速度为零，说明电场力做功为零，所以A 点和B 点位于同一等势面上，即同一高度，选项B 错误；由于洛伦兹力不做功，在运动过程中，到C 点时电场力做功最多，因此离子在C 点时速度最大，选项C 正确；在B 点对离子受力分析可知，离子将向右重复曲线运动，选项D 错误。

答案 C
3.（2020·全国Ⅰ）现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。

质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。

若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。

此离子和质子的质量比约为（ ）
A.11
B.12
C.121
D.144
解析 设质子的质量和电荷量分别为m 1、q 1，一价正离子的质量和电荷量为m 2、q 2。

对于任意粒子，在加速电场中，由动能定理得 qU ＝12mv 2
－0，得v ＝
2qU
m
① 在磁场中qvB ＝m v
2
r
②
由①②式联立得m ＝B 2r 2q
2U
，由题意知，两种粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，加速电压U 不变，
其中B 2＝12B 1，q 1＝q 2，可得m 2m 1＝B 2
2
B 21＝144，故选项D 正确。

答案 D
4.如图，在竖直平面内建立直角坐标系xOy ，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。

一带电荷量为＋q 、质量为m 的微粒从原点出发沿与x 轴正方向的夹角为45°的初速度进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A （l ，l ）时，电场方向突然变为竖直向上（不计电场变化的时间），粒子继续运动一段时间后，正好垂直于y 轴穿出复合场。

不计一切阻力，求：
（1）电场强度E 的大小； （2）磁感应强度B 的大小； （3）粒子在复合场中的运动时间。

解析 （1）微粒到达A （l ，l ）之前做匀速直线运动，对微粒受力分析如图甲：
甲
所以，Eq ＝mg ，得E ＝mg q
（2）由平衡条件得qvB ＝2mg
电场方向变化后，微粒所受重力与电场力平衡，微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图乙，qvB ＝m v 2
r
乙
由几何知识可得：r ＝2l
v ＝2gl 联立解得：B ＝
m
q
g l
（3）微粒做匀速运动时间：t 1＝
2l v
＝l g
做圆周运动时间：t 2＝3
4π2l v ＝
3π
4
l g
在复合场中运动时间：t ＝t 1＋t 2＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π4＋1l g 答案 （1）mg q （2）
m
q
g l （3）⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π4＋1l g 5.如图所示，静止于A 处的离子，经电压为U 的加速电场加速后沿图中圆弧虚线通过静电分析器，从P 点垂直CN 进入矩形区域的有界匀强电场，电场方向水平向左。

静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，已知圆弧所在处场强为E 0，方向如图所示；离子质量为m 、电荷量为q ；QN ＝2d 、PN ＝3d ，离子重力不计。

（1）求圆弧虚线对应的半径R 的大小；
（2）若离子恰好能打在NQ 的中点上，求矩形区域QNCD 内匀强电场场强E 的值；
（3）若撤去矩形区域QNCD 内的匀强电场，换为垂直纸面向里的匀强磁场，要求离子能最终打在QN 上，求磁场磁感应强度B 的取值范围。

解析 （1）离子在加速电场中加速，根据动能定理， 有：qU ＝12
mv 2
离子在辐向电场中做匀速圆周运动，静电力提供向心力，根据牛顿第二定律，有qE 0＝mv
2
R ，
得：R ＝2U
E 0。

（2）离子做类平抛运动，则 d ＝vt ， 3d ＝12
at 2
，
根据牛顿第二定律，有qE ＝ma ， 得：E ＝12U
d。

（3）离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有qvB ＝mv
2
r
，
得r ＝
1B 2Um
q
， 离子能打在QN 上，则既没有从DQ 边出去也没有从PN 边出去，则离子运动径迹的边界如图中Ⅰ和Ⅱ。

