2021-2022年高三数学下学期第四次模拟考试试题 理(I)

2021-2022年高三数学下学期第四次模拟考试试题 理(I)
一、选择题：（共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）.
1．设集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，B={x|y=lnx}，则A∩B=（ ）
A （0，3）
B （0，2）
C （0，1）
D （1，2）
2.已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.向量均为非零向量，，则的夹角为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5.各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则的值 为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6.已知实数满足1
21y y x x y m
≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数的最小值为-1，则实数（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
7.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角
形，则这
个几何体的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.如右图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9.定义在上的偶函数满足：，在区间与上分别递增和递减，则不等式的解集为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10.已知点分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B ．4
C ．
D ．
11.三棱锥中，15,6,AB BC AC PC ===⊥平面，，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12.一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图像上，如图，
则此矩形
绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：（本大题共四小题，每小题5分）
13．记集合，构成的平面区域分别为M ，N ，现随机地向M 中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N 中的概率为．_____.
14.已知cos()sin 6παα-+=，则的值是________． 15. 已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若，则的值等于________．
16.数列的通项222(cos sin )33
n n n a n ππ=-，其前项和为，则________． 三、解答题 （本题必作题5小题，共60分；选作题3小题，考生任作一题，共10分.）
17.（本小题满分12分）已知函数22()cos 3sin cos 2f x x x x x =--+．
（1）当时，求的值域；
（2）若的内角的对边分别为且满足
sin(2)22cos()sin b A C A C a A
+==++，求的值． 18.（本小题满分12分）
自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：
（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．
①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；
②如果用表示两种方案休假周数和．求随机变量的分布及期望．
19．（满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD
为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°PA=PD=AD=2BC=2，CD=，Q 是AD 的
中点，M 是棱PC 上的点，且PM=3MC ．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥底面ABCD ；
（Ⅱ）求二面角M ﹣BQ ﹣C 的大小．
20. （本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向
圆2
200:()()8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点．
（1）若点在第一象限，且直线互相垂直，求圆的方程；
（2）若直线的斜率存在，并记为，求的值；
21.（本小题满分12分）
已知函数．（1）求在上的最小值；
（2）若关于的不等式只有两个整数解，求实数的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做
所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题目记分.
22. （本小题满分 10分）
已知点在直径的延长线上，切于点，是的平分线且交于点，
交于点．
（1）求的度数；
（2）若，求的值．
23. （本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若直线与曲线相交于两点，求的面积．
24. （本小题满分10分）
设函数．
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式的解集非空，求实数的取值范围．
数学理科参考答案
一、 选择题1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．B 8．C 9．D 10．C 11．D
12．A
二、填空题13. ． 14． 15． 16 ．470
17．解：（1
）222()cos 3sin cos 222sin 1
2cos 22sin(2)6f x x x x x x x x x x π=--+=-+=+=+ ，∴712,,sin(2),166662x x ππππ⎡⎤⎡⎤+∈+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，∴．．．6分 （2）∵由题意可得[]sin ()2sin 2sin cos()A A C A A A C ++=++有，
sin cos()cos sin()2sin 2sin cos()A A C A A C A A A C +++=++，
化简可得： ∴由正弦定理可得：，∵，∴余弦定理可得：222222431cos 2222
a c
b a a a B a
c a a +-+-===，∵ ∴， 所以
18. 18．（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；
当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为 ．．．．2分
（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有（种），其和不低于32周的选法有14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18，共6种，由古典概型概率计算公式得． 6分
②由题知随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35． ，12(30)0.1,(31)0.21010P P ξξ==
====， 2211(32)0.2,(33)0.2,(34)0.1,(35)0.110101010
P P P P ξξξξ============，
()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
．12分 19.（Ⅰ）证明：连结BQ ，∵四边形ABCD 是直角梯形，AD∥BC，AD=2BC ，Q 为AD 的中点，
∴四边形ABDQ 为平行四边形，又∵CD=，∴QB=，∵△PAD 是边长为2的正三角形，Q 是AD 的中点，∴PQ⊥AD，PQ=，在△PQB 中，QB=，PB=，有PQ 2+BQ 2=PB 2，∴PQ⊥BQ，∵AD∩BQ=Q，AD 、BQ ⊂平面ABCD ，∴PQ⊥平面ABCD ，又∵PQ ⊂平面PAD ，∴平面PAD⊥底面ABCD ；（Ⅱ）解：由（I ）可知能以Q 为原点，分别以
QA 、QB 、QP
为x 、y 、z 轴建立坐标系如图，则Q （0，0，0），B （0，，0），∵BC=1，CD=，Q 是AD 的中点，∴PQ===，QC===2，
∴PC===，又∵PM=3MC，∴M（﹣，，），
∴=（0，，0），=（﹣，，），设平面MBQ 的一个法向量为=（x ，y ，z ），
由，即，令z=，得=（1，0，），
又=（0，0，1）为平面BCQ 的一个法向量，∴==，
∴二面角M ﹣BQ ﹣C 为．
20．（1）由圆的方程知圆的半径，因为直线互相垂直，且和圆相切，所以，即 ①又点在椭圆上，所以 ②
联立①②，解得，所以，所求圆的方程为22((8x y -+-=．
（2）因为直线和都与圆相切，所以，，化简得，因为点在椭圆上，所以，
即，所以201220141282
x k k x -==--．
21．解：（1），令得的递增区间为；
令得的递减区间为，．2分 ∵，则
当时，在上为增函数，的最小值为；．．．．．．．．．．．3分
当时，在上为增函数，在上为减函数，又，
∴若，的最小值为，．．．4分若，的最小值为，．．．．．．5分综上，当时，的最小值为；当，的最小值为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）由（1）知，的递增区间为，递减区间为，且在上，又，则．又．∴时，由不等式得或，而解集为，整数解有无数多个，不合题意；．．．．．．．8分，时，由不等式得，解集为，整数解有无数多个，不合题意；时，由不等式得或，∵解集为无整数解，若不等式有两整数解，则，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
综上，实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22．（1）∵为的切线，∴，又是的平分线，∴．由B DCB EAC ACD ∠+∠=∠+∠，得， 又，∴．（2）∵，∴∴，又0180ACE ABC CAE BAE ∠+∠+∠+∠=，∴．在中，∴
0tan 30AC AE BC AB ===． 23．解：（1）由曲线的极坐标方程是：，得．
∴由曲线的直角坐标方程是：．由直线的参数方程，得代入中消去得：，所以直线的普通方程为：．．5分
（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得，设两点对应的参数分别为，所
12AB t =-===
因为原点到直线的距离，所以的面积是11
622212
22
AB d=⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10
分
24．解：（1）∵，∴，∴，
∴.的解集为，
3
36
2
34
2
a
a
⎧
-=-
⎪⎪
⎨
⎪-=
⎪⎩
，解得
（2）由（1）得．∴，化简
令
23,1
()221
21,1
x x
g x x
x x
+≥-
⎧
=++=⎨
--<-
⎩
，的图象如要使不等的解集非空，需，或，∴的取值范是
{}
|330
k k k k
><-=
或或．) `xk 27812 6CA4 沤f>
(39953 9C11 鰑30576 7770 睰•。