由几何关系知，离子能打在QN 上，必须满足： 3
2d<r ≤2d ， 则有
12d
2Um q ≤B<2
3d
2Um
q。

答案 （1）2U E 0 （2）12U d （3）
12d
2Um q ≤B<2
3d
2Um
q
[基础过关]
1.如图所示，一束负离子从S 点沿水平方向射出，在没有电、磁场时恰好击中荧光屏上的坐标原点O ；若同时加上电场和磁场后，负离子束最后打在荧光屏上坐标系的第Ⅲ象限中，则所加电场E 和磁场B 的方向可能是（不计离子重力及其间相互作用力）（ ）
A.E 向上，B 向上
B.E 向下，B 向下
C.E 向上，B 向下
D.E 向下，B 向上
解析 负离子打在第Ⅲ象限，相对于原点O 向下运动和向左运动，所以E 向上，B 向下，选项C 正确。

答案 C
2.如图所示，一电子束沿垂直于电场线与磁感线方向入射后偏向A 极板，为了使电子束沿射入方向做直线运动，可采用的方法是（ ）
A.将变阻器滑动头P 向右滑动
B.将变阻器滑动头P 向左滑动
C.将极板间距离适当减小
D.将极板间距离适当增大
解析 电子射入极板间后，偏向A 板，说明qE>qvB ，由E ＝U
d 可知，减小场强E 的方法有增大板间距离和
减小板间电压，故C 错误，D 正确；而移动变阻器滑动头P 并不能改变板间电压，故A 、B 均错误。

答案 D
3.如图所示，一块金属块放在匀强磁场中，通以沿x 轴正方向的电流，若测得金属块上表面的电势高于下表面的电势，则可判断磁场的方向是（ ）
A.沿y 轴正方向
B.沿y 轴负方向
C.沿z 轴负方向
D.沿z 轴正方向
解析 当通以沿x 轴正方向的电流时金属块中电子会向x 轴负方向流动，而据题意知电子受力方向为向下，所以据左手定则知磁场方向沿z 轴负方向。

答案 C
4.如图所示为一速度选择器，两极板P 1、P 2之间存在电场强度为E 的匀强电场和磁感应强度为B 的匀强磁场。

一束粒子流（重力不计）以速度v 从S 1沿直线运动到S 2，则下列说法中正确的是（ ）
A.粒子一定带正电
B.粒子一定带负电
C.粒子的速度一定等于B E
D.粒子的速度一定等于E
B
解析 若粒子带正电，在板间受电场力向左，由左手定则得洛伦兹力向右；若粒子带负电，电场力向右，洛伦兹力向左，也可以做直线运动，故粒子可能带正电，也可能带负电，所以A 、B 错误；要做直线运动，要求Bqv ＝qE ，v ＝E
B ，所以
C 错误，
D 正确。

答案 D
5.如图所示，空间的某个复合场区域内存在着方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场。

质子由静止开始经一加速电场加速后，垂直于复合场的界面进入并沿直线穿过场区，质子从复合场区穿出时的动能为E k 。

那么氘核同样由静止开始经同一加速电场加速后穿过同一复合场后的动能E k ′的大小是（ ）
A.E k′＝E k
B.E k′>E k
C.E k′<E k
D.条件不足，难以确定
解析设质子的质量为m，则氘核的质量为2m。

在加速电场里，由动能定理可得eU＝1
2
mv2，v＝
2eU
m
，
在复合场里有Bqv＝qE，则v＝E
B
，同理对于氘核由动能定理可得其离开加速电场的速度比质子的速度小，
所以当它进入复合场时所受的洛伦兹力小于电场力，将往电场力方向偏转，电场力做正功，故动能增大，选项B正确。

答案 B
6.有一个带电荷量为＋q、重量为G的小球从两竖直的带电平行板上方h处自由落下，两极板间另有匀强磁场，磁感应强度为B，方向如图所示，则带电小球通过有电场和磁场的空间时，下列说法正确的是（）
A.不可能做曲线运动
B.一定做曲线运动
C.有可能做匀加速运动
D.有可能做匀速运动
解析小球的速度增大，洛伦兹力增大，小球一定做变加速曲线运动，不可能做匀速或匀加速运动A、C、D错误。

答案 B
7.如图所示，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直于纸面向里，一质量为m、带电荷量为q的微粒以速度v沿与磁场垂直、与电场成45°角的方向射入复合场中，恰能做匀速直线运动，求电场强度E的大小及磁感应强度B的大小。

解析由于带电微粒做匀速直线运动，且F洛与F电不共线，说明微粒必然还要受到重力作用，且F洛必然